Линейное звено и его характеристики

Любая часть системы автоматического управления может быть рассмотрена как некоторое звено этой системы, преобразующее сигнал входа в сигнал выхода. Если в качестве такого звена рассматривается объект регулирования, то входными сигналами являются управляющие воздействия и внешние возмущения, а выходными – регулируемые величины.

Показатели переходного процесса в системах автоматического регулирования (САР) обычно определяют из анализа реакции системы на типовые внешние воздействия: гармонический сигнал или sin(ω t+φ ), единичный скачок 1(t)и единичная импульсная функция δ (t) (дельта функция).

Математической моделью линейной САР (линейного эвена) является дифференциальное уравнение, в левой части которого стоят выходные координаты и их производные, а в правой части - входные координаты и их производные.

(1.1)

На основе общего решения дифференциального уравнения составляется характеристическое уравнение. Находятся корни, по корням определяются устойчивость и точность САР. Данный метод решения дифференциальных уравнений достаточно сложен, поэтому в практике широко используется операторный метод решения дифференциальных уравнений, позволяющий находить передаточную функцию системы, которая и позволяет производить анализ САР.

Операторный метод решения дифференциальных уравнений основан на использовании преобразований Лапласа. Каждой временной функции , которую называют оригиналом, ставится в соответствии другая, не зависящая от времени функция X(p), называемая изображением. Преобразование осуществляется спомощью интеграла:

,                                    (1.2)

где - комплексная переменная.

Преобразованное по Лапласу дифференциальное уравнение принимает вид:

(1.3)

На практике формулу (1.2) применяют редко, а используют таблицы преобразования Лапласа, из которых по функции-оригиналу выбирают функцию-изображение.

Чтобы непосредственно не вычислять интеграл Лапласа при преобразованиях типа (1.1), переход от оригиналов к изображениям на практике обычно выполняют с помощью таблицы соответствий «оригинал–изображение» (табл. 1.1). Приведем для примера наиболее часто используемую её часть (более полную таблицу можно найти в любой справочной литературе по операционному исчислению).

Таблица 1.1

Оригинал	Изображение
	p × F(p)
e-at
sin(wt)
cos(wt)
sin(wt)
sin(wt)

Для количественного описания свойств линейного звена, в зависимости от постановки задачи, пользуются следующими взаимно связанными его характеристиками: комплексным коэффициентом усиления, передаточной, переходной и весовой (импульсной) функциями.

Комплексным коэффициентом усиления звена W (jω ) называется отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе звена к комплексной амплитуде входного сигнала, если этот сигнал является гармоническим (синусоидальным). Так, например, если

а

то комплексная амплитуда входного сигнала , а комплексная амплитуда выходного сигнала . Таким образом:

Передаточной функцией звена W (p) называется отношение изображения сигнала на выходе к изображению сигнала на входе при нулевых начальных условиях, т.е.

Переход от передаточной функции к комплексному коэффициенту усиления осуществляется заменой p на jω. Тогда получаем частотную переходную функцию , модуль которой характеризует амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) звена:

,

а аргумент -фазочастотную характеристику звена (ФЧХ)

.

Переходной функцией звена h(t)называется сигнал на выходе звена при подаче на его вход единичного скачка 1₀(t). В этом случае изображение входного сигнала по Лапласу равно   и тогда, учитывая, что , можно записать  

или, переходя от изображения к оригиналу, получаем

.

Импульсной переходной функцией или дельта-функцией звена ω (t) называется сигнал на выходе звена при подаче на его вход единичного импульса δ (t). В этом случае изображение по Лапласу входного сигнала X(p) = 1, и изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией звена

Переходя от изображения импульсной функции к ее оригиналу получаем:

,

т.е. импульсная переходная функция является оригиналом передаточной функции звена.

А так как изображение импульсной функции W(p) от изображения передаточной функции H(p) отличается только множителем p, то

 

Типовые звенья САР

Рассматривая характеристики звеньев САР вне зависимости от их назначения, физического принципа действия, мощности и скорости передаваемых сигналов, можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка. Это позволяет структуру САР любой сложности заменить структурой, составленной только из типовыхзвеньев, и по известным передаточным функциям каждого звена определять передаточную функцию всей САР и исследовать ее характеристики.

Различают:

- простейшие звенья: пропорциональное (идеальное), интегрирующее и дифференцирующее;

- звенья первого порядка или апериодические;

- колебательные звенья (звенья второго порядка).

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: