Гипербола: канонические уравнения и построение

 

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними |F₁F₂| = 2c. Пусть ||MF₁| – |MF₂|| = 2a.

Тогда канонические уравнения гиперболы имеют вид:

(1.7.5)

или

(1.7.6)

где b² = c² – a² > 0, так как a < c. (см. рис.1.7.4а и 1.7.4б).

Рис.1.7.4а	Рис.1.7.4б

 

Гиперболы, изображенные на рисунках 1.7.4а и 1.7.4б, имеют центр симметрии точку О(0, 0) и две оси симметрии Ox и Oy. Величины a и b (где a > 0 и b > 0) называются полуосями гиперболы. При этом та ось симметрии, которую пересекает гипербола, называется действительной осью, а другая ось симметрии – мнимой. Если центр гиперболы находится в точкеM₀(x₀, y₀), а оси параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:

 

(1.7.7)

или

(1.7.8)

 

Пример. Показать, что уравнение 9x² – 4y² + 18x + 8y – 31 = 0 определяет гиперболу. Сделать рисунок.

Решение: Преобразуем данное уравнение, выделяя полный квадрат: 9x² + 18x – 4y² + 8y – 31 = 0 Þ

9(x² + 2x) – 4(y² – 2y) – 31 = 0 Þ

9(x² + 2x + 1 – 1) – 4(y² – 2y + 1 – 1) – 31 = 0 Þ

9((x + 1) ² – 1) – 4(y – 1) ² – 1) – 31 = 0 Þ

9(x + 1) ²– 4(y – 1) ² = 36. Разделим обе части полученного уравнения на 36.

Получили уравнение гиперболы вида (1.7.7) с центром в точке M₀(–1, 1) и а = 2, b = 3.

Рис.1.7.5

Для построения гиперболы (рис.1.7.5) отметим на плоскости Oxy точку M₀(–1, 1) и проведем через эту точку прямые, параллельные Ox и Oy. Отметим на горизонтальной прямой точки A₁ и A₂, отстоящие от M₀ на 2 единицы; на вертикальной прямой – точки B₁ и B₂, отстоящие от M₀ на 3 единицы. Построим прямоугольник, проходящий через указанные точки со сторонами, параллельными координатным осям. Проведем в этом прямоугольнике две диагонали. Искомая гипербола проходит через точки A₁ и A₂, асимптотически приближаясь к диагоналям прямоугольника.

Парабола: канонические уравнения и построение

Параболу можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой, и данной точки, называемой фокусом.

Пусть фокус F имеет координаты: F(0, p/2), уравнение директрисы y = – p/2; |MK | = | MF |.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

x 2 = 2py

(1.7.9)

(парабола изображена на рисунке 1.7.6).

Рис.1.7.6

 

Если фокус имеет координаты F(p/2, 0) (pис.1.7.8), а уравнение директрисы x = – p/2; |MK | = | MF |, то каноническое уравнение параболы имеет вид:

y 2 = 2px

(1.7.10)

Рис.1.7.8.

 

Точка О(0, 0) является вершиной параболы. Если вершина параболы находится в точке M₀(x₀, y₀), то уравнение параболы имеет вид:

(x– x0)2 = 2p(y – y0)

(1.7.11)

или

(y– y0)2 = 2p(x – x0)

(1.7.12)

Пример. Показать, что уравнение y² – 4x – 2y – 11 = 0 определяет параболу. Сделать чертеж.

Решение: Преобразуем данное уравнение, выделяя полный квадрат:

y² – 2y + 1 – 1 – 4x – 11= 0

 

Рис.1.7.9

 

(y – 1)² = 4x+12 Þ (y – 1)² = 4(x+3)

Получили уравнение параболы вида (1.5.11) с вершиной M₀(–3, 1); p = ⁴/₂ = 2. Построим директрису. Для этого проведем прямую, параллельную оси Oy и отстоящую от вершины на Ее уравнение x = – 4. Фокус параболы имеет координаты F(–2, 1). |MK| = |MF| (pис. 1.7.9).

Полярные координаты

 

Полярная система координат на плоскости (рис.1.7.10) определяется заданием некоторой точки О, луча ОР, исходящего из этой точки, и единицы масштаба. Точка О называетсяполюсом, а луч ОР – полярной осью.

Рис.1.7.10

Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от точки M до полюса, через j – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направленияОМ. Эти числа называются полярными координатами точки М, причем величина r называется полярным радиусом, а j – полярным углом точки М. По определению величина r = |OM|. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет точку М на плоскости.

Если ограничить изменение угла j пределами 0 ≤ j ≤ 2p, то верно и обратное каждой точке плоскости однозначно соответствует пара чисел (r, j). Исключение составляет только полюсО, для которого r = 0, а угол j не определен.

Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало совпадало с полюсом полярной системы, а ось Ox шла по полярной оси ОР, то декартовы координаты (x, y) произвольной точки М и ее полярные координаты (r, j) будут связаны следующими соотношениями:

x = rcos j, y = rsin j

(1.7.1)

 

(1.7.2)

 

Из этих формул следует, что

(1.7.3)

Замечание: Формула tg j = y/x определяет два угла j и j + p (в пределах от 0 до 2p).

Формулы (1.7.3) уточняют, какой из этих углов следует выбрать. Из формулы вытекает, что надо брать тот угол j, для которого cos j имеет тот же знак, что и x.

 

Пример. Построить точки, заданные своими полярными координатами:

A(3; p/2), B(2; 5p/4), C(1; –p/4), D(2; 0).

Решение: Для построения точек A, B и С из полюса О проведем лучи под углом j₁ = p/2, j₂ = 5p/4, j₃ = –p/4 и на них отложим отрезки длины 3, 2, 1, соответственно (рис.1.7.11).

Рис.1.7.11

Точку D откладываем на полярной оси на расстоянии 2 от полюса.

 

Пример. Построить линию, заданную в полярной системе координат уравнением r = 2cos j.

Решение: Построим эту линию по точкам, придавая углу j определенные значения и получая значения r из уравнения r = 2cos j.

Если j = 0 Þ r = 2cos0 = 2.

Если далее рассматривать углы из интервала (p/2; 3p/2), то значения r будут отрицательными, так как в этом промежутке cosj < 0. Это означает, что в области изменения j от p/2 до 3p/2 нет точек данной линии.

Если

Запишем полученные данные в таблицу

Рис.1.7.12

 

Далее из полюса проводим лучи и откладываем на них соответствующие значения r. Соединяя полученные точки плавной линией, строим заданную кривую (рис.1.7.12).

Легко доказать, что построенная кривая является окружностью радиуса 1 с центром в точке (1, 0), лежащей на полярной оси. Действительно, выразив r и cosj из формул (1.6.2) и (1.6.3) и подставив их в уравнение кривой r = 2cosj, получим: x² + y² = 2x или (x – 1)² + y² = 1.

Пример. Построить линию, заданную уравнением x² + y² = 4y, перейдя в полярную систему координат.

Решение: Преобразуем данное уравнение, используя формулы (1.6.1)

x = rcos j, y = rsin j, получим: r²cos²j + r²sin²j = 4rsin j Þ

r²(cos²j + sin²j) = 4rsin j Þ r² = 4rsin j Þ r = 4sin j.

Построим эту линию по точкам. Так как r ≥ 0, то 4sin j ≥ 0 Þ 0 ≤ j ≤ p.

Для вычисления значений r составляем таблицу:

 

Рис.1.7.13

 

Далее из полюса проводим лучи и откладываем на них соответствующие значения r. Соединим полученные точки плавной линией. Построенная кривая (см. рис.1.7.13) является окружностью радиуса 2 с центром в точке M₀(0, 2).

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться: