Свойство симметрической разности:

.

Доказательство.

Доказательство этого свойства, как и других утверждений о равенстве каких-либо множеств, состоит в том, чтобы, предположив принадлежность некоторого элемента x множеству из левой части равенства, доказать, что этот же самый элемент принадлежит множеству, стоящему в правой части равенства и наоборот.

Пусть , что по определению симметрической разности означает, что x (A\B) (B \A). Здесь возможны два варианта: либо x (A \ B), либо x (B \ A). В первом случае мы получаем: x (A \ B)  (x A и x B) (x A B и x A B), откуда очевидно следует, что x . Ситуация, когда x (B \ A), рассматривается аналогично.

Итак, мы доказали, что если некоторый элемент x принадлежит множеству из левой части равенства, то из этого следует, что он принадлежит множеству, стоящему в правой части равенства. Теперь нам необходимо доказать обратное включение.

Пусть x (x A B и x A B). Здесь возможны две ситуации: либо и ,  либо  и . Рассмотрим первый случай: пусть и , . Откуда .Второй случай доказывается аналогично.

Важно!!!

Итак, мы полностью доказали заявленное свойство. При доказательстве подобных утверждений огромную роль играет то свойство, что если некоторый элемент x принадлежит некоторому множеству X, то он, очевидно, будет принадлежать и объединению множества X с произвольным другим множеством.

Определение 5.

Множество U, такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами, называется универсальным.

То есть это множество, которое по предположению содержит все используемые нами множества. Обозначается не кругом, а прямоугольником (рис. 5).

ПРИМЕР  5.

Множества {звездные скопления}, {черные дыры}, {планеты} являются подмножествами универсального множества {вселенная}.

Определение 6.

Множество U \ A называется дополнением множества A (до универсального множества) и обозначается через .

На кругах Эйлера это определение представлено на рис. 5.

Принцип двойственности

Теорема двойственности

Теорема 1 (двойственности или де-Моргана).

Пусть A_k, k = 1,..., n – некоторые подмножества универсального множества U, тогда имеют место следующие равенства:

;                 .     (5)

 

Эти равенства, связывающие операции пересечения и объединения множеств и их дополнений до универсального множества, называют соотношениями принципа двойственности.

Доказательство.

.

Заметим, что в приведенном доказательстве все утверждения об элементе x соединены знаками , что позволяет одновременно строить доказательство утверждения в обе стороны.

ПРИМЕР 6.

18

Определим следующие множества: A – множество четных натуральных чисел; B – множество нечетных натуральных чисел; C – множество натуральных чисел, не больше 10. В качестве универсального множества мы будем рассматривать множество натуральных чисел N. Наша задача состоит в том, чтобы описать следующие множества:

19

.

Решение.

1.

  – это множество нечетных натуральных чисел, т.е. множество B.

2. Каждое натуральное число является либо четным, либо нечетным, поэтому = .

3. = . Следовательно,  = N.

 

4. A C = { четные натуральные числа 10} = {2, 4, 6, 8, 10}.

Базис операций

Если теперь считать, что в нашем распоряжении имеется универсальное множество U, то операции , , \ и  можно определять друг через друга и фактически ввести некоторый базис операций в алгебре множеств.

ПРИМЕР  7.

1. .

2. .

3. .

Определение 7.

Операции { , , \} называются булевыми операциями над множествами.

3. Декартово произведение множеств

В математике достаточно часто приходится иметь дело не только с отдельными элементами какого-либо множества, но и с упорядоченными парами его элементов. Примерами упорядоченных пар могут служить (a, b), (1, 1). В упорядоченных парах числа могут совпадать, а могут и не совпадать. Аналогично сказанному можно ввести в рассмотрение упорядоченные тройки, упорядоченные четверки, а в общем случае и упорядоченные наборы длины n элементов данного множества.

Набор, составленный из элементов a₁, a₂, ... a_n, n = 2, 3,... взятых именно в этом порядке, будем обозначать (a₁,..., a_n) и говорить, что i-я компонента этого набора есть a_i. Длиной набора (a₁,..., a_n) будем называть число n его компонент.

Определение 8.

Два набора равны между собой, т. е. (a₁,..., a_n) = (b₁,..., b_n), тогда и только тогда, когда для любого i выполнено равенство a_i=b_i.

ПРИМЕР  8.

(a, a, b) (a, b, a); (a, 2) (a, 2, 2).

Условимся называть элемент a некоторого множества A набором длины один, тогда можно ввести пустой набор - набор длины нуль, который мы будем обозначать .

  Определение 9.

Декартовым (прямым) произведением множеств A₁,..., A_n (n 2) называется множество, состоящее из всех тех и только тех наборов длины n, i-я компонента которых принадлежит множеству A_i:

.

Через  обозначают декартово произведение n – штук множеств M. Его элементами являются упорядоченные наборы из n элементов, каждый из которых принадлежит множеству M. Множество  еще называют n-й декартовой степенью множества M. По аналогии с числами обычно полагают , = .

ПРИМЕР  9.

Рассмотрим два множества A₁ = [0, 1], A₂ = [2, 3]. Если на плоскости выбрать некоторую декартову систему координат, то прямое произведение A₁× A₂ можно представить как квадрат со стороной длины 1 (рис. 6).

20

Очевидно, что «декартовая плоскость», известная нам со школы определяется как Декартово произведение множества действительных чисел . В дальнейшем при изучении функций двух переменных, в отличие от функции одной переменной, нам потребуется находить область определения как некоторую часть декартовой плоскости. В этом случае диаграммы Венна получат большую наглядность и будут представлены кривыми второго порядка.

Заключение

В лекции изучены важные операции над множествами «объединение», «пересечение», «разность». Познакомились с новым «универсальным» множеством. Полученные знания будут необходимы при изучении темы «Отношения множеств».  

Отметим следующее:

- операции объединения и пересечения коммутативны;

- операция разности не коммутативна;

-

21

диаграммы Венна – абстрактные круги, объединяющие все элементы множества;

- универсальное множество содержит все множества;

- доказательство теорем осуществляется на основе принадлежности элемента множества, как к левой, так и правой части;

- если элемент принадлежит множеству, то он принадлежит и объединению этого множества с любым другим множеством;

- декартовым произведением множеств называется новое множество, элементами которого являются пары, составленные из элементов исходных множеств;

- Декартова плоскость это множество .

Литература

1. Яблонский Я. В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа, 2001. - 384 с.

2. Москинова Г.И. Дискретная математика. – М.: Логос, 2002. – 240 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001.

4. Самсонов Б.Б. и др. Компьютерная математика. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. – 512 с.

5. Демидович Б.П, Кудрявцев В.А.. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 2001. - 656 с.

Лекция 3

Отношения

22

1. Отношения на множествах, соответствия

Бинарные отношения

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: