Алгоритм восстановления аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Поскольку действительная и мнимая части взаимосвязаны условиями Коши-Римана, то достаточно одной её части, чтобы восстановить вторую часть, и далее всю функцию .

Например, нам известна . Тогда  = , это криволинейный интеграл 2 рода для векторного поля  от фиксированной точки, например (0, 0) до произвольной . Нам неизвестны эти частные производные, как и сама функция , однако их можно заменить на известные, по условиям Коши-Римана.

 =  и далее вычислить.

 

 

Итак, алгоритм:

1. Проверить выполнение уравнения Лапласа (иначе  или  не может быть частью какой-то единой комплексной функции).

2. Вычислить криволинейный интеграл.

3. В полученной функции  выразить  по формулам: , . При правильном вычислении сократятся  все  и останется только .

Пример. Дано . Узнать мнимую часть и восстановить вид функции .

Сначала проверяем уравнение Лапласа.

, , сумма 2-й производных равна 0, то есть  является одной из компонент комплексной функции.

 = = , где .

Итак, найдём криволинейный интеграл . Сделаем это с помощью интегрирования по ломаной, как при вычислении потенциала поля.  =  = .

Далее, в выражение  подставим , .

=  =

 =  =  = . Итак, .

ЛЕКЦИЯ 6. 10.10.2018

Интегрирование комплексных функций

       Возможны разные подходы к определению понятия интеграла от комплексной функции. Так, например,  - функции двух переменных, тогда можно вычислять кратные интегралы от них по некоторой плоской области, и объединять результаты в комплексное число вида . Однако в качестве основного всё же исторически был принят метод интегрирования по кривой, именно при таком подходе возможно введение понятия первообразной , а также получают применение многие факты из теории векторного поля. Итак, определение интеграла и метод его вычисления:

       Определение. Пусть в области  задана некоторая функция  (не обязательно аналитическая), и в области  расположена кусочно-гладкая кривая  (не обязательно замкнутая). Введём разбиение кривой на n частей с помощью (n-1) внутренних точек. Таким образом, получилась последовательность точек , расположенных по порядку на кривой, где  - начальная и конечная точки. Обозначим . Выберем на каждом участке дуги какую-то точку  и составим интегральную сумму: . Предел интегральных сумм при измельчении разбиения, т.е. при , называется интегралом от функции  по кривой  и обозначается .

 

       Метод вычисления. При вычислении необходимо разбить на действительную и мнимую части как функцию, так и дифференциал, затем раскрыть скобки и получить 4 слагаемых. Но их можно объединить по два, в двух из них нет мнимой единицы, а в двух она есть:

= .

Таким образом, при вычислении всё сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от векторных полей  и , а мнимая единица умножается на второй из них, при этом в самих вычислениях она фактически не участвует.

 

Некоторые свойства.

1. Линейность  = .

2. Если кривая АС разбита на две части некоторой точкой В, то:

3. .

4. Если  то , где  - длина кривой АВ.

Пример. Вычислить интеграл :  

А) по прямолинейному отрезку от 0 до .

В)  по параболе от 0 до .

Решение.

А)  =  =

, далее вычисляем 2 криволинейных интеграла по отрезку, на котором , заменяем , .

При этом .  =  = .

Б) Исходное раскрытие скобок происходит так же, как и в прошлом случае:   но теперь линия  это не отрезок, заданный явным уравнением , а парабола, заданная явным уравнением . Поэтому заменяем , .

 =  =

 = .

Ответ. по отрезку: 1, по параболе: .

       Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, но это здесь потому, что функция не аналитическая, она содержит , а мы доказывали теорему 4 в конце прошлого § о том, что аналитичность равносильна отсутствию  в составе функции, то есть тому, что .

 

 

Теорема 1. Если  замкнутый контур, внутри которого во всех точках  является аналитической, то .

(ДОК 17). Доказательство. = =

 в двух этих интегралах - циркуляция двух векторных полей  и , они потенциальны по теореме 2 прошлого §, а тогда циркуляция равна 0, то есть получаем .

Теорема 2. Если  является аналитической во всех точках некоторой области , граница которой односвязна, то интеграл от функции  не зависит от пути, то есть имеет одно и то же значение для любой кривой , соединяющей пару точек .

(ДОК 18). Доказательство.  Аналогично прошлой теореме,

= .

Криволинейные интегралы 2 рода от векторных полей  и  не зависят от пути, что доказано ранее в главе «теория поля».

 

       Так как для аналитической функции интеграл не зависит от пути, то для аналитической функции оказывается возможным ввести понятие первообразной. Введём в рассмотрение такую функцию:  которая каждой точке ставит в соответствие интеграл до неё от некоторой фиксированной точки . Вводится по аналогии с вычислением потенциала поля, только в данном случае,  вычисляются потенциалы двух полей  и . Докажем, что построенная таким образом функция является первообразной.

Теорема 3. Функция  является первообразной от функции .

(ДОК 19). Доказательство.

Докажем, что производная от  равна .

По определению производной, .

Распишем разность в числителе более подробно.

= .

потому что по свойству 2, в числителе сокращается интеграл по той части, которая от   до , и остаётся только от  до .

Итак, остаётся доказать равенство: , которое можно переписать в виде .

Распишем более подробно действительную и мнимую часть как в интеграле, так и в правом пределе.

 

 

Проведём исследование 1 из 4 слагаемых, остальные по аналогии.

Если рассматривать в проекции на горизонтальную ось, допустим, что  фиксировано, то:  

что эквивалентно

.

Но так как для непрерывной функции действительного переменного верна теорема о среднем, т.е. такое свойство: , то в данном случае можно утверждать, что существует такая точка , что выполняется , причём при  точка , ведь она находится на отрезке, который стягивается в одну точку, в свою левую границу.

. Итак, мы исследовали 1-е слагаемое из 4-х, остальные аналогично, причём везде используются только функции действительного переменного, просто одни из них умножаются на  в итоговой записи, а другие нет. Но для каждого элемента при этом можно использовать теорему о среднем как для действительной функции.

Теорема 4. Для аналитической на кривой  функции верна формула Ньютона-Лейбница: .

(ДОК 20). Доказательство.   По построению первообразной,

 и . 

Но тогда  =  а тогда по 3-му свойству

это , что равно интегралу по кривой, проходящей от  до  (через точку ).

Тогда  =  =  т.к. по свойству 2, их можно объединить. Итак,  = .

Пример. Вычислить  от 0 до  двумя способами:

А) без формулы Б) по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

А)  =  =

Пусть точки 0 и  соединены по прямой  (вспомним, что интеграл не зависит от пути, поэтому можем соединить их как удобнее для вычислений). Тогда , , и

 =  =  = .

Б) По формуле:  =  =  = = .

Пример. Вычислить , где  - окружность радиуса  вокруг точки

Решение.

Способ 1. Представим функцию в виде . Движение по окружности можно задать формулами:  

В этом случае . Тогда

 =  =

 , домножим на сопряжённое,  =

 =  =

 = =

 = .

Способ 2. Представим  =  =

. Тогда .

 =  =  = .

 

 

ЛЕКЦИЯ 7. 17.10.2018

Интегральная формула Коши

       Заметим, что в последнем примере в конце прошлой лекции  сократилось и ответ вообще не зависел от  - радиуса окружности. То есть получается, при уменьшении или увеличении окружности ничего не изменится, если та же самая точка разрыва остаётся внутри, а замкнутый контур стягивается к ней, оставляя снаружи область аналитичности. Этот факт докажем в общем случае.

Теорема 1. (Интегральная теорема Коши).

Пусть  некоторый замкнутый контур,  - n замкнутых непересекающихся контуров, лежащих внутри . Функция  является аналитической на всех этих контурах, а также внутри , но вне . Тогда .

Доказательство (ДОК 21).

       Для того, чтобы лучше понять идею доказательства, рассмотрим сначала ситуацию, когда внутри  расположен один контур , то есть оласть аналитичности - кольцо. Можно взять какую-либо пару точек  на  и  соответственно (чтобы точкибыли максимально близко напротив друг друга) и соединить их отрезком. Тогда для комбинированого контура, состоящего из 4 частей: , , ,  внутренняя область, похожая на кольцо с разрезом, это область аналитичности. Мы один раз обходим этот контур, двигаясь по внешнему против часовой стрелки, поэтому и обозначено , затем переходя на внутренний контур по , затем двигаясь по внутреннему в противоположном направлении ( ), и возвращаясь по  снова на внешний контур. Чертёж:

Но если комбинированный контур окружает область аналитичности, то интеграл по нему равен 0.

.

При этом интегралы по  и  и так взаимно уничтожаются, поэтому . Но если сменить направление движение по внутреннему контуру , то интеграл по нему сменил бы знак, тогда: .

Таким образом, интегралы по  и  одинаковы, то есть можно без изменения результата уменьшить область, стянув её к точке разрыва, оставив снаружи какую-то часть области аналитичности.

Если внутри  несколько контуров, внутри которых нарушена аналитичности или даже существование функции, то применяется похожая схема рассуждений, только надо поочерёдно соединить отрезком  с , затем  с  и так далее, до номера n.

Теорема 2. (Интегральная формула Коши).

Пусть  является аналитической на контуре  и внутри него, точка  лежит внутри . Тогда .

Доказательство (ДОК 22).

В рассмотренном примере в конце прошлой лекции мы вычислили , то есть верно . Но мы можем домножить это равенство на любую комплексную константу, и тогда: . Впрочем, тогда это же верно и для константы : получаем . Мы получили выражение, очень похожее на то, которое надо доказать, но ещё не то: ведь здесь в числителе константа, а не функция. Вот если мы теперь ещё и докажем, что , или то же самое, что , то требуемое утверждение будет верно.

Рассмотрим функцию . Это функция, которая участвует в определении предела, ведь .

Таким образом, , то есть  имеет конечный предел в точке , а это значит, что она ограничена в окрестности этой точки, . По теореме 1 (интегральная теорема Коши), интеграл по  можно заменить на интеграл по любой малой окружности  радиуса , лежащей внутри , результат при этом не изменится. Тогда  = , где  - максимальное значение модуля функции,  - длина кривой, по которой происходит интегрирование. Но ведь по теореме 1 это должно быть верно для какого угодно малого . То есть  меньше или равен любой бесконечно-малой величины. Тогда этот интеграл равен 0. То есть  =  = . Значит, , а тогда:  

, т.е.  доказано в итоге.

Интегральная формула Коши позволяет быстро вычислять интегралы по контуру вокруг точки разрыва, фактически не проводя подробное интегрирование. Достаточно убрать из знаменателя ту скобку , которая соответствует этой точке разрыва, подставить в остальную функцию  и домножить на .

Пример. Вычислить .

Решение. Внутри окружности радиуса 1, 5  всего одна из двух точек разрыва функции, вторая снаружи. Обозначим в качестве  функцию без , как будто на  делим чуть раньше, а на  позже.

 = , где  это то, что именно обозначается  в интегральной формуле Коши.

Тогда  =  =  = . \

Ответ. .

Теорема 3. (Обобщённая интегральная формула Коши).

Пусть  является аналитической на контуре  и внутри него, точка  лежит внутри . Тогда .

Доказательство (ДОК 23).

Продифференцируем по параметру  правую и левую часть равенства в исходной интегральной формуле Коши.

.

 =  =  =  = .

Таким образом, .

Следующая производная от  равна

 = . Аналогично следующая (тертья от исходной функции) равна , далее по индукции для n-й производной получим  = .   Тогда .

Рассмотрим примеры, похожие на предыдущий, но в которых будет 2 или 3 степень скобки . По обобщённой интегральной формуле Коши, если скобка во 2 степени, надо не просто убрать её из знаменателя, а после этого ещё и один раз продифференцировать оставшуюся функцию, и лишь затем подставлять . А если 3 степень, то 2 раза продифференцировать, но с 3-й степени начинает ещё и изменяться коэффициент из-за того, что он уже не равен 1, а будет .

 

Пример. Вычислить .

Решение.  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Пример. Вычислить .

Решение. =  =  =

 =  =  = .

Ответ. .

       Далее докажем с помощью интегральной формулы Коши, что верно разложение в ряд Тейлора не только для функций действительного переменного (1 семестр), но и для комплексных функций.

 

Теорема 4. (Теорема о разложении в ряд Тейлора).

Пусть  является аналитической в окрестности точки .

Тогда она представима в виде степенного ряда:

 , где .

Доказательство (ДОК 24).

Рассмотрим окрестность точки  и какую-нибудь точку , лежащую внутри неё. Пусть граница окрестности - кривая , а точку на ней обозначим .

Можно записать интегральную формулу Коши для точки в таком виде:   (здесь  и  имеют такой же смысл, как ранее было  и ).

Изучим  дробь  подробнее. Можно прибавить и отнять :

 =  а дальше преобразовать к виду суммы геометрической прогрессии, чтоб воспользоваться тем фактом, что . Причём выносить за скобку в знаменателе надо именно такой из двух блоков, чтобы получилось 1 и нечто меньшее по модулю, чем 1. Учитывая, что  на границе, а  внутри контура, то  ближе к , чем . Поэтому , т.е.

Тогда  =  =  =

. Подставим это выражение в интегральную формулу Коши вместо .      Тогда  =  =  .

Оставим внутри знака интеграла только те множители, которые зависят от . Получим   но оставшийся внутри суммы интеграл можно преобразовать по обобщённой интегральной формуле Коши из теоремы 3,  ведь если    то .

Тогда  = .

Получилось разложение в ряд Тейлора с коэффициентами .

 

Теорема 5. (Теорема о разложении в ряд Лорана).

Пусть  является аналитической в некотором кольце с центром , тогда она представима в виде ряда .

Доказательство (ДОК 25).

Обозначим внутреннюю и внешнюю границы кольца через  и . Возьмём произвольную точку  в кольце. Окружим её контуром  малого радиуса, так, чтобы он не пересекался с  и .

По теореме 1, , впрочем, тогда

.  Но третий интеграл по контуру , внутри которого только одна точка нарушения аналитичности функции , а именно точка . Тогда третий интеграл сразу можно по интегральной формуле Коши представить в виде значения функции:

.

Тогда . 

В каждом из интегралов преобразуем выражение  с помощью геометрической прогрессии. В первом из них почти как в предыдущей теореме, потому что , т.е.  . А вот во втором, преобразование будет чуть иначе, потому что для точки , наоборот,  и соответственно, .

Если :  =  =  =  = .

Если :  =  =