Упражнение: «3-на-2» с использованием факторинга, сложения и вычитания

Решите представленные ниже задачи типа «3-на-2» с использованием методов факторинга, сложения или вычитания. Факторинг, когда он возможен, обычно легче. Решения показаны в конце книги.

 

Следующие примеры типа «3-на-2» появятся в разделах по возведению пятизначных чисел в квадрат и умножению типа «5-на-5».

 

 

Возведение пятизначных чисел в квадрат

Освоение умножение задач типа «3-на-2» требует куда больше практики, но как только вы управитесь с ним, то сможете плавно перейти прямо к задачам по возведению пятизначных чисел в квадрат, потому что они упрощаются до умножения типа «3-на-2» плюс возведение двух и трёхзначных чисел в квадрат. Смотрите:

Чтобы возвести в квадрат следующее число:

 

 

 

Подойдите к этому следующим образом:

 

 

так:

Используя распределительный закон, мы можем разбить пример

 

 

За это можно взяться более простым способом:

 

Но я не решаю их в таком порядке. На самом деле, я начинаю с середины, потому что задача типа «3-на-2» тяжелее, чем возведение в квадрат двух- и трёхзначных чисел. Так что в соответствии  с принципом «убирай сложное со своего пути в первую очередь», я вычисляю 792 х 46 х 2 и прикрепляю три нуля на концовку, а именно:

 

Используя метод вычитания, как показано выше, посчитайте 792 х 46 = 36432, затем удвойте это число для получения 72 864. Применение фонетического по отношению к числу 864 позволит вам хранить в памяти это число как «72 буквенно-числовой код».

Следующий шаг: посчитать 462  х 1 миллион, что будет 2 116 000

 

000.

 

На данной стадии вы можете произнести: «Два миллиарда…» Активизировав в памяти «72 буквенно-числовой код», вы

прибавляете 116 миллионов, чтобы получить 118 миллионов. Прежде чем сказать это вслух, вам нужно заранее проверить и посмотреть, нужно ли что-то держать в уме, когда вы прибавляете буквенно- числовой код, то есть 864, к 7922. Здесь вы на самом деле не вычисляете 7922; скорее вы определяете тот факт, что результат вычислений будет достаточно большой, для того, чтобы перекрыть 864

1. (вы можете приблизительно оценить это, если заметите, что 8002 это 640 000, что с лёгкостью перекроет 864 000. Таким образом, вы поднимите на ступеньку выше 188 и скажите: «... 189 миллионов....») Всё  ещё  держа  в  памяти  буквенно-числовой  код,  посчитайте квадрат 792, используя метод для возведения трёхзначных числел в квадрат (округление в большую и меньшую стороны на 8, и так далее), чтобы получить 627 264. Наконец, прибавьте 627 к буквенно-числовому коду,  то  есть  864,  дабы  получить  1491.  Но  так  как  вы  уже  сделали

перенос, отбросьте 1 и произнесите: «…491 тысяча 264»

Иногда я забываю последние три цифры ответа, потому что мой мозг был так сильно поглощён большими вычислениями. Так что перед тем, как провернуть итоговое сложение, я сохраняю цифру 2 (от 264) на своих пальцах и стараюсь запомнить 64, что я обычно в состоянии сделать, потому что мы имеем склонность к запоминанию того, что не

так давно слышали. Если затея проваливается, то я могу прийти к последним двум цифрам путём возведения в квадрат последних двух цифр исходного числа, 922, или 8464, последние две цифры которого и есть те самые последние две цифры: 64. (В качестве альтернативы, вы можете конвертировать 264 в фонетический код)

Я знаю, что это довольно-таки труднопроизносимо. Для повторного выполнения всей задачи целиком достаточно лишь одной иллюстрации. Вот как я посчитал 46 7922:

 

 

Давайте взглянем на другой пример с возведением пятизначного числа в квадрат:

 

 

Как и прежде, мы вычисляем ответ в таком порядке:

 

 

В  первой  задаче  обратите  внимание,  что  522  является  кратным  9.

Фактически, 522 = 58 х 9. Рассматривая 83 как 80 + 3, мы получим:

 

 

Удвоение 43 326 даёт нам в результате 86 852, что может быть сохранено как «86 буквенно-числовой код». Так как 832 = 6889,  мы можем произнести: «Шесть миллиардов…»

Сложение 889 + 86 даёт нам 975. Прежде чем произнести «975 миллионов», мы проверяем, не приведёт ли  наш  буквенно-числовой код (он же 652 000) к переносу чисел, после возведения в квадрат 522. Приблизительно оценив 5222 как 270 000 (500 х 540), вы увидите, что перекрытия не будет. значит, вы можете спокойно сказать: «…975 миллионов…»

Наконец, возведение в квадрат 522 обычным способом приведёт нас к 272 484, а прибавление данного числа к буквенно-числовому коду (652 000) - к остальной части ответа: «…924 484»

В виде рисунка данная задача выглядит следующим образом:

 

 

 

 

 

Упражнение: возведение в квадрат пятизначных чисел

Умно ж ение «3- на -3»

На пути к продвижению к нашему грандиозному финалу в виде умножения «5-на-5», задачки типа «3-на-3» наше  последний  барьер. Как и в случае с «3-на-2», существует многообразие методов, которые могут быть использованы для упрощения процесса в целом.

Метод  факторинга

Мы начнём с метода факторинга. К несчастью, большинство трёхзначных чисел не раскладываются на единичные цифры, но если всё-таки раскладываются, процесс вычисления будет не таким уж и плохим.

 

 

Обратите внимание на последовательность действий. Вы упрощаете задачу «3-на-3» (829 х 288) до «3-на-1-на-1-на-1». путём разложения 288 на 9 х 8 х 4. Далее  это  превращается  в  «4-на-1- на-1» (7461 х 8 х 4) и, наконец, в «5-на-1» для получения итогового ответа 238 752. Прелесть данного процесса заключается в отсутствии каких-либо действий на сложение и в том, что ничего не нужно хранить в памяти. Когда вы получили пример «5-на-1», то встали в одном шаге от выполнения задания.

Задача типа «5-на-1» может быть решена в два действия, если принять 59 688 как 59 000 + 688, а затем сложить результаты задач «2-

на-1» (59 000 х 4) и «3-на-1» (688 х 4), как показано ниже:

 

 

 

Если оба трёхзначных числа могут быть разложены как «2-на-1», тогда задача «3-на-3» может быть упрощена до «2-на-2-на-1-на-1», как в следующей задаче:

 

Как обычно, лучше всего сразу избавиться от тяжёлого элемента задачи (2-на-2). Как только вы сделали это, она будет сведена к «4- на-1», а затем к «5-на-1».

Почти всегда, только одно из чисел будет раскладываться. В таком случае, можно будет свести задачу к «3-на-2-на-1», как в следующем примере:

 

 

 

Следующая задача «3-на-3», в действительности, просто замаскированная «3-на-2»:

 

 

 

 

Путём удвоения 435 и сокращения 624 на половину, мы получаем эквивалентную  задачу:

 

 

 

Метод совместной близости

Вы готовы к кое-чему полегче?  Следующая  «срезка»,  которую мы представили в Главе 0, основана на следующей алгебраической формуле:

 

 

Что мы переписываем как:

 

 

Эта формула правомерна для любых значений z, a и b. Мы будем пользоваться этим всякий раз, когда трёхзначные числа, которые нужно перемножить (z х a и z х b), находятся близко к лёгкому числу z (типичный случай - число с кучей нулей). Например, умножим:

 

 

Мы  будем  рассматривать  эту  задачу  как  (100  х  7)(100  х  11).

Благодаря использованию z х 100, a х 7, b x 11 наша формула даёт нам:

 

 

 

Я схематически изобразил задачу вот так:

 

 

 

 

Цифры в скобках обозначают разницу между числом и нашим удобным «базовым числом» (здесь, z = 100). Число 118 может быть получено либо через сложение 107 + 11, либо через 111 + 7. По законам алгебры, обе эти суммы эквивалентны, так как (z x a) b (z x b) a.

В этот раз без лишней болтовни, вот вам ещё одна «ускорялка»:

 

Всё чётко!

Давайте слегка поднимем ставке и возьмём базовое число побольше.

 

 

Хотя данный метод обычно и используется для умножения трёхзначных чисел, мы также можем применить его для задачи «2- на-2»:

 

Здесь базовое число 70, его мы умножаем на 81 (78 + 3). Даже действие на сложение обычно очень простое.

Мы также можем применить данный метод, когда два числа оба меньше, чем базовое. Как, например, в следующей задачке, где оба числа меньше 400:

 

 

 

Число 383 может быть получено действием 396 - 13, или 387 - 4. Я буду использовать данный метод для задач типа «2-на-2», таких как эти:

 

 

В нашем следующем примере базовое число находится между перемножаемыми числами:

 

 

Число 409 получено по результатам 396 + 13, или 413 - 4. Обратите внимание, что с тех пор, как -4 и 13 имеют противоположные знаки, мы должны вычесть 52.

Давайте поднимем ставки ещё выше, до уровня, где второе действие требует умножения «2-на-2»:

 

 

 

Здесь мы обращаем внимание на то, что первое действие в задачке (600 х 658) уже само по себе является разумной оценкой. Наш метод позволяет вам перейти от оценки к точному ответу.

 

 

Также обратите внимание, что во всех этих примерах числа, которые мы перемножаем в первом действии, обладают такой же суммой, как и исходные числа. Например, в задачке выше, 900 + 829 = 1729, как и 876 + 853 = 1729. Это потому, что:

 

 

 

 

Следовательно, чтобы получить число, которое будет умножено на 900 (которое, как вы знаете, будет в районе 800> ), вам всего лишь нужно взглянуть на последние две цифры 76 х 53 = 129, чтобы определить 829.

В следующем примере, сложение 827 + 761 = 1588 подсказывает нам, что следует просто умножить 800 х 788, а затем вычесть 27 х 39 следующим образом:

 

 

Этот метод настолько эффективен, что если  задача  «3-на-3», над которой вы сидите в настоящий момент, состоит из чисел далёких друг от друга, то вы можете иногда видоизменить проблему путём деления одного и умножения другого чисел на одинаковую величину (тем самым приблизив их друг к другу). Например, задача 672 х 157 может быть решена так:

 

 

 

 

Когда умножаемые числа одинаковые (ближе друг к другу уже некуда! ), обратите внимание, что вычисления методом «close-together» генерируют в точности такие же вычисления, какие вы выполняете во время традиционной процедуры возведения в квадрат:

 

 

Метод сложения

Когда ни один из предыдущих методов не работает, я ищу возможность использовать метод сложения, в особенности, когда первые две цифры одного из трёхзначных чисел легки в обращении. Например, в задаче ниже, «64» из 641 раскладывается на 8 х 8, так что я бы решил её следующим образом:

 

 

 

 

Схожим образом, в следующем примере «42» из 427 раскладывается как 8 х 8, так что вы можете использовать метод сложения и представить 427 в виде 420 + 7:

 

Часто я разбиваю последнюю задачку на сложение на два этапа, как здесь:

 

 

Так как задачки, которые могут быть решены методом сложения, требуют определённых усилий, я обычно сворачиваю с данной дорожки с целью найти способ, который в результате приведёт к простым вычисления в концовке. Например, задача выше могла быть решена с использованием факторинга. По сути, вот какое бы я выбрал решение:

 

 

 

Самые простые задачи, которые могут быть решены методом сложения, содержат одно число с 0 в середине, как показано ниже:

 

Такие задачи, как правило, намного проще, чем другие, которые тоже можно решить таким способом. Так что стоит вглядываться в пример «3-на-3» на предмет его конвертации в такую задачу. Это окупается. Например, 732 х 308 можно было бы получить с помощью любого из «безнулевых» примеров ниже:

 

 

Мы упоминали, что другой способ решения данной задачи состоит в действии 308 х 366 х 2, и использовании преимущества близости нахождения 308 и 366. Давайте прорешаем ещё «крепкий орешек»:

 

Метод вычитания

Метод вычитания - то самое орудие, которое я время от времени использую, когда одно из трёхзначных чисел может быть округлено до простого двузначного число с 0 на конце, как в следующем примере:

 

 

 

Аналогично в следующей задачке:

 

 

 

⇐ Предыдущая13141516171819202122Следующая ⇒

Поделиться: