УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4

Тема 12. Повторные независимые испытания

(6) гл. 5; (7) № 112, 115, 119, 120, 131.

Разберите решения задач 16 – 19 методических указаний.

Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0, 9.Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

P ( A ) = P ( B ) + P ( C ).

Вероятности Р(В) и Р(С) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна p, а вероятность не наступления этого события равна q =1 – p. Тогда вероятность того, что событие А в n испытаниях появится ровно R раз, вычисляется по формуле Бернулли

,

где   - число сочетаний из n элементов по R.

Тогда

;

.

                                    

Искомая вероятность P ( A ) = 0, 2916 + 0, 6561 = 0, 9477.

 

Задача 17. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0, 9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность по формуле  (350)

Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

  ,

где  и .

Из условия задачи  p = 0, 9;  q = 1 – 0, 9 = 0, 1;  n = 400;  R = 350.

 

Тогда .

 

Из таблицы 1 приложений находим φ ( - 1, 67 ) = φ (1, 67 ) = 0, 0989. Искомая вероятность равна

.

Задача 18. Среди семян пшеницы 0, 02 % сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10 000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?

Решение. Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности  p = 0, 0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения .  Поэтому при малых значениях p для вычисления

применяют асимптотическую формулу Пуассона   

,  где   e =2, 7182…,

Эта формула используется при λ ≤ 10, причем, чем меньше p и больше n, тем результат точнее.

По условию задачи p=0, 0002; n=10 000; R=6.Тогда λ =  и

.

Задача 19. Процент всхожести семян пшеницы равен 90 %. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна p, то вероятность   (  ≤ R ≤  )  того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее   раз и не более    раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

,  где

, .

Функция   называется функцией Лапласа.

В приложениях ( табл. 2 )  даны значения этой функции для 0 ≤ x ≤ 5. При x › 5 функция Ф ( x ) = 0, 5. При отрицательных значениях x в силу нечетности функции Лапласа Ф (- х) = Ф (х). Используя функцию Лапласа, имеем:

 .

По условию задачи  n = 500; p = 0, 9;  q = 0, 1;  = 400;  = 440. По    

приведенным выше формулам находим α и β :

 

;                      .

Тогда

.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется событием? Приведем примеры событий; достоверных событий; невозможных событий.

2. Какие события называются несовместными? Совместными? Противоположными?

3. Что называется относительной частотой события?

4. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

5. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

6. Что называется условной вероятностью события?

7. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

8. Напишите формулу полной вероятности.

9. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?

10. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?

11. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

12. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?

 

Тема 13. Случайные величины и их числовые

Характеристики

(6) гл. 6, § 1 – 3, гл. 7, 8, 10, 11;

(7) № 165, 176, 188, 210, 254, 263, 276, 328, 341.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

 Х 40 42 41 44,

 Р 0, 1 0, 3 0, 2 0, 4.

Найти: 1) математическое ожидание М (Х);  2) дисперсию D (Х);     3) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Х       …             

Р       ,

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание М (Х) вычисляется по формуле

.

Тогда M ( X ) = 40 · 0, 1 + 42 · 0, 3 + 41 · 0, 4 = 42, 4.

 

2) Дисперсией D ( X ) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

.

 

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X  от  M (X). Из последней формулы имеем 

 

D ( X ) = ( 40 – 42, 4 )² ∙ 0, 1+(42 – 42, 4)²∙ 0, 3+(41 – 42, 4)²∙ 0, 2+

+(44 – 42, 4)²∙ 0, 4=2, 4²∙ 0, 1+0, 4²∙ 0, 3+1, 4²0, 2+1, 6²∙ 0, 4=

=2, 04.

Дисперсия D ( X ) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D ( X ) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания  M ( X ), то есть

D ( X) = M ( X ² ) - [ M ( X ) ]².

Для вычисления M ( X ² ) составим следующий закон  распределения  величины X ² :

                      X ² 40² 42² 41²   44²

                       P 0, 1 0, 3 0, 2  0, 4.

Тогда

M ( X ² ) = 40² · 0, 1 + 42² · 0, 3 + 41² · 0, 2 + 44² · 0, 4 =

= 160 + 529, 2 + 336, 2 + 774, 4 = 1799, 8 и

D ( X ) = 1799, 8 – 42, 4² = 2, 04. 

 

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение σ ( X ) случайной величины X, равное квадратному корню из дисперсии D ( X ), то есть

 .

 

Из этой формулы имеем: .

Задача 21. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

 

     0 при х < 0,

F (x) =       х³  при 0 ≤ х ≤ 1,

                            1   при х > 1.

 

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f ( x );  2) математическое ожидание  M ( X ); 3) дисперсию  D ( X ).

Решение. 1) Дифференциальная функцией распределения f ( x ) непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения  F ( x ), то есть

 

.

 

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

 

                        0 при х < 0,

    f (x) =     3 при 0 ≤ х ≤ 1,

                0 при х > 1.

 

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f ( x ), то ее математическое ожидание определяется формулой

 

.

 

Так как функция f ( x ) при  x < 0 и при  x > 1 равна нулю, то из последней формулы имеем

.

3) Дисперсию D (X) определим по формуле

.

Тогда

.

 

Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40мм и средним квадратическим отклонением 3мм.Найти: 1) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1, 5мм.

Решение: 1) Пусть Х - длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (х), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку [α ; β ], определяется по формуле

.

Вероятность выполнения строгих неравенств L < X < B определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

,                      (1)

где Ф (х ) – функция Лапласа, a =M (X), σ = .

 

В задаче   а = 40,   α = 34,   β = 43,  σ = 3. Тогда

 

.

 

2) По условию задачи  а – δ < Х < а + δ ,   где  а = 40;  δ = 1, 5. Подставив в (1) α = а – δ ,   β = а + δ ,  имеем

 ,  то есть

                        (2)

Из формулы (2) имеем:

.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.

2. Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

3. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсия? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

4. Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

6. Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

7. Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданной интервал.

8. сформулируйте правило « трех сигм ».

9. Назовите сущность закона больших чисел.

10. Напишите неравенство Чебышева.

11. Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.

 

Тема 14. Элементы линейного программирования

[2] гл. XXVI § 3.

 

Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного – 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Решение. Пусть приобретено    трехтонных и   пятитонных

 автомашин. Из условия задачи имеем

                                   

0 ≤  ≤ 20         

0 ≤    ≤ 18   

4 + 5  = 150.                                           (1)

 

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

L = 3  + 5 .                                              (2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1), при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение.

 

Графический метод решения

 

В прямоугольной системе координат   построим многоугольник

OABCD, образованный прямыми = 0   (OD),  =20  (AB),  = 0  (AO ),  = 18 ( CD),  4 + 5   = 150 ( BC)   и прямую 3 + 5 = 0 (l)   ( рис. 9 ).

Системе (1) удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него. Так как прямые (l) и BC не параллельны, то для нахождения оптимального решения системы (1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеют следующие координаты:  А (20; 0),  В (20; 14),  С (15, 18),  D (0; 18). Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

 

L ( A ) = L (20; 0 ) = 60;     L ( B ) = L (20; 14) = 130;

L (C) = L (15; 18) = 135; L (D) = L (0; 18) = 90.

 

Рис. 9

 

Следовательно, L = L (15; 18) = 135, то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин, при их общей грузоподъемностью 135 т.

 

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

2. Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

3. В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

 

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: