Образцы выполнения заданий контрольной работы

Образец выполнения задания № 1

Решение систем уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса рассмотрим на примере.     

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.

(1)

Решение по формулам Крамера

Имеем неоднородную системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Число уравнений равно числу неизвестных. Вычислим определитель системы , разложив по элементам первой строки:

Замечание. Тот же определитель можно вычислить с помощью добавления дополнительных двух первых столбцов. Определитель равен сумме произведений элементов по главной диагонали и элементов, параллельных главной диагонали минус сумма произведений элементов по побочной диагонали и элементов, параллельных этой диагонали:

 

 

Определитель системы не равен нулю, так что можно применить правило Крамера. Составим вспомогательный определитель , заменив столбец коэффициентов при  столбцом свободных членов:

Вычислим определитель , полученный из определителя системы, заменой столбца коэффициентов при переменной  столбцом свободных членов:

Аналогично вычислим :

По правилу Крамера:  Таким образом,

    Ответ:

 

Решение методом Гаусса

(методом последовательного исключения неизвестных).

Имеем уравнение (1). Запишем без изменения два первых уравнения. Умножим первое уравнение на (–2) и прибавим к третьему уравнению; запишем результат в третьей строке. Этот шаг представится в следующем виде:

Двигаемся от нижнего уравнения к верхнему и находим неизвестные:

 

Замечание. С помощью расширенной матрицы, методом исключения неизвестных, решение данной системы можно представить в виде:

 

 

Подставим неизвестные, двигаемся от нижнего уравнения к верхнему и находим неизвестные:

  

 

Ответ:

 

Решение матричным способом

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z

Обозначим

Если матрица A невырожденная  то она имеет обратную  матрицу.

X – матрица – столбец из неизвестных,

B – матрица – столбец свободных членов

X = , B = ,

то систему можно представить в матричной форме

Умножим обе части слева на обратную матрицу

.

Решим систему.

Решение

                                               

Так как по формулам Крамера вычислен определитель системы и он равен  то матрица A имеет обратную матрицу .

 

 

Ответ: x=3; y=2; z=1.

 

Образец выполнения задания № 2

Дано: , , , .

Найти: a) угол между векторами  и ;

б) площадь грани ;

в) объем пирамиды;

г) уравнение плоскости (А₁А₂А₃)

д) длину высоты, опущенной из вершины  на грань ;

е) длину медианы  к ребру А₃А₄ грани А₁А₃А₄.

Решение: для наглядности построим пирамиду  (необязательно соблюдая масштаб) и отметим на ней используемые векторы (рис. 29).

а) Для вычисления угла  между векторами  и  найдем эти векторы. Для этого из координат конца  вектора  вычтем соответствующие координаты начала A1: . . Аналогично . Вычислим длины векторов: .

 

     Рис. 29

 

 

Скалярное произведение  получим как сумму произведений соответствующих координат: ,   

.

    Ответ: .

б) Площадь грани  будем вычислять исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника  равна .

Вычислим векторное произведение  разложением определителя по первой строке:

Найдем длину вектора :

Тогда площадь грани  равна .

Ответ:

в) Объем пирамиды численно равен  модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, например векторов , , .

, .

Ответ:

г) На искомой плоскости (А₁А₂А₃) возьмем произвольную точку Векторы , ,   компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю ( ) =0..

                                 Рис. 30

 

, , .

 

  

       - уравнение плоскости.

 

д) Для вычисления высоты, опущенной из вершины  на грань , воспользуемся формулой , где  - длина высоты пирамиды. Объем пирамиды равен , площадь основания . Тогда , отсюда .

Замечание. Высоту пирамиды из вершины  на грань , можно определить по формуле расстояния от точки М( ) до плоскости Ax+By+Cz+D=0:

d=

 

d=

Ответ:

е) Вектор  соединяет  с серединой стороны . Найдем . Для этого вычислим полусуммы соответствующих координат векторов , , значит,  Тогда длина медианы

Ответ:

Образец выполнения задания № 3

Задача. Дано уравнение  линии в полярной системе координат. Надо: 1) определить точки, лежащие на линии, давая  значения через промежуток, равный , начиная от  в промежутке ;

2) построить линию, соединив полученные точки с помощью лекала или от руки;

3) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью, полюс – с началом прямоугольной декартовой системы координат; обе системы координат берутся правыми);

4) определить вид кривой.

Решение. 1) Для построения кривой, заданной уравнением , придаем   значения от   до   через промежуток (с шагом)   и заносим полученные значения в таблицу:

 

	0
	2, 3 2, 4 2, 6 2, 9 3, 5 4, 3 5, 4 6, 5 7 6, 5 5, 7 4, 3 3, 5 2, 9 2, 6 2, 4 2, 3

 

2)В полярной системе координат соединяем последовательно точки с координатами , получаем кривую (рис. 31).

3) Для получения уравнения линии в прямоугольной системе координат подставим значения полярного радиуса   и угла , связывающие полярную и прямоугольную системы координат.

 

 

 

 

                                      Рис. 31

 

, , .

Тогда .

 - уравнение эллипса с центром в точке  и полуосями

Напомним, что полярный радиус точки может принимать только неотрицательные значения.

Образец выполнения задания № 4

Задача. Дано уравнение прямой  и точка . Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и содержащей прямую .

Решение: Прямая  проходит через точку имеет направляющий вектор . Искомая плоскость проходит через прямую  и точку .

 

                      Рис. 30

 

 

                            Рис. 32

 

На искомой плоскости возьмем произвольную точку . Векторы , ,   компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

,

,

,

 

  

       - уравнение плоскости.

Ответ:

 

Образец выполнения задания № 5

Задача. Используя параллельный перенос осей координат, привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и построить кривую.

Решение: Выделим полный квадрат по переменным x, y в левой части.

Итак,

Разделим обе части на 6, получим

Для построения графика можно воспользоваться системой Mathematica

                                                           Рис. 33

 

Получаем уравнение гиперболы, действительная полуось которой , мнимая полуось , центр гиперболы

Образец выполнения задания № 6

Задача. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

1)       2)    

3)       4)                

5)               6)

Решение:

1) [Неопределенность . В числителе и знаменателе оставляем члены с наибольшей степенью] =

2)  [Неопределенность ] =

3)  [Неопределенность ] =

4) [Неопределенность . Здесь , значит  – бесконечно малая переменная. Воспользуемся формулой ] =

5)  [Неопределенность ] =  [Воспользуемся эквивалентностью ] =

6)  [Неопределенность . Здесь  = бм. Воспользуемся эквивалентностью ]=

    Задача. Найти пределы функций.

1) .

Так как заданная функция непрерывная (при всех значениях , в том числе и при ), то предел функции в  равен значению функции в этой точке,

т.е. .

Итак, .

    2) .

Функция  в предельной точке  не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при  (неопределенность вида ); преобразуем ее, чтобы сократить на множитель, стремящийся к нулю. Разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь на . Получаем

.

    3) .

    Функция  в предельной точке  не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при  (неопределенность вида ). Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, затем, сокращая дробь на , получаем

.

    4) .

    Функция  при  представляет собой неопределенность вида . В числителе и знаменателе оставляем члены с наивысшей степенью:

 

    5) .

Функция  при  представляет собой неопределенность вида . Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на . Получаем

       

= [Оставим члены с наибольшей степенью] =

6) .

Здесь х – бесконечно малая переменная, х = бм. Поэтому воспользуемся эквивалентностью . Тогда  

    7) .

    Здесь  поэтому  т.е.  Воспользуемся эквивалентностью  Тогда

    8) .

    Функция  в предельной точке  не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при  (неопределенность ). Чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной, положив . Тогда при  будет  и

[Так как  то ] =  

    9)     .

 [Перейдем к натуральному логарифму] =  =[Воспользуемся эквивалентностью ] =

    10) .

    Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть .

    Таким образом,

[Здесь  т.е.  Воспользуемся эквивалентностью ] =

Образец выполнения задания № 7

Задача. Найти производную  функций.

1)           2)      3)  

4)        5)

Решение:

1)

2)

3)

4) Здесь основание степени и показатель – переменные величины. Перейдем к основанию е: Тогда

          

5) Данное уравнение задает в неявном виде функцию у. Найдем , выполнив цепочку преобразований.

в левой части соберем члены, содержащие

Образец выполнения задания № 8

Задача. Найти  и

1)       2)

Решение:

1)

 или

2) Здесь функции я задана параметрическими уравнениями.

 

Образец выполнения задания № 9

Задача.  Исследовать функцию  и начертить ее график.

Решение: 1. Функция определена и непрерывна на всей оси  за исключением точек  и , в которых она имеет бесконечный разрыв.

2.  Так как  то функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

    Это позволяет ограничиться исследованием графика данной функции только для значений . Остальную часть графика функции мы построим, пользуясь его симметрией.

3. При , т.е. график функции проходит через начало координат.

    4. Вертикальной асимптотой графика функции служит прямая . Найдем односторонние пределы:

Для того чтобы выяснить, имеет ли график функции невертикальные асимптоты, вспомним, что коэффициенты  и  уравнения асимптоты  находятся из соотношений

и .

Применим их к исследуемой функции:

 

Итак,

Далее  Следовательно, .

    Таким образом, заключаем, что график исследуемой функции имеет асимптоту с уравнением  или .

    5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. Для этого вычисляем первую производную от данной функции:

.

Найдем стационарные точки. Для этого достаточно приравнять к нулю числитель выражения для производной. Решая уравнение , находим , , . Производная может менять знак при прохождении аргумента  через эти точки и точки разрыва функции  и , в которых производная не существует.

    Определим знак производной в интервалах между указанными точками. Так как  и , то знак производной определяется знаком разности .

    При  имеем ; следовательно, функция возрастает на этом интервале.

    При  имеем ; следовательно, функция убывает на этом интервале.

    Отсюда видно, что в точке  функция имеет максимум (переход от возрастания к убыванию).

    Определим ординату точки экстремума .

    6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную . Мы видим, что  только при . Вторая производная может изменять знак в этой точке и в точке разрыва функции . Определим знак второй производной в интервалах между указанными точками.

    При  имеем ; следовательно, график функции вогнут.

    При  имеем ; следовательно, график функции выпуклый. Мы видим, что, проходя через точку , вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно,  - абсцисса точки перегиба. Так как при  то касательная к графику в точке перегиба параллельна оси абсцисс.

    7. Все результаты исследования мы используем для построения графика данной функции (рис.34).

 

 

Рис. 34

 

Образец выполнения задания № 10

Задача. Дана функция . Найдите ее градиент в точке  и производную линии : .

⇐ Предыдущая123

Поделиться: