Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Уравнения, не содержащие уиу′ Пример 28. Решить дифференциальное уравнение второго порядка Решение. ; ; ; . Интегрируя, находим .Далее ; ; , интегрируя, получаем — общее решение. Замечание. Аналогичным образом решаются уравнения указанного вида более высокого порядка.
Уравнения, явно не содержащие неизвестной функции : Пример 29. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 35) Решение.Делаем подстановку . Тогда . Получим , ; ; . Интегрируя последнее уравнение, найдем ; . Так как , то ; , откуда — это и есть общее решение данного уравнения. Уравнения, явно не содержащие независимую переменную : Пример 30. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 36). Решение.Делая подстановку , , получим , . Интегрируем обе части уравнения: ; ; ; . Так как , то ; ; ; . Интегрируя, найдем:
Итак, общий интеграл данного уравнения . Линейные уравнения второго порядка Пример 31.Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 37-38, уравнение(10), табл.3, 4). Решение.Искомое решение будем искать в виде , где – общее решение уравнения , а у*− частное решение всего уравнения. Составим характеристическое уравнение , . Следовательно, . Найдем . Так как правая часть уравнения равна , то это случай 4 табл.4 и частное решение было бы , если бы числа не было среди корней характеристического уравнения. Но, так как число встречается среди корней характеристического уравнения один раз ( ), то . Найдем , , подставим эти значения в данное уравнение и потребуем, чтобы оно обратилось в тождество ; , откуда . Таким образом, и общее решение уравнения будет . Если в начальный момент времени известны и , то можно найти частное решение уравнения (10), удовлетворяющее этим условиям, то есть решить так называемую задачу Коши. Пример 32. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям (см. М-1540, стр. 39). Решение.Данное уравнение — это уравнение вида (10), при , , , . Найдем сначала общее решение данного уравнения . Для этого решим соответствующее однородное уравнение: . Следовательно . Так как числа нет среди корней характеристического уравнения, то (случай 3, табл.2) частное решение подбираем в таком же виде, как и правая часть , , . Подставляем эти значения в уравнение . Следовательно, . Значит, – общее решение данного уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, найдем: . Так как и , то получаем Подставляя эти значения в общее решение, найдем частное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Пример 33. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: (см. М-1540, стр. 39–40). Решение. Данное уравнение — это уравнение вида (10), при , , , . Решаем уравнение . Составляем характеристическое уравнение . Следовательно, – общее решение уравнения без правой части. По виду правой части находим число (случай 2, табл. 2). Такого числа среди корней характеристического уравнения нет, поэтому
или . Сравнивая слагаемые, содержащие и , получим
Поэтому , – общее решение данного уравнения. Найдем Учитывая начальные условия, найдем: , , откуда . Подставляя эти значения в общее решение, получим — частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Физический смысл полученного решения (и предыдущих) в том, что это есть отклонение некоторой динамической системы от положения равновесия в любой момент времени. В частности, при получим . Системы дифференциальных уравнений Пример 34. Найти общее решение системы (см. М-1540, стр. 40–41). Решение. Пусть , , подставим эти значения в систему: . Получим систему линейных уравнений относительно . Чтобы эта система имела ненулевые (нетривиальные) решения, ее определитель должен быть равен нулю: . Это уравнение называется характеристическим и имеет два корня . Возьмем сначала и подставим в последнюю систему: . Полагая , найдем и тогда , . Пусть теперь и тогда . Выбирая , найдем и тогда , . Можно показать, что общим решением системы будет пара функций и : , , где и – произвольные постоянные.
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-17; Просмотров: 246; Нарушение авторского права страницы