Отрезок натурального ряда. Присчитывание и отсчитывание по 1

Замена слов-числительных (один, два, три и т. д.), названных в определенной последовательности, математическими знаками (цифрами 1, 2, 3, 4 и т. д.) позволяет познакомить школьников с отрезком натурального ряда.

Изучение этого понятия в начальных классах сводится к усвоению учащимися той закономерности, которая лежит в основе построения натурального ряда: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше следующего на 1.

В соответствии с этим подходом последовательно рассматриваются отрезки натурального ряда чисел: 1, 2; 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4, 5; и т. д. до 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. При этом на каждом отрезке натурального ряда выполняются однотипные упражнения. Например, «при изучении чисел 1-4 проводится такая работа:

- Положите 2 круга, ниже положите столько же треугольников, придвиньте еще 1 треугольник. Сколько стало всего треугольников? Как получили 3 треугольника? Каких фигур больше: треугольников или кругов? На сколько больше?

- Положите в следующий ряд столько квадратов, сколько у вас лежит треугольников. Что надо сделать, чтобы квадратов стало больше на 1? Сколько стало квадратов? Как получили 4 квадрата?

- А если к трем флажкам присоединить еще 1 флажок, сколько станет флажков? Если к 3 ученикам подойдет еще 1 ученик, сколько их всего будет? Если к числу 3 добавить число 1, какое число получится? Запишем это разрядными цифрами: 3+1=4.

- Положите 4 кружка, ниже положите столько же квадратов, уберите 1 квадрат. Сколько получилось квадратов? Как получили 3 квадрата? и т. д.»1.

«Обобщая несколько раз выполненные операции удаления части множества (из 4 флажков убирают 1 флажок, от 4 учеников отходит 1 и т. д.), формулируют вывод: из числа 4 вычесть число 1, получится число 3. Появляется соответствующая запись: 4-1=3»².

Аналогичная работа проводится при изучении ряда чисел 1-5, 1 -6, 1 -7 и т. д.

5.В результате выполнения однообразных упражнений на каждом отрезке натурального ряда чисел, связанных с получением следующего и предыдущего числа (5+1 = б, 6-1 = 5, 6+1 = 7, 7-1 = 6), «дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете число 2, которое больше его на 1, после числа 2 идет число 3, которое больше его на 1, перед числом 4 называют число 3, которое меньше его на 1, и т. д. ».

Получая следующее число, учащиеся знакомятся с соответствующей цифрой. Одновременное введение нового числа в отрезке натурального ряда и цифры, его обозначающей, затрудняет осознание различий между понятиями «число» и «цифра».

Запись равенств выполняют по образцу и никак не соотносят их с понятиями арифметических действий сложения и вычитания.

Понятия «больше на», «меньше на» используются только для случаев присчитывания и отсчитывания по единице.

Рассмотрим другой подход, при котором дети переходят от счета предметов к записи цифр. В этом случае можно сначала научиться писать цифру 1, затем 4, 6, 9 и т. д., используя для определения количества счет. Составной частью этого подхода является целенаправленная работа по формированию у детей представлений о количественном и порядковом числе и сознательное освоение операции счета. После того, как они научатся писать все цифры от 1 до 9, им предлагается записать весь отрезок натурального ряда чисел от 1 до 9. Для этой цели детям дается задание:

- Посчитай слоников. Запиши цифрами числа, которые ты называешь.

- Проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

- Подумай, как ты получил каждое следующее число. Ответы детей могут быть различными: «Я считал слоников»,

«Один слоник, еще один - два слоника, еще один - три слоника; еще один слоник - четыре слоника и т. д.». Таким образом, нумеруя слоников, дети получают отрезок натурального ряда чисел.

Не следует вводить термин «отрезок натурального ряда». Записанный ряд чисел воспринимается ребенком как ряд, с помощью которого можно посчитать предметы. А приведенная характеристика получения следующего числа (еще один, еще один, еще один, еще один...) отражает на предметном уровне то существенное, что связано с его построением.

Математическую основу действий учащихся при изучении отрезка натурального ряда от 1 до 9 составляет связь чисел с конечными множествами. Для усвоения натурального ряда чисел и принципа его образования они постоянно обращаются к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации.

Например. На доске изображена туча. Она скрывает звезды на небе, и дети сначала их не видят. Но вот подул ветер и туча начала двигаться. На небе появилась первая звездочка.

- Сколько звездочек на небе? (Одна.)

- Какой цифрой обозначается это число? (Ученики поднимают карточку с цифрой 1.)

- А теперь на небе сколько звездочек? (Две.)

- Какой цифрой обозначается это число? (Учащиеся поднимают карточку с цифрой 2.) Затем появляется еще одна звездочка, затем еще одна и т. д. Учитель каждый раз выясняет, сколько звездочек стало видно на небе и какой цифрой обозначается их число.

Выкладывая на парте карточки, ученики получили ряд чисел:

- Кто обратил внимание на то, как появились звездочки на небе? (Сначала одна, потом еще одна.)

- Сколько получилось? (Две.)

- А как стало 3 звездочки? (Было 2, затем появилась еще одна.)

- А как стало 4? (Было три, потом появилась еще одна.) В результате дети устанавливают принцип получения каждого следующего числа натурального ряда. Для получения чисел натурального ряда можно использовать пирамидку, на которую последовательно набрасываются кольца. Учитель может предложить ученикам задание: «Я буду надевать кольца на пирамидку, а вы выкладывайте карточки с цифрами, которые будут обозначать число колец». Опираясь на имеющиеся у них представления о количественном числе и на свой жизненный опыт, учащиеся выполняют действия с предметными множествами, под руководством учителя переводят их на язык математических символов, осмысливают их в общих терминах: «предыдущее число», «последующее число», «следует за числом ...», «предшествует числу ...».

В журнале «Начальная школа» Г.Г. Микулина описывает интересную игровую ситуацию, которую она использует при обучении младших школьников для обобщения принципа образования натурального ряда чисел. Эта ситуация переносит детей в сказочную школу, где все числа, кроме 1, обозначаются необычными знаками, но принцип получения каждого следующего числа в ряду остается таким же, как в натуральном.

Свой рассказ учитель начинает так: «Приснился мне однажды сон, будто попала я в сказочную школу. Иду и вдруг нахожу полоску бумаги, на которой написаны какие-то непонятные знаки:

Подхожу я к сказочному мальчику и спрашиваю:

- Что это такое?

А он мне отвечает:

- Это числа, написанные по порядку.

- Как это, по порядку?

- А вот так, каждое число в этом ряду на 1 больше предыдущего и на 1 меньше следующего.

Решила я посмотреть, какие же задания предлагает учитель детям в сказочной школе. Может быть, и вы, ребята, справитесь с этими заданиями?»

Учитель выставляет на наборное полотно карточки со «сказочными цифрами» и предлагает такие задания:

1. Пошли два гномика в лес за грибами. Гномик в красной шапочке нашел «вот столько» грибов, в синей шапочке - «вот столько». (Над двумя числами сказочного ряда выставляются картинки с гномиками в разных шапочках.)

- Как вы думаете, кто из них нашел грибов больше и на сколько?

2. Шла я по сказочному лесу и нашла «вот столько» грибов. (Над одним из чисел сказочного ряда помещается карточка со стрелкой.) Иду домой, навстречу мне гномик. Посмотрел он в мою корзинку и подарил мне еще один белый гриб. Сколько же грибов у меня стало?

3. Отправилась Красная Шапочка в гости к бабушке и понесла ей «вот столько» пирожков. Встретился ей ежик по дороге. Красная Шапочка была доброй девочкой и угостила ежика пирожками. А бабушке она принесла «вот столько» пирожков.

- Как вы думаете, сколько пирожков она дала ежику?

Отвечая на поставленный вопрос и двигаясь то вправо, то влево, в зависимости от ситуации, по отрезку сказочного ряда чисел, дети осознают в общем виде принцип его построения, учатся рассуждать и обосновывать свой ответ.

Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет детям выполнять присчитывание и отсчитывание по единице.

В отличие от счета, особенность этих операций заключается в том. что одно из предметных множеств представлено натуральным числом.

Учитель может предложить детям такую ситуацию:

- В корзинке 7 грибов. (На корзинке написано число 7.) Я положила в нее еще один гриб, - говорит учитель. (Показывает детям этот гриб и кладет его в корзинку.)

- Сколько теперь грибов? (8) - Почему? (Прибавила единицу и получила следующее число.)

Теперь можно вынуть из корзинки все грибы и пересчитать их. Переход от счета к присчитыванию или отсчитыванию представляет для многих учеников определенную трудность - и не в силу сложности самой операции, а в силу того, что известные, усвоенные способы действий (в данном случае счет) имеют тенденцию сохраняться. Для преодоления этой трудности нужно в обучении сопоставить два способа: пересчет с присчитыванием и отсчитыванием. Конечно, словесное сопоставление доступно не всем семилетним, а тем более шестилетним детям, поэтому необходимо и здесь опираться на предметные действия. Так, учитель, выставив на доске 5 грибов (ученики путем пересчитывания убеждаются в этом), добавляет еще три гриба и обращается к ним с вопросом: «Сколько всего грибов на доске?» Для ответа на этот вопрос большинство из них будет обращаться к пересчитыванию, но учитель закрывает 5 грибов листом бумаги, на котором написано число 5, и спрашивает: «Как можно действовать в этом случае?» Такая ситуация может рассматриваться как проблемная, так как ее решение требует от учеников поиска нового способа действия.

Операция присчитывания осваивается детьми значительно легче, чем операция отсчитывания. В этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счете. И дело не только в том, что дети больше упражняются в назывании слов-числительных отрезка натурального ряда, и многие из них уже приходят в школу, владея этим умением. Гораздо важнее то, что с помощью отрезка натурального ряда они определяют количество предметов, сравнивают их, строят новую совокупность предметов и т. д. Другими словами, последовательность чисел натурального ряда применяется ими для решения практических задач, что способствует лучшему усвоению самого числового ряда.

Иначе обстоит дело с усвоением обратной последовательности чисел: 10, 9, 8, 7, ... 1, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся, как правило, упражняются только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано с решением каких-либо практических задач. Поэтому цепочка слов-числительных: десять, девять, восемь ... усваивается ими формально, что не способствует овладению операцией отсчитывания. Для того, чтобы они осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением от большего числа к меньшему.

Здесь возможны различные варианты. Первый - это когда ученик должен двигаться от большего числа к меньшему, однако при этом все предметы находятся перед ним и он может воспользоваться счетом, т. е. подкрепить свое решение.

На доске 9 домиков. Каждому из них нужно дать номер. Это делается в процессе счета. Учитель обыгрывает ситуацию. Зайцу-почтальону нужно отнести письмо в дом № 8. Как он может попасть в этот дом? Выясняется, что он может прибежать к началу улицы и посчитать дома от первого, но может считать их и с конца улицы. Конечно, второй вариант рациональнее.

В другой ситуации часть предметов скрыта от глаз, поэтому счет осуществить невозможно.

Например: а) У доски несколько учеников выстраиваются по росту. Их пересчитывают (от большого к маленькому). Каждому (на карточке) дается порядковый номер, и они садятся на место. Теперь нужно снова построиться, но так, чтобы карточки с цифрами были расположены в обратном порядке (от маленького к большому).

б) На доске нарисованы спинки стульев. Часть ряда спрятана за шторкой. Представим себе, что мы в кинотеатре, где уже погасили свет и начала ряда не видно. Мы стоим у десятого места, нам нужно шестое. Найди его. (Приведенные ситуации взяты из статьи Г.Г. Микулиной, «Начальная школа», 1987, № 9).

Сравнение чисел

Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели.

В качестве математической основы действий на предметном уровне выступает установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств:

Для записи отношений между числами учитель знакомит учащихся со знаками > (больше), < (меньше), = (равно) и с математическими записями, которые называются равенствами и неравенствами (5<9, 9>5, 5=5).

В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов: «5<9, так как число 5 называется при счете раньше, чем 9»).

В качестве графической модели используем числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам.

7. В соответствии с задачами строится изучение темы. Последовательно рассматриваются отрезки натурального ряда чисел:1,2; 1,2,3; 1,2,3,4; 1,2,3,4,5; 1,2,3,4,5,6;…;1,2,3,4,5,6,738,9,10. Каждое новое последующее число в натуральном ряду рассматривается в тесной взаимосвязи с предыдущим.

Получение каждого нового числа записывается с помощью знаков «+» и «-», что предварительно разъясняется на наглядном материале. Такой подход позволяет осознать принцип образования натурального ряда чисел и готовит их к изучению арифметических действий сложения и вычитания. На этапе изучения нумерации в данном концентре учащиеся пользуются терминами «прибавить», «увеличить», и «отнять», «уменьшить». С числом и цифрой нуль учащиеся знакомятся после рассмотрения натурального ряда чисел от 1 до 10. Число нуль выступает как характеристика пустого множества, и соответственно определяется его место в ряду целых неотрицательных чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

Задания.

1.Разъясните понятия «сознательный счет» в пределах 10 и «механический счет». Какие умения необходимо сформировать у учащихся для выполнения «сознательного счета»? Приведите конкретные примеры, характеризующие «механический счет».

2.При формировании умения считать предметы учитель ставит своей целью разъяснить детям, что:

а) предметы можно считать в любом порядке;

б) считая предметы, надо ставить каждому из них в соответствие слово – числительное, т.е. нельзя пропустить ни одного предмета или поставить в соответствие двум предметам одно слово – числительное;

в) слово – числительное, названное последним при счете, является ответом на вопрос «сколько?», т.е. характеризует количество предметов данной совокупности.

Какие из этих целей реализуется с помощью приведенных ниже заданий?

1) На столе в беспорядке разбросаны кубики. Учитель просит сосчитать их.

2) На наборном полотне размещены кружки разного цвета. Учитель просит сосчитать их, начиная с красного, потом синего, потом зеленого.

3) На наборном полотне выставлены предметы. Их пять. Учитель говорит: «Незнайка на вопрос «Сколько здесь предметов?» ответил: «6», а Буратино сказал, что их 4 Согласны ли вы с ними? Какую ошибку мог совершить Незнайка при счете? Какую ошибку мог совершить Буратино?».

 

 

3.С какой целью учитель предложил задание: «раскрасьте желтым карандашом первую и третью клеточки, зеленым – вторую, красным – последнюю. Какая по счету последняя клеточка?»

4.Учитель предложил задание: «Положите столько же палочек, сколько на столе лежит яблок. Положите столько же квадратов, сколько на столе лежит палочек. Положите столько же треугольников» сколько квадратов. Чем похожи между собой группы предметов? С какой целью предложено задание?

5.Подберите дидактические игры, которые можно использовать с целью:

а) Формирования навыков счета;

б) Усвоения принципа образования натурального ряда чисел от 1 до 10;

в) Формирования умения сравнивать числа.

6.Опишите методику знакомства учащихся с числом и цифрой нуль. Просмотрите учебник «Математика - 1» и ответьте на вопросы: «Встречались ли учащиеся с цифрой нуль раньше? В связи с изучением какого вопроса? Как вы думаете, возможно ли познакомить учащихся с числом и цифрой нуль раньше, чем это сделано в учебнике? Целесообразно ли это делать?» Обоснуйте свой ответ.

7.Какие понятия формируются у учащихся в процессе установления взаимно однозначного соответствия между совокупностями предметов. Приведите примеры конкретных заданий на установление взаимно однозначного соответствия.

8.Подберите из учебника «Математика - 1» иллюстрации, которые можно использовать для формирования понятий «больше» «меньше» «столько же». Какие из упражнений на формирование этих понятий можно выполнить с дидактическим материалом из кассы цифр? Как можно с этой же целью использовать наборное полотно?

⇐ Предыдущая12

Поделиться: