Основные характеристики кодов

 

Основание кода. Коды характеризуются числом ( m ) используемых различных качеств элементов кода, т.е. числом символов, или букв, кодового языка. При m = 2 имеет место двузначный (бинарный) код, при m = 3 - трехзначный код и т.д.

Разрядность кода ( n ) есть число символов в кодовой комбинации (длина кодового слова). Если длина всех кодовых слов одинакова ( n = const ), код называется равномерным.

Мощность кода есть число кодовых комбинаций N_p, используемых для передачи сообщений, из общего числа всех возможных кодов и комбинаций N = m ⁿ .

Если N _p < N, то код обладает избыточностью, так как не все кодовые комбинации используются для передачи сообщений. С избыточностью связана способность кода к обнаружению ошибок, так как для этой цели используются ( N _p – N ) неразрешенных кодовых комбинаций. Избыточность кода характеризуется коэффициентом избыточности :

                            .                                       ( 1 )

Диапазон возможных значений коэффициента избыточности для разных кодов 0 < k_из < 1. При k_из = 0 имеет место безизбыточный непомехозащищенный код.

 Кодовое расстояние d между двумя кодовыми комбинациями определяется сложением по модулю 2 единиц в табличных записях кода. Операция производится без переноса единицы в старший разряд и обозначается  .

При сложении по модулю два получим:

1  1 = 0 ; 0  0 = 0 ; 1  0 = 1 ; 0  1 = 1.

Для двухзначных кодов d есть вес, т.е. число единиц, суммы по модулю 2 двух кодовых комбинаций. Например,  

                  0110111 – 1 кодовая комбинация

              1101010 – 2 кодовая комбинация

                  1011101 – сумма по модулю 2

Число единиц в сумме (вес суммы) равно кодовому расстоянию d = 5.

Кодовое расстояние между различными кодовыми комбинациями, как правило, различно. Минимальное кодовое расстояние d _min  характеризует помехозащищенность кода.

Распределение рабочих кодовых комбинаций по кодовым расстояниям характеризует потенциальную помехозащищенность кода. Рассмотрим эту характеристику кода на примере. Пусть код содержит следующую совокупность кодовых комбинаций (кодовых векторов): V₁ = 001, V₂  = 010, V₃ = 011, V₄ = 100. Найдем кодовые расстояния d _ij между всеми кодовыми векторами и сведем их в табл. 1.

 

Таблица 1.

Vj \ Vi	V1	V2	V3	V4
V1	0	2	1	2
V2	2	0	1	2
V3	1	1	0	3
V4	2	2	3	0

 

Определим и сведем в табл. 2 распределение рабочих кодовых комбинаций рассматриваемого примера по кодовым расстояниям, т.е.

Таблица 2.

Vi \ d	1	2	3
V1	1	2	0
V2	1	2	0
V3	2	0	1
V4	0	2	1

Из таблицы ясно, что, например, кодовый вектор V₁ отстоит от одного из векторов на d = 1 и от двух других на d = 2, а вектор V₃ отстоит от двух векторов на d = 1 и от одного на d = 3. Коды, для которых N^{( d )}_p различно для разных кодовых векторов, называются несимметричными. Если N^{( d )}_p для всех рабочих кодовых векторов одинаково, то код называется симметричным.

Для рассматриваемого кода минимальное кодовое расстояние между рабочими векторами d _min = 1. Это означает, что даже единичная ошибка может привести к ложному (не обнаруживаемому) переходу одного кодового вектора в другой, следовательно, имеется вероятность приема ложного сообщения при искажении из-за наличия помех качественного признака одного из n элементов кодовой комбинации.

Помехоустойчивость характеризуется показателем S , который рассчитывается по формуле

                                ,                                       ( 2 )

где Р - вероятность ошибки (выполнения ложных сообщений).

Вероятность ошибки определяется отношением

                                         ,                                          ( 3 )

где L - количество выполненных ложных сообщений,

  М - общее количество допустимых сообщений.

Потенциальная помехозащищенность кода характеризуется коэффициентами ложных переходов одной кодовой комбинации в другую под влиянием помех кратности d.

Коэффициент ложных переходов определяет вероятность ложного перехода одной рабочей кодовой комбинации в другую под влиянием помех кратности d и определяется выражением

                                            ,                           ( 4 )

где N^{( d )} - общее число кодовых векторов, отстоящих от данного вектора на кодовое расстояние d , N^{( d )}_p – число рабочих кодовых векторов, отстоящих от данного вектора на кодовое расстояние d .

Для симметричных кодов N^{( d )}_p одинаково для всех рабочих кодовых векторов, и  определяется согласно ( 4 ). Для несимметричных кодов коэффициент ложных переходов при d – кратной ошибке определяется как среднее значение этого коэффициента для всех N _p рабочих кодовых векторов, т.е.

                                                                       ( 5 )

Общее число кодовых векторов N^{( d )} отстоящих друг от друга на кодовое расстояние d, для двузначных кодов может быть определено как число сочетаний по d из числа разрядов кода n , т.е.

                                                                   ( 6 )

Для рассматриваемого выше примера кода

для d = 1 ,

для d = 2 ,

для d = 3 .

Таким образом, при однократной ошибке вероятность приема ложного сообщения 1/3, при двух- и трехкратной ошибке вероятность ложного приема 1/2.

Очевидно, чем больше d _min , тем выше помехозащищенность кода, так как при кратности ошибки меньше d _min , переход одной рабочей кодовой комбинации в другую невозможен. Следовательно, не будет и ложного приема информации. Искаженная помехами кодовая комбинация легко обнаруживается, так как она не принадлежит к числу рабочих комбинаций. Таким образом, при d _min = r + 1 обнаруживаются все ошибки кратности r . При d _min = 2 s + 1 могут быть исправлены все ошибки кратности s , а при d _min = r + s +1 (при r ³ s) обнаруживаются ошибки кратности r и исправляются ошибки кратности s .

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: