Постановка задачи линейной фильтрации по Калману и структура алгоритма получения фильтра

Пусть, как и при постановке задачи для Винеровской фильтрации, имеется линейная динамическая система (ЛДС) фильтра, описываемая импульсной переходной функцией (ИПФ) с входом  и выходом

.                                                        (3.4.1.1)

Здесь, как и ранее  – реальный выходной сигнал, т.е. оценка идеального выходного сигнала .

В качестве критерия оптимальности выбирается стандартный критерий (2.1) – математическое ожидание квадрата ошибки (среднеквадратичное отклонение):

.       (3.4.1.2)

Для оптимального фильтра  Калмана получаем оптимальную оценку  в каждый текущий момент времени

.                                        (3.4.1.3)

Рассмотрим идеальную импульсную переходную функцию (ИПФ)

,                                                     (3.4.1.4)

и чистый (без помехи) входной сигнал , тогда эта идеальная ИПФ будет -функцией:

.      (3.4.1.5)

Решение задачи в случае стационарной системы (линейной стационарной динамической системы (ЛСДС) и стационарных сигналов) даётся фильтром Винера в результате составления и решения уравнения Винера-Хопфа, с помощью передаточных функций в частотной области. Фильтр Калмана решает задачу и для нестационарных систем, но его решение получается в виде некоторой рекуррентной процедуры, связанной с решением векторного дифференциального уравнения.

Получение фильтра Калмана аналогично фильтру Винера также начинается с рассмотрения нестационарного уравнения Винера-Хопфа для оптимального фильтра:

                        (3.4.1.6)

Однако дополнительно предполагается, что полезный сигнал описывается уравнением в пространстве состояний.

Результатом решения задачи в случае фильтра Калмана, в противоположность фильтру Винера, будет не полное ядро интегрального оператора , а только его диагональ , которая будет служить как бы коэффициентом усиления, и некоторый довольно сложный алгоритм получения оптимальной оценки  сигнала.

Ввиду сложности вывода алгоритма, да и самого алгоритма, сначала приведём общую структуру вывода и структуру алгоритма. Основой и наиболее сложной частью алгоритма является, так называемое, «дисперсионное уравнение» – дифференциальное уравнение для дисперсии  полезного сигнала , параметрами которого являются матрицы уравнения в пространстве состояний , величины помех  и начальное условие для дисперсии . При этом рассматриваются помехи только частного вида – белые шумы , и условия некоррелированности помех с полезным сигналом  и друг с другом.

Значение дисперсионного уравнения состоит в том, что основной элемент закона управления – диагональ  будет выражаться через решение дисперсионного уравнения, матрицу  и величину помехи .

Вывод алгоритма фильтра Калмана: т.е. получения диагонали  и оценки  сигнала состоит из следующих шагов:

- дифференцируем уравнение Винера-Хопфа, используем уравнение в пространстве состояний и получаем дифференциальное уравнение для ядра ; ;

- дифференцируем уравнение Винера-Хопфа для оптимальной импульсной переходной функции (ИПФ) и получаем выражение оптимальной оценки  через ядро ; ;

- подставляем в выражение для  производную  из продифференцированного уравнения Винера-Хопфа и получаем простую линейную структуру оптимального фильтра для оценки  в виде линейного дифференциального уравнения со свободным членом, зависящим от выходного (измеряемого) сигнала  и коэффициентами, зависящими от , который теперь надо определить;

- возьмём дифференциальное уравнение Винера-Хопфа для частного случая диагонального ядра  и получим выражение для  через дисперсию ошибки – в результате получаем полностью определённый оптимальный фильтр;

- наконец, перейдём к выводу дисперсионного уравнения для чего вначале вычтем полученное дифференциальное уравнение фильтра для  и дифференциальное уравнения в пространстве состояний для  и получим линейное дифференциальное уравнение для ошибки , в которое входит ;

- докажем, что матрица дисперсии процесса  удовлетворяет некоторому также линейному дифференциальному уравнению, коэффициенты которого связаны с коэффициентами полученного дифференциального уравнения для ошибки;

- для этого напишем выражение для корреляционной функции и выразим в ней процесс  через фундаментальную матрицу решений;

- проводя многочисленные упрощения, получим искомое дисперсионное уравнение, как следствие определённое выражение для  и полностью определённый фильтр.

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: