Определение предела числовой последовательности. Теорема о единственности предела

    Предел последовательности. Число A называется пределом последовательности, если для любого положительного числа e можно подобрать такой номер N члена последовательности, зависящей от e, что для всех членов последовательности с номерами  будет выполнено неравенство . Если a_n имеет своим пределом число A, то говорят, что a_n сходится к A и обозначают так: . Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится. Используя свойства модуля, неравенство  можно записать так: . Интервал  называется - окрестностью числа A .

    Теорема о единственности предела. Если функция  в точке a имеет предел, то этот предел единственный.

    Доказательство: докажем методом от противного. Предположим, что , , . Возьмём , по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая - окрестность точки, в которой одновременно будут выполнятся неравенства ,      , тогда в точках этой же окрестности:

. Получили противоречие Отсюда, функция  в точке a имеет единственный предел.

 

Действия над пределами

Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

    Константу можно выносить за знак предела:

    Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Бесконечно малая последовательность. Ее свойства

Последовательность называется бесконечно малой, если

, т.е. для любого  найдется номер  такой, что при всех . Иначе, в любом интервале  находится бесконечно много членов этой последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов.

Свойства:

· Сумма, разность и произведение двух б.м. последовательностей является б.м., т.е. если  то

· Произведение ограниченной последовательности на б.м. является б.м., т.е., если существует такое  что для всех номеров то

· В частности, если

 

Теорема о двух милиционерах

Теорема о двух милиционерах. Если функция  в некоторой окрестности точки  заключена между двумя функциями  и  , то имеет место неравенство , причем эти функции имеют одинаковый предел при : , то существует предел функции и  при , равный этому же значению: .

Доказательство. По определению последовательности, для произвольного числа , найдется такой номер , что при : . И найдется такой номер , что при : . Рассмотрим так же номер N больший, чем числа  Тогда при , и поэтому

 или . Следовательно: .

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: