Линейная функция, её свойства и график.

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

 

 

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1.

 

 

Общее уравнение прямой на плоскости

 

 

Признаки параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Признак параллельности прямых:

A1x + B1y +C1 = 0; A2x + B2y + C2 = 0

A1 / A2 = B1 / B2 != C1 / C2

A1B2 - A2B1 = 0

Признак перпендикулярности прямых:

A1 * A2 / (B1 * B2) = -1

A1 * A2 = -B1 * B2

A1 * A2 + B1 * B2 = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки (с координатами (x1, y1); (x2, y2)

                      

 

Угол между заданными прямыми (Вывести формулу для тангенса угла между прямыми).

 

Итак, тангенс угла между двумя прямыми вычисляется по формуле

Пучок прямых

В заданной плоскости γ пучком прямых с центром в точке М0 называют множество всех прямых, лежащих в плоскости γ и проходящих через точку М0.

 

2. Числовые функции

 Определение. В математике числовая функция -это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств

Для области определения функции используют обозначение D (f). Х – независимая переменная или аргумент.

Множество всех значений функции у = f (x) называют областью значений функции и обозначают E (f). У – зависимая переменная.

Свойства функции

Монотонность

 

2. Ограниченность функции.

 

 

3. Четность функции. Функция называется f(x) четной, если:

1) D(f) симметрична относительно начала координат

2) Для любого х из D(f) выполняется f(-x) = f(x)

Функция называется f(x) нечетной, если:

3) D(f) симметрична относительно начала координат

2) Для любого х из D(f) выполняется f(-x) = -f(x)

 

График чётной функции симметричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).   

 

4) Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число T называется периодом функции. ( Все тригонометрические функции являются периодическими).Привести примеры.

 

 

3.

 

4. сравните числа sin2 и sin8

 

 

Билет 4.

 

1. Виды соответствий

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, S X Y.
Одно-однозначные - характеризуются тем, что все пары соответствия имеют различные первые и различные вторые компоненты.
(a1,b1);(a2,b2); график функции y=kx

Одно-многозначные - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми, но различными вторыми компонентами.
(a1,b1);(a1,b2);(a2,b3)  график функции x=5

Много-однозначные - характеризуются тем, что имеют пары с различными первыми компонентами, но с одинаковыми вторыми.
(a1,b1);(a2,b1);(a3,b1)  график функции y=5     

Много-многозначные - характеризуются тем, что имеют пары с одинаковыми первыми компонентами, но различными вторыми, а также наоборот.

Множества Х и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

 Соответствие f называют функциональным, если оно является одно-однозначным или много-однозначным

Обратные соответствияОпределение. Пусть S - соответствие между множествами Х и У, при котором каждому xn из X соответствует  yn из Y. Соответствие S^-1; между множествами Y и X называется обратным данному, если каждому yn из Y соотсветствует  xn из Х

.  

 

2.

Рис. 1

Доказательство тождества

Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол , тогда , а . В , как радиус единичной окружности. Так как треугольник прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора:

Учитывая, что и , получаем

Что и требовалось доказать.

 

Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.

Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность. Пусть точки A1 и A2 получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы и соответственно. Тогда угол между векторами и равен либо , либо , где z – любое целое число. Другими словами, угол между указанными векторами равен либо , либо , либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты и . Таким образом, косинус угла между векторами и равен косинусу угла , то есть, . Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.

В силу определений синуса и косинуса, точки A1 и A2 имеют координаты и соответственно. Тогда и (при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.

Теперь запишем скалярное произведение векторов и . С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид . Отсюда получаем равенство . Этим доказана формула косинуса разности.

Переходим к доказательству следующей формулы сложения. Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем

последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.

Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так

в последнем переходе мы использовали формулы приведения.

А вот доказательство формулы синуса разности:

в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.

Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на , учитывая что и , имеем

после сокращения дробей получаем .
В итоге имеем .

Теперь докажем формулу тангенса разности:

Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:

и

 

 

 

3)задача поделить многочлен на многочлен

4.

 

 

Билет 5.

 

1. Квадратичной функцией называют функцию вида

 

 , где где a, b, c – произвольные числа, причём a≠0

 

 

Выделение полного квадрата.

 Дискриминант представляет некую вспомогательную величину, D = b² – 4 ac

Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.

  

D = b² – 4 ac – дискриминант, тогда

  если D>0 (два корня)

 

если D=0 (один корень)

 

если D<0 уравнение не имеет корней.

 

Теорема Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Обратная теорема Виета. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q =0

( Доказательство см. учебник алгебры 8 класса стр.198)

                          

Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители

Если

x₁ и x₂ - корни квадратного трехчлена ax² + bx + c. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом                           ax² + bx + c = a(x - x₁) (x - x₂).

Доказательство. Подставим вместо

p и q их выражения через x₁ и x₂ и воспользуемся способом группировки:

x² + px + q = x² - (x₁ + x₂) x + x₁ x₂ = x² - x₁ x - x₂ x + x₁ x₂ = x (x - x₁) - x₂ (x - x₁) = = (x - x₁) (x - x₂)

 

2. Теорема

          

                 Рис.1                                     Рис.2                                               Рис.3

Доказательство 1 (для треугольника).

Пусть есть треугольник ABC и его проекция ABC1 на плоскость α. Проведем высоту CD треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах отрезок    C1D – высота треугольника ABC1. Угол CDC1 равен углу φ между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции α.

C1D= CD

SABC = AB·CD, SABC1 = AB·C1D, следовательно

SABC1 = SABC

Следовательно, для треугольника теорема верна

Замечание. Данное док-во справедливо, также, для случая, когда сторона AB треугольника не лежит в пл-ти проекции, но параллельна ей. Так-как

( см рис.3).

Доказательство для многоугольника.Пусть Ф- данный многоугольник ABCD (см. рис.2). Его ортогональную проекцию - многоугольник A1B1C1D1 – обозначим Ф1. Разобьем их на соответственные треугольники.

Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, следует разбить на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции. (см. замечание)

  

 

3.

 

4.

 

 

БИЛЕТ 6 (нет)

 

БИЛЕТ 7

 

1. Объединением множеств  A и B называется множество A U B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B

Свойства операции объединения.
1.(коммутативность); A∪B = B∪A
2.(ассоциативность) (А∪B) ∪C = А∪(B∪C)
3. Если     B⊂A, то A∪B=A                                                                                                                  

4. Объединение А и пустого множества равно А. А∪Ø= А
5. A ∪ U = U

 

Пересечением множеств А и B называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В

 

Свойства операции пересечения множеств

1.( коммутативность); A∩B = B∩A
2.(ассоциативность). (A∩В)∩С = А∩(В∩С)
3. Если A⊇B, то А∩B = В;                                                                                                                    
4. А∩Ø=Ø .
5. A ∩ U = A

 

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

 

2. Вариант ответа № 1

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь)

                                             

Теорема всякая рациональная дробь представима притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

 

Вариант ответа № 2

Рациональные дроби. Рациональной дробью называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. е. всякая дробь вида

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ( > ), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( < ), то дробь называется правильной.

 

Всякую неправильную рациональную дробь ( , > ) можно представить в виде суммы многочлена (целой части ) и правильной рациональной дроби ,n<m

Это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.

Пример. ,

Так как

 

3.

 

4.

БИЛЕТ 8.

 

1. Любое выражение вида asinα+bcosα можно представить в виде
Asin(α+ϕ).

Для этого вынесем за скобки выражение √a2+b2: asinα+bcosα=√a2+b2(a√a2+b2⋅sinα+b√a2+b2⋅cosα).
Но (a√a2+b2)2+(b√a2+b2)2=1.
Это значит, что точка с координатами a√a2+b2 и b√a2+b2 удовлетворяет уравнению x2 + y2 = 1, т.е. лежит на числовой окружности.
Поэтому существует такое ϕ, что a√a2+b2=cosϕ,b√a2+b2=sinϕ.
Обозначим √a2+b2 через A, получим asinα+bcosα=A(cosϕ⋅sinα+sinϕ⋅cosα)=Asin(α+ϕ).

Итак, формула дополнительного угла:

 

2. Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена P(x) на двучлен (x a) равен значению этого многочлена P(x) при x=a, т.е. R = P(a).

 

Пусть :

P ( x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен ( x - a ) - его делитель,

Q ( x ) – частное от деления P ( x ) на( x – a). Q ( x ) имеет степень n-1.

R – остаток от деления. R-число.

Доказательство:

Согласно правила деления многочленов с остатком можно записать:

P (x) = (x-a)·Q(x) + R .

Отсюда при x = a

P (a) = (a-a)·Q (a) + R =0·Q(a)+R=0+ R = R.

Значит, R = P ( a ) , т.е. остаток от деления многочлена на ( x - a ) равен значению этого многочлена при x = a , что и требовалось доказать .

 

Следствия из теоремы Безу:

 

Следствие 1 Число a является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x a) без остатка.

 

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на (x – a) равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это значит , что P (a) = 0 , что и требовалось доказать .

 

Следствие 2 Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни a1, a2 ….. an,

то он делится без остатка на произведение (x- a1) (x- a2) …… (x- an).

 

( доказывается через мат. индукцию. http://mirznanii.com/a/312686/teorema-bezu

  см. следствие3)). И в Виленкине стр.56 (теорема 3)

 

Следствие 3 Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

 

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P( x ) степени n имел бы более n корней – (n + k) (a1 , a2 , … , a(n + k) - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 2 он

бы делился на произведение ( x - a1 ) … ( x – a(n + k) ) , имеющее степень n + k , что невозможно .

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней , что и требовалось доказать .

 

ЕСТЬ ЕЩЕ СЛЕДСТВИЯ В ТЕТРАДИ БЕЗ ДОК-ВА!!!!!!!!!

Схема Горнера (с выводом). ( См. учебник 10кл. стр.58).

 

Теорема. Пусть и . Найдутся многочлен и число такие, что .

Доказательство. Будем искать в виде . Из равенства = при сравнении коэффициентов получаем цепочку равенств: , , , . . . , , , откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :

( Чтобы это понять, нужно начать перемножение и после приведения подобных слагаемых будет видно, откуда бирутся эти коэффициенты)

, ,

,…, ,

.

Теорема доказана. Более того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов и остатка . Этот способ носит название схемы Горнера.

 

П р и м е р. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен .

Решение. Составим таблицу:

Понятие кратности корня многочлена.

Определение. Число k называется кратностью корня с в многочлене f(x),если многочлен f(x)= · Φ(x), где многочлен Φ(x) уже не делится на (xc), а сам корень с  k-кратным корнем этого многочлена.

Если k=1, то говорят, что корень с– простой.

 

3.

4.

 

БИЛЕТ 9

 

1. ТЕОРИЯ

2. ТЕОРИЯ

 

3. ----------------------- >

 

4.

 

 

БИЛЕТ 10

 

1. Определение. Число, равное ординате точки М единичной окружности, называется синусом угла α

Определение. Число равное абсциссе точки М единичной окружности, называется косинусом угла α.

Определение. Отношение ординаты точки М к ее абсциссе называется тангенсом угла α.

Определение. Отношение абсциссы к ординате - котангенсом угла α

Свойства и графики тригонометрических функций.

 

Функция синус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная. Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z. sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z. sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z. Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

 

Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. cos x = 0 при cos x > 0 для всех cos x < 0 для всех Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

 

Функция тангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения. tg x = 0 при tg x > 0 для всех tg x < 0 для всех Функция возрастает на промежутках:

 

Функция котангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. График функции симметричен относительно оси OY.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения. ctg x = 0 при ctg x > 0 для всех ctg x < 0 для всех Функция убывает на каждом из промежутков

 

 

2. Определение. Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y: x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x: y=g(x).

 Пример . Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6, получаем : y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

Критерий обратимости функции.

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы на данном числовом промежутке f(x) была строго монотонна. (т.е. когда она является одно-однозначным соответствием.)

Доказательство

 

Сложная функция.
Сложная функция – функция от функции. Если g – функция от у, т.е. g(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = g(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

Пример: f(x) = ; y=2x , то f(x) = - сложная функция.

 

3.

 

4.

 

 

БИЛЕТ 11

 

1.Для взаимного расположения прямых в пространстве возможен один и только один из трёх случаев

 не параллельны и не пересекаются

Признак скрещивающихся прямых

2. Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой

 

 

где степени n и m – целые числа, n≥0, m≥0,

коэффициенты многочленов – действительные числа, a≠0, b≠0.                                                                         

 

 

Рациональной дробью называется выражение вида ,

 где Pn(x), Qm(X), – многочлены степеней n и m соответственно.

 

Если n<m, рациональная дробь называется правильной,

в противном случае – n ≥ m  – неправильной. (по аналогии с обычной дробью).

 

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

 

                                  

 

где A, B, C, a, p, q – числа, kN, k1

 

Теорема

 

 

 

3. Это надо найти период функции

·y= ctg x/2 + cos x/2

·Ответ: 12П

·4 . Дан синус угла Альфа и косинус угла Бетта. Дано то, в каких четвертях они расположены. Найти sin(альфа+бетта)
Тип чисто через тригонометрическое тождество и формулу sin(альфа + Бетта)
Ответ: -2√39/16

 

 

БИЛЕТ 12

 

1. Упорядоченной парой называется объект вида (a, b), который состоит из 2 не обязательно разных элементов и в котором определено какой из этих элементов первый, а какой второй.

Декартовым произведением множеств А и В

Как видно, АхВ ≠ ВхА, таким образом, декартово произведение не коммуникативно. (переместительный закон)

(A хB)хC≠Aх(BхC), таким образом, декартово произведение не ассоциативно. (сочетательный закон)

Свойства:                                                  

1. Не обладает коммуникативностью и ассоциативностью.

2. Дистрибутивность относительно объединения и вычитания множеств.

3. A∅=∅ ∅A=∅.

 

По аналогии можно определить декартово произведение более чем двух множеств

 

2. Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

    

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.

 

 

Определение

Линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: