Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Функция нескольких переменных и ее частные производные
1.1. Определение функции нескольких переменных Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y). Обозначается: z = f (x, y) или z = z (x, y). Пример. . Аналогично определяются функции трёх и более переменных. Примеры. – функция трёх переменных; – функция n переменных. Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).
1.2. Частные производные ФНП Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у. Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: – это частная производная функции z по аргументу x; – это частная производная функции z по аргументу у. Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента. Пример. Þ
1.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП Полным приращением функции двух переменных z = f (x, y) в точке (x, y), вызванным приращениями аргументов и , называется выражение . Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции. Если обозначить – расстояние между близкими точками и (х, у), то – это определение непрерывности ФНП на языке приращений. Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)Î D, то она называется непрерывной ФНП в области D. Функция z = f (x, y), полное приращение Dz которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно и , и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно , называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП. Если , где –бесконечно малые при , то полный дифференциал функции z = f (x, y) выражается формулой: , или: (1) (приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: Dх = dx, Dy = dy). Из определения полного дифференциала следует его связь с полным приращением: при малых и полное приращение функции Dz примерно равно ее полному дифференциалу: с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно . Полный дифференциал функции z = f (x, y) зависит как от точки M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений и .
1.4. Производные ФНП высших порядков Пусть функция z = f (x, y) имеет в точке (x, y) и её окрестности непрерывные частные производные первого порядка и . Так как и являются функциями тех же аргументов x и y, то их можно дифференцировать по x и по y. При этом возможны следующие 4 варианта: – эти частные производные называются частными производными второго порядка от функции z (x, y). Частные производные и называются смешанными частными производными второго порядка. Пример. Дана ФНП . Вычислим все её частные производные второго порядка. Основное свойство смешанных частных производных: если функция z = f (x, y) и её частные производные , , и определены и непрерывны в точке (x, y) и некоторой её окрестности, то в этой точке = , то есть смешанные частные производные при условии их непрерывности не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-29; Просмотров: 271; Нарушение авторского права страницы