ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РИСКОВ

Теоретическая часть

Имитационное моделирование представляет собой серию численных экспериментов, призванных получить эмпирические оценки степени влияния различных факторов (исходных величин) на некоторые зависящие от них результаты (показатели).

В общем случае, проведение имитационного эксперимента можно разбить на следующие этапы.

1. Установить взаимосвязи между исходными и выходными показателями в виде математического уравнения или неравенства.

2. Задать законы распределения вероятностей для ключевых параметров модели.

3. Провести компьютерную имитацию значений ключевых параметров модели.

4. Рассчитать основные характеристики распределений исходных и выходных показателей.

5. Провести анализ полученных результатов и принять решение.

Результаты имитационного эксперимента могут быть дополнены статистическим анализом, а также использоваться для построения прогнозных моделей и сценариев.

Пример 1

Фирма рассматривает инвестиционный проект по производству продукта "А". В процессе предварительного анализа экспертами были выявлены три ключевых параметра проекта и определены возможные границы их изменений (табл. 1). Прочие параметры проекта считаются постоянными величинами (табл. 2).

Таблица 1 - Ключевые параметры проекта по производству продукта "А"

Сценарий

Показатели

Наихудший

Наилучший

Вероятный

Объем выпуска – Q

150

300

200

Цена за штуку – P

Переменные затраты – V

Таблица 2 - Неизменяемые параметры проекта по производству продукта "А"

Показатели	Наиболее вероятное значение
Постоянные затраты – F	500
Амортизация – A	100
Налог на прибыль – T	60%
Норма дисконта – r	10%
Срок проекта – n	5
Начальные инвестиции – I₀	2000

Первым этапом анализа согласно сформулированному выше алгоритму является определение зависимости результирующего показателя от исходных. При этом в качестве результирующего показателя обычно выступает один из критериев эффективности: NPV, IRR, PI .

Предположим, что используемым критерием является чистая современная стоимость проекта NPV:

, (1)

где NCF_t – величина чистого потока платежей в периоде t.

По условиям примера, значения нормы дисконта r и первоначального объема инвестиций I₀ известны и считаются постоянными в течение срока реализации проекта (табл. 2).

По условиям примера, ключевыми варьируемыми параметрами являются: переменные расходы V, объем выпуска Q и цена P. Диапазоны возможных изменений варьируемых показателей приведены в табл. 1. При этом будем исходить из предположения, что все ключевые переменные имеют равномерное распределение вероятностей.

Реализация третьего этапа может быть осуществлена только с применением ЭВМ, оснащенной специальными программными средствами. Поэтому прежде чем приступить к третьему этапу – имитационному эксперименту, познакомимся с соответствующими средствами ППП EXCEL, автоматизирующими его проведение.

Задания к лабораторному занятию

Базовый уровень

Упражнение 1.

Проведение имитационных экспериментов в среде ППП EXCEL можно осуществить двумя способами – с помощью встроенных функций и путем использования инструмента Генератор случайных чисел дополнения Анализ данных (Analysis ToolPack). Для сравнения ниже рассматриваются оба способа. При этом основное внимание уделено технологии проведения имитационных экспериментов и последующего анализа результатов с использованием инструмента Генератор случайных чисел.

Следует отметить, что применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности реализации всех значений случайной величины считаются одинаковыми. Тогда для имитации значений требуемой переменной можно воспользоваться математическими функциями СЛЧИС() или СЛУЧМЕЖДУ(). Форматы функций приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Математические функции для генерации случайных чисел

Наименование функции

Формат функции Оригинальная версия Локализованная версия RAND СЛЧИС СЛЧИС() – не имеет аргументов RANDBETWEEN СЛУЧМЕЖДУ СЛУЧМЕЖДУ(нижн_граница; верхн_граница)

Функция СЛЧИС() возвращает равномерно распределенное случайное число E, большее либо равное 0 и меньшее 1, т.е.: 0 £ E < 1. Вместе с тем, путем несложных преобразований, с ее помощью можно получить любое случайное вещественное число. Например, чтобы получить случайное число между a и b, достаточно задать в любой ячейке ЭТ следующую формулу:

=СЛЧИС()*(b-a)+a

Эта функция не имеет аргументов. Если в ЭТ установлен режим автоматических вычислений, принятый по умолчанию, то возвращаемый функцией результат будет изменяться всякий раз, когда происходит ввод или корректировка данных. В режиме ручных вычислений пересчет всей ЭТ осуществляется только после нажатия клавиши [F9].

Настройка режима управления вычислениями производится установкой соответствующего флажка в подпункте Вычисления пункта Параметры темы Сервис главного меню.

В целом применение данной функции при решении задач финансового анализа ограничено рядом специфических приложений. Однако ее удобно использовать в некоторых случаях для генерации значений вероятности событий, а также вещественных чисел.

Функция СЛУЧМЕЖДУ(нижн_граница; верхн_граница). Как следует из названия этой функции, она позволяет получить случайное число из заданного интервала. При этом тип возвращаемого числа (т.е. вещественное или целое) зависит от типа заданных аргументов.

В качестве примера сгенерируем случайное значение для переменной Q (объем выпуска продукта). Согласно таблице 1, эта переменная принимает значения из диапазона 150 – 300.

Введите в любую ячейку ЭТ формулу:

=СЛУЧМЕЖДУ(150; 300) (Результат: 210).

Если задать аналогичные формулы для переменных P и V, а также формулу для вычисления NPV и скопировать их требуемое число раз, можно получить генеральную совокупность, содержащую различные значения исходных показателей и полученных результатов.

Продемонстрируем изложенный подход на решении примера 1. Перед тем как приступить к разработке шаблона, целесообразно установить в ЭТ режим ручных вычислений. Для этого необходимо выполнить следующие действия.

Выбрать в главном меню тему Сервис.

Выбрать в пункте Параметры подпункт Вычисления.

Установить флажок Вручную и нажать кнопку ОК.

Приступаем к разработке шаблона. С целью упрощения и повышения наглядности анализа выделим для его проведения в рабочей книге ППП EXCEL два листа.

Первый лист – Имитация - предназначен для построения генеральной совокупности (рис. 1). Определенные в данном листе формулы и собственные имена ячеек приведены в таблицах 4 и 5.

Рисунок 1. Лист "Имитация"

Таблица 4 – Формулы листа "Имитация"

Ячейка	Формула
Е7	=B7+10-2
A10	=СЛУЧМЕЖДУ($B$3;$C$3)
A11	=СЛУЧМЕЖДУ($B$3;$C$3)
B10	=СЛУЧМЕЖДУ($B$4;$C$4)
B11	=СЛУЧМЕЖДУ($B$4;$C$4)
C10	=СЛУЧМЕЖДУ($B$5;$C$5)
C11	=СЛУЧМЕЖДУ($B$5;$C$5)
D10	=(B10(C10-A10)-Пост_расх-Аморт)(1-Налог)+Аморт
D11	=(B11(C11-A11)-Пост_расх-Аморт)(1-Налог)+Аморт
E10	=БС(Норма;Срок;-D10)-Нач_инвест
E11	=БС(Норма;Срок;-D11)-Нач_инвест

Таблица 5 – Имена ячеек листа "Имитация"

Адрес ячейки	Имя	Комментарии
Блок A10:A11	Перем_расх	Переменные расходы
Блок B10:B11	Количество	Объем выпуска
Блок C10:C11	Цена	Цена изделия
Блок D10:D11	Поступления	Поступления от проекта NCFt
Блок E10:E11	ЧСС	Чистая современная стоимость NPV

Первая часть листа (блок ячеек А1:Е7) предназначена для ввода диапазонов изменений ключевых переменных, значения которых будут генерироваться в процессе проведения эксперимента. В ячейке В7 задается общее число имитаций (экспериментов). Формула, заданная в ячейке Е7, вычисляет номер последней строки выходного блока, в который будут помещены полученные значения. Смысл этой формулы будет раскрыт позже.

Вторая часть листа (блок ячеек А9:Е11) предназначена для проведения имитации. Формулы в ячейках А10:С11 генерируют значения для соответствующих переменных с учетом заданных в ячейках В3:С5 диапазонов их изменений. Обратите внимание на то, что при указании нижней и верхней границы изменений используется абсолютная адресация ячеек.

Формулы в ячейках D10:E11 вычисляют величину потока платежей и его чистую современную стоимость соответственно. При этом значения постоянных переменных берутся из листа шаблона Результаты анализа.

Лист Результаты анализа, кроме значений постоянных переменных, содержит также функции, вычисляющие параметры распределения изменяемых (Q, V, P) и результатных (NCF, NPV) переменных и вероятности различных событий. Определенные для данного листа формулы и собственные имена ячеек приведены в таблицах 6 и 7. Общий вид листа показан на рис. 2.

Таблица 6 – Формулы листа "Результаты анализа"

Ячейка	Формула
B8	=СРЗНАЧ(Перем_расх)
B9	=СТАНДОТКЛОНП(Перем_расх)
B10	=B9/B8
B11	=МИН(Перем_расх)
B12	=МАКС(Перем_расх)
C8	=СРЗНАЧ(Количество)
C9	=СТАНДОТКЛОНП(Количество)
C10	=C9/C8
C11	=МИН(Количество)
C12	=МАКС(Количество)
D8	=СРЗНАЧ(Цена)
D9	=СТАНДОТКЛОНП(Цена)
D10	=D9/D8
D11	=МИН(Цена)
D12	=МАКС(Цена)
E8	=СРЗНАЧ(Поступления)
E9	=СТАНДОТКЛОНП(Поступления)
E10	=E9/E8
E11	=МИН(Поступления)
E12	=МАКС(Поступления)
F8	=СРЗНАЧ(ЧСС)
F9	=СТАНДОТКЛОНП(ЧСС)
F10	=F9/F8
F11	=МИН(ЧСС)
F12	=МАКС(ЧСС)
F13	=СЧЁТЕСЛИ(ЧСС;"<0")
F14	=СУММЕСЛИ(ЧСС;"<0")
F15	=СУММЕСЛИ(ЧСС;">0")
Е18	=НОРМАЛИЗАЦИЯ(D18;$F$8;$F$9)
F18	=НОРМСТРАСП(E18)

Таблица 7 – Имена ячеек листа "Результаты анализа"

Адрес ячейки	Имя	Комментарии
B2	Нач_инвест	Начальные инвестиции
B3	Пост_расх	Постоянные расходы
B4	Аморт	Амортизация
D2	Норма	Норма дисконта
D3	Налог	Ставка налога на прибыль
D4	Срок	Срок реализации прока

Поскольку формулы листа содержат ряд новых функций, приведем необходимые пояснения.

Функции МИН() и МАКС() вычисляют минимальное и максимальное значение для массива данных из блока ячеек, указанного в качестве их аргумента. Имена и диапазоны этих блоков приведены в таблице 7.

Функция СЧЕТЕСЛИ() осуществляет подсчет количества ячеек в указанном блоке, значения которых удовлетворяют заданному условию. Функция имеет следующий формат:

=СЧЕТЕСЛИ(блок; "условие").

В данном случае заданная в ячейке F13 эта функция осуществляет подсчет количества отрицательных значений NPV, содержащихся в блоке ячеек ЧСС (табл. 7).

Механизм действия функции СУММЕСЛИ() аналогичен функции СЧЕТЕСЛИ(). Отличие заключается лишь в том, что эта функция суммирует значения ячеек в указанном блоке, если они удовлетворяют заданному условию. Функция имеет следующий формат:

=СУММЕСЛИ(блок; "условие")

В данном случае заданные в ячейках F14:F15 функции осуществляют подсчет суммы отрицательных (ячейка F14) и положительных (ячейка F14) значений NPV, содержащихся в блоке ЧСС. Смысл этих расчетов будет объяснен позже.

Две последние формулы (ячейки Е18 и F18) предназначены для проведения вероятностного анализа распределения NPV и требуют небольшого теоретического отступления.

Рисунок 2. Лист "Результаты анализа"

В рассматриваемом примере мы исходим из предположения о независимости и равномерном распределении ключевых переменных Q, V, P. Однако какое распределение при этом будет иметь результатная величина, показатель NPV, заранее определить нельзя.

Одно из возможных решений этой проблемы – попытаться аппроксимировать неизвестное распределение каким-либо известным. При этом в качестве приближения удобнее всего использовать нормальное распределение. Это связано с тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при выполнении определенных условий сумма большого числа случайных величин имеет распределение, приблизительно соответствующее нормальному.

В прикладном анализе для целей аппроксимации широко применяется частный случай нормального распределения т.н. стандартное нормальное распределение. Математическое ожидание стандартно распределенной случайной величины Е равно 0: M(E) = 0. График этого распределения симметричен относительно оси ординат, а характеризуется оно всего одним параметром – стандартным отклонением s, равным 1.

Приведение случайной переменной E к стандартно распределенной величине Z осуществляется с помощью т.н. нормализации – вычитания средней и последующего деления на стандартное отклонение:

, (2)

Как следует из (2), величина Z выражается в количестве стандартных отклонений. Для вычисления вероятностей по значению нормализованной величины Z используются специальные статистические таблицы.

В ППП EXCEL подобные вычисления осуществляются с помощью статистических функций НОРМАЛИЗАЦИЯ() и НОРМСТРАСП().

Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ(x; среднее; станд_откл). Эта функция возвращает нормализованное значение Z величины x, на основании которого затем вычисляется искомая вероятность p(E ≤ x). Она реализует соотношение (2). Функция требует задания трех аргументов:

х – нормализуемое значение;

среднее – математическое ожидание случайной величины Е;

станд_откл – стандартное отклонение.

Полученное значение Z является аргументом для следующей функции – НОРМСТРАСП().

Функция НОРМСТРАСП(Z). Эта функция возвращает стандартное нормальное распределение, т.е. вероятность того, что случайная нормализованная величина Е будет меньше или равна х. Она имеет всего один аргумент – Z, вычисляемый функцией НОРМАЛИЗАЦИЯ().

Нетрудно заметить, что эти функции следует использовать в тандеме. При этом наиболее эффективным и компактным способом их задания является указание функции НОРМАЛИЗАЦИЯ() в качестве аргумента функции – НОРМСТРАСП(), т.е.:

=НОРМСТРАСП(НОРМАЛИЗАЦИЯ(x; среднее; станд_откл)).

С целью повышения наглядности в проектируемом шаблоне функции заданы раздельно (ячейки Е18 и F18).

Сформируйте данный шаблон и сохраните его на магнитном диске под именем SIMUL_1.XLT. Приступаем к имитационному эксперименту. Для его проведения необходимо выполнить следующие шаги.

1. Ввести значения постоянных переменных (табл. 2) в ячейки В2:В4 и D2:D4 листа Результаты анализа.

2. Ввести значения диапазонов изменений ключевых переменных (табл. 1) в ячейки В3:С5 листа Имитация.

3. Задать в ячейке В7 требуемое число экспериментов.

4. Установить курсор в ячейку А11 и вставить необходимое число строк в шаблон (номер последней строки будет вычислен в Е7).

5. Скопировать формулы блока А10:Е10 требуемое количество раз.

6. Перейти к листу Результаты анализа и проанализировать полученные результаты.

Рассмотрим реализацию выделенных шагов более подробно. Выполнение первых трех пунктов не должно вызвать особых затруднений. Введите значения постоянных переменных в ячейки В2:В4 листа Результаты анализа. Введите значения диапазонов изменений ключевых переменных в ячейки В3:С5 листа Имитация. Укажите в ячейке В7 число проводимых экспериментов, например 500. Установите табличный курсор в ячейку А11.

На следующем шаге необходимо вставить в шаблон нужное количество строк (498) . Однако выделение такого количества строк при помощи указателя мыши – достаточно трудоемкая операция. К счастью ППП EXCEL предоставляет более эффективные процедуры для выполнения подобных операций. В частности, в данном случае можно воспользоваться операцией перехода, которую удобно применять и для выделения больших диапазонов ячеек.

Нажмите функциональную клавишу [F5]. На экране появится окно диалога Переход (рис. 3).

Рисунок 3. Окно диалога "Переход"

Для перехода к нужному участку электронной таблицы достаточно указать в поле Ссылка адрес или имя соответствующей ячейки (блока). В данном случае таким адресом будет любая ячейка последней вставляемой строки, номер которой вычислен в ячейке Е7 (508). Например, в качестве адреса перехода может быть указана ячейка А508.

Введите в поле Ссылка адрес: А508 и нажмите комбинацию клавиш [SHIFT] + [ENTER]. Результатом выполнения этих действий будет выделение блока А11: А508. После этого осуществите вставку строк любым из известных вам способов.

Теперь необходимо заполнить вставленные строки формулами блока ячеек А10:Е10. Для этого выполните следующие действия.

1. Выделите и скопируйте в буфер блок ячеек А10:Е10.

2. Нажмите комбинацию клавиш [CTRL] + [SHIFT] + [¯ ].

3. Нажмите клавишу [ENTER].

4. Нажмите клавишу [F9] .

Результатом выполнения этих действий будет заполнение блока А10:Е509 случайными значениями ключевых переменных V, Q, P и результатами вычислений величин NCF и NPV. Фрагмент результатов имитации, полученных автором, приведен на рис. 4. Соответствующие проведенному эксперименту результаты анализа приведены на рис. 5.

Рисунок 4. Результаты имитации

Сумма всех отрицательных значений NPV в полученной генеральной совокупности (ячейка F14) может быть интерпретирована как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае принятия проекта. Аналогично сумма всех положительных значений NPV (ячейка F15) может трактоваться как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае отклонения проекта. Несмотря на всю условность этих показателей, в целом они представляют собой индикаторы целесообразности проведения дальнейшего анализа.

Вывод: В данном случае они наглядно демонстрируют несоизмеримость суммы возможных убытков по отношению к общей сумме доходов (-11691,92 и 1692669,76 соответственно).

Повышенный уровень

Упражнение 2.

На практике одним из важнейших этапов анализа результатов имитационного эксперимента является исследование зависимостей между ключевыми параметрами. Известно, что количественная оценка вариации напрямую зависит от степени корреляции между случайными величинами. Методы оценки степени зависимости, а также технология ее автоматизации путем применения специальных инструментов ППП EXCEL будут продемонстрированы ниже. Здесь же мы ограничимся визуальным (графическим) исследованием. На рис. 6 приведен график распределения значений ключевых параметров V, P и Q, построенный на основании 75 имитаций.

Рисунок 5. Результаты анализа

Нетрудно заметить, что в целом вариация значений всех трех параметров носит случайный характер, что подтверждает принятую ранее гипотезу о их независимости. Для сравнения ниже приведен график распределений потока платежей NCF и величины NPV (рис. 7).

Как и следовало ожидать, направления колебаний здесь в точности совпадают и между этими величинами существует сильная корреляционная связь, близкая к функциональной. Дальнейшие расчеты показали, что величина коэффициента корреляции между полученными распределениями NCF и NPV оказалась равной 1.

Подводя итоги, отметим, что в целом применение рассмотренной технологии проведения имитационных экспериментов в среде EXCEL – достаточно трудоемкий процесс, который к тому же ограничивается случаем равномерного распределения исследуемых переменных.

Гораздо более удобным и эффективным способом решения таких задач в среде ППП EXCEL является использование специального инструмента анализа – Генератор случайных чисел.

Рисунок 6. Распределение значений параметров V, P и Q

Рисунок 7. Зависимость между NCF и NPV

Содержание отчета и его форма

Отчет к лабораторной работе оформляется в виде текстового документа по форме простого реферата и должен включать:

1. Название лабораторной работы.

2. Цель и содержание лабораторной работы.

3. Краткие выводы по результатам выполнения заданий к лабораторной работе.

4. Формулировку задания для самостоятельной работы и результат его выполнения.

Задания для самостоятельной работы

Базовый уровень

1. Способы имитационного эксперимента для моделирования инвестиционных рисков.

2. Объяснить технологию имитационного решения задачи в данной работе.

3. Перечислить исходные данные для параметров, переменных и показателей модели.

Повышенный уровень

4. Какие математические функции используются для имитационного эксперимента в данной работе.

5. Согласно варианту рассчитать имитационную модель инвестиционных рисков.

Варианты

1. Ключевые параметры проекта по производству продукта "А"

Сценарий

Показатели

Наихудший Наилучший Вероятный Объем выпуска – Q 125 275 175 Цена за штуку – P 37 52 47 Переменные затраты – V 30 20 25