ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистическая гипотеза – это любое предположение о виде или о значениях параметров вероятностного распределения.

При проверке статистических гипотез ту гипотезу, которую проверяют, принято называть нулевой гипотезой и обозначать H_о. Одновременно рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезуН₁. Гипотезы H_о и Н₁должны быть противоположны друг другу.

Принцип проверки статистических гипотез заключается в следующем. На основе выборки данных рассчитывают некий показатель Q, который называют статистикой критерия. Этот показатель является случайной величиной (поскольку он рассчитывается по выборке), но его выбирают таким образом, что его вероятностное распределение известно (возможно, приближенно). Кроме того, значение Q должно быть связано с тем, выполняется или нет проверяемая гипотеза. Все возможные значения Q разбивают на две непересекающиеся области – область принятия гипотезы и критическую область (в которой гипотеза отклоняется). Например, выбирают критическое значение статистики критерия Q_кр такое, что если гипотеза верна, то вероятность α превысить это значение α = Р(Q > Q_кр) очень мала (α = Р(Q > Q_кр)). Тогда при Q ≤ Q_кр гипотеза принимается, а при всех остальных значениях Q отклоняется H_о.

Правило проверки статистической гипотезы называют статистическим критерием.

Однако, с вероятностью α может быть все же допущена ошибка (т.е. гипотеза H_о будет отвергнута, хотя на самом деле она верна). Это может произойти потому, что значение статистики попало в критическую область случайно. Такую ошибку называют ошибкой первого рода, а соответствующую вероятность называют уровнем значимости критерия. Она должна быть небольшой.

Кроме того, может быть допущена также ошибка второго рода b: она заключается в том, что гипотеза H_о принимается, хотя на самом деле она является неверной (а верна альтернативная гипотезаH₁). Отметим, что при проверке одной и той же гипотезы по выборке одного и того же объема невозможно одновременно уменьшить вероятность ошибок первого и второго рода. Это связано с тем, что с ростом критической области одновременно растут и α, и b. Ведь чем больше критическая область, тем больше вероятность отклонить гипотезу и меньше вероятность ее принять (соответственно, больше вероятность отклонить верную или принять неверную). Вероятность НЕ допустить ошибку второго рода называется мощностью критерия (она равна 1 – b).

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ДЛЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПО ВИДУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА)

Для сравнения двух нормально распределенных совокупностей, у которых есть различия в средних выборочных значениях, используют критерий Стьюдента. Фактический критерий рассчитывают по формуле:

где - среднее значение первой выборочной совокупности;

- среднее значение второй выборочной совокупности;

- ошибка среднего для первой выборочной совокупности;

- ошибка среднего для второй выборочной совокупности.

Для вывода о достоверности различий между выборками используют ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП проверки статистических гипотез. Нулевую гипотезу отвергают, если фактически установленная величина превзойдет или окажется равной критическому (стандартному) значению этой величины для принятого уровня значимостиa и числа степеней свободы k=n₁+n₂-2 (если объемы выборок одинаковы).

 

П р и м е р: При изучении влияния некоторой пищевой добавки на прирост массы животных были получены следующие значения. В первой группе животных =638 г, в контроле - =526 г. =402 и =382. Количество наблюдаемых животных в каждой группе было одинаковым: n₁=n₂ =9. Сделаем расчет: . В таблице критериев Стьюдента дляk=n₁+n₂-2=9±9-2=16 и уровня значимостиa=0, 05 находим =2, 12.>, следовательно верна альтернативная гипотеза (пищевая добавка влияет на прирост массы животных, или, другими словами, полученная в эксперименте разница в показаниях статистически достоверна).

 

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: