Ускорение точки при задании ее движения координатным

Способом

 

Определим модуль и направление ускорения точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах. Пусть заданы уравнения движения точки (рис.  2.14)

 

            

Рис. 2.14

                                              

Проекции ускорения на оси координат определяются по формулам:

 

.

 

Так как первые производные от координат точки по времени равны проекциям скорости на соответствующие оси, т.е.

 

 

то проекции ускорения точки можно представить в другом виде:

 

 

Следовательно, проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствую­щих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

После вычисления проекций ускорения на координатные оси можно опре­делить модуль и направление ускорения точки:

 

 

 

    Движение точки в плос­кости хОу задается двумя уравнениями движения:

 

 

Рис. 2.15

 

Модуль и направление ускорения точки в этом случае (рис. 2.15) опреде­ляются так:

 

 

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением x = f(t).  В этом случае модуль ускорения равен абсолютному значению его проекции на ось х, т. е.

 

Ускорение направлено в сторону оси х, если , и противоположно оси х, если .

 

Определение радиуса кривизны траектории при

координатном способе задания движения

Касательное ускорение точки возможно лишь при неравномерном движении точки и характеризует изменение модуля скорости.

В том случае, если требуется определить касательное и нормаль­ное ускорения движения точки, которое задано уравнениями движения , то сначала определяют модули скорости и ускорения точки:

 

     

Согласно формуле

или

                            

где знак плюс, полученный в ответе после вычисления дроби соответствует ускоренному движению точки, а знак минус - замедленному. 

С другой стороны, модуль ускорения точки равен

 

,

тогда

 

Зная, что                                        ,

 

 находим радиус кривизны кривой по формуле

Классификация движения точки по ускорениям

Ее движения

 

Равномерное движение.

Выясним зависимость характера движения точки от значений ее нормального и касательного ускорений.

С л у ч а й I:  Если в течение некоторого промежутка времени нормальное и касательное ускорения точки равны нулю, то в течение этого промежутка не изменяются ни направление, ни модуль скорости, т.е. точка движется равномерно-прямолинейно и ее уско­рение равно нулю.

   С л у ч а й II: . Если в течение некоторого проме­жутка времени не равно нулю нормальное ускорение и равно нулю касательное ускорение, то происходит изменение направления скорости без изменения ее модуля, т. е. точка движется равномерно-криволинейно и модуль ее ускорения (рис. 2.16)

.

 

Рис. 2.16

 

Если  в некоторый момент времени, то точка не движется равномерно, а в этот момент времени модуль ее скорости имеет максимум, или минимум.

Уравнение равномерного движения точки имеет вид

 

.

 

Постоянную скорость равномерного движения точки можно определить из уравнения движения

.

 

    Графики равномерного движения и его скорости представлены на рис. 2.17.

 

Рис. 2.17

 

Равнопеременное движение. При равнопеременном движении алгебраическое значение касательного ускорения остается во все время движения неизменным .

С л у ч а й III: . Если в течение некоторого проме­жутка времени равно нулю нормальное ускорение точки и не равно нулю касательное, то направление скорости не изменяется, а изменя­ется ее модуль, т.е. точка движется по прямой неравномерно. Модуль ускорения точки в этом случае (рис. 2.18)

 

  а) Ускоренное движение                     б) Замедленное движение

 

              

Рис. 2.18

С л у ч а й IV: . Если в течение некоторого проме­жутка времени ни нормальное, ни касательное ускорения точки не равны нулю, то изменяется как направление, так и модуль ее ско­рости, т. е. точка совершает неравномерно-криволинейное движение. Модуль ускорения точки

 

    

Рис. 2.19

 

    Графическое изображение ускорения точки при равнопеременном криволинейном движении представлено на рисунке 2.19, а ускоренного движения, рис. 2.19, б – замедленного движения.

Уравнение равнопеременного движения точки имеет вид

 

 

Если , то при ускоренном движении , а при замедленном движении . Формула скорости равнопеременного движения точки имеет вид

                                  .

 

 – ускоренное движение

Рис. 2.20

    Графики замедленного движения, скорости и касательного ускорения представлены на рис. 2.21.

 

 –- замедленное движение

                              

Рис. 2.21

 

Задача 2.2. Определить траекторию, скорость и ускорение точки М шатуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.22), если ОА=АВ=2b, а угол  при вращении кривошипа растет пропорционально времени .

 

Рис. 2.22

        

Решение. Начинаем с определения уравнений движения точки М. Проводя оси и обозначая координаты точки М в произвольном положении через х и у, находим:   

 

.     

 

Заменяя  его значением, получаем уравнения движения точки М:

 

.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде:

.

 

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получим        

 

.

 

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3b  и b.       

Теперь находим скорость точки М:       

 

.

 

Скорость оказывается величиной переменной, изменяющейся с течением времени в пределах от   до . 

Определяем проекции ускорения точки М:     

 

отсюда               

,

 

где r — длина радиуса-вектора, проведенного из центра О до точки М. Следо­вательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстоянию от центра эллипса.

Направление ускорения  определяем по направляющим косинусам:

.

 

Ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

 

Задача 2.3. Локомотив движется равномерно по закруглению радиусом R = 600 м, причем ускорение его центра  тяжести  равно  а = 0, 26  м/с².

Определить скорость центра тяжести локомотива.

Решение. По условию задачи необходимо определить скорость центра тяжести локомотива, т.е. задача сводится к кинематике точки. Движение точки задано естественным способом, так как известна траектория движения. Покажем на рис. 2.23 траекторию – дугу радиусом R, на ней выберем начало и положительное направление отсчета дуговой координаты s.

 

 

Рис. 2.23

 

При естественном способе задания движения ускорение точки равно

 

.

 

В случае равномерного движения . Тогда , но

 

,

 

где - радиус кривизны траектории в данной ее точке. В нашем случае = 600 м в любой точке траектории.

    Окончательно имеем

 

 м/с.

    На рис. 2.23 в произвольном положении точки изображены ее вектор скорости, направленный в сторону возрастания дуговой координаты, и ускорение, равное нормальному ускорению и направленному к центру кривизны траектории.

 

Задача 2.4. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени , найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное, нормальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории (рис. 2.24):

 

Рис. 2.24

 

                                           ,                          (2.5)

 

где х и у в сантиметрах, t – в секундах.

Решение. Параметрическим представлением траектории является сам закон движения. Уравнение траектории в координатной форме получаем, исключая из закона движения время:

 

.

 

Получили , то есть траекторией точки является парабола. Для построения траектории рассчитаем по уравнениям координаты точек параболы, отвечающие нескольким моментам времени. Результаты расчетов приведены в табл. 2.1.

 

Таблица 2.1

 

t, с	0	0, 5	1
х, c м	0	2	4
у, см	- 1	1	7

 

Траектория построена на рис. 2.24, на ней стрелкой показано направление движения точки из начального положения при  с координатами .

Дифференцируя (2.5) по времени, находим проекции скорости точки на оси координат х, у:

 

           .               (2.6)

 

При .

По найденным проекциям определяем модуль скорости

 

.

 

Дифференцируя (2.6), находим проекции вектора ускорения

 

.

 

При .

По найденным проекциям определяем модуль ускорения

 

.

 

Определение касательного ускорения при

 

.

 

Определение нормального ускорения при

 

.

 

Определение радиуса кривизны при

 

.

 

Результаты вычислений для заданного момента времени  приведены в табл. 2.2.

 

Таблица 2.2

 

Координаты, см		С к о р о с т ь, см/с			Ус к о р е н и е, см/с2					Радиус кривизны, см
х	у	vx	vy	v	ax	ay	a	a t	an	r
2	1	4	8	8, 9	0	16	16	14, 4	6, 9	11, 6

 

 

На рис. 2.24 показано положение точки М в заданный момент времени.

Векторы скорости и ускорения точки М построены в масштабе по их проекциям на оси координат: , там же показаны касательное и нормальное ускорения. Совпадение величин   и , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны проведен в сторону вогнутости траектории перпендикулярно к вектору скорости – по направлению .

 

Таблица 2.3

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться: