Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Механический смысл производной
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т. е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определенный момент времени нужно найти производную и подставить в нее соответствующее значение t. Для определенности будем считать, что путь измеряется в метрах, а время — в секундах. 237 405. Путь, пройденный материальной точкой, задается следующей функцией времени: . Найти скорость движения точки в конце 5-й секунды. 406. Точка движется прямолинейно по закону .Найти ее скорость в момент времени . 407. Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением . 408. Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент се скорость окажется раиной нулю? 409.Дна тела движутся прямолинейно: одно по закону , другое - по закону . Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными. 410. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется в зависимости от времени по закону . Найти скорость тела в конце 10-й секунды. Сколько секунд тело будет лететь вверх и какой наибольшей высоты оно достигнет? Подставляя это значение в уравнение движения, получим наибольшую высоту, на которую поднимается тело: 411. Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой — путь в метрах, t время торможения в секундах. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки 412. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной скоростью v0. Через сколько секунд снаряд достигнет наивысшей точки? 413.Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения. Решение. Найдем скорость движении тела в любой момент времени t: 238
Вычислим скорость тела в момент времени t = 3: Определим кинетическую энергию тела и момент времени t = 3: 414. Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид . Производная второго порядка и ее механический Смысл Производную от данной функции часто называют первой производной (или производной первого порядка). Очевидно, что производная также является функцией, и сечи она дифференцируема, то от нее, в свою очередь, можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второго порядка) и обозначают Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Ее обозначают Например, для функции имеем Вообще, производной п-го порядка от функции . Называется производная от производной (n—1)-го порядка. Ее обозначают: . Таким образом, производную n-го порядка можно найти последовательным дифференцированием данной функции. 415—422. Найти производные второго порядка заданных функций: 423 — 432. Найти производные третьего порядка заданных функций: 239
Рассмотрим механический смысл производной второго порядка. Пусть тело движется прямолинейно по закону . Как известно, скорость v движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т. е. Если тело движется неравномерно, то скорость и с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение v. В этом случае величина отношения , показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от до Пусть ; тогда , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Следовательно, ускорение движущегося тела представляет собой скорость изменения его скорости. Обозначив ускорение через а, получим Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной. 433. Точка движется прямолинейно но закону Ускорение равно второй производной функции при t = 4, т. е. Величину ускорения оказалась постоянной для любого значения t; значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением. 434. Материальная точка движется по закону 435.В момент времени t тело находится на расстоянии км от места отправления. Найти его ускорение через 2 ч. 240
436. Вычислить ускорение материальной точки в конце 3-й секунды, если точка движется по закону 437. Путь, пройденный клетью подъемной машины, определяется уравнением . Найти скорость и ускорение в любой момент времени. 438. Определить момент t, в который ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону , равно нулю. Какова при этом скорость? 439.Закон движения частицы определяется уравнением . Каково ускорение частицы в момент, когда ее скорость равна 1 м/с? 440. Точка движется вдоль оси абсцисс по закону х — расстояние движущейся точки от начала координат в метрах. Требуется: а) определить закон изменения скорости и ускорения движения от времени t; б) найти начальную скорость и скорость в момент t=3 с; в) установить, существуют ли моменты времени, когда скорость равна нулю, и если да, то какие положения движущейся точки соответствуют этим моментом Решение. а) Для определения скорости движения найдем производную пули по времени: а для определения ускорения движения- производную скорости пи времени: 441. Тело, масса которого 30 кг движется прямолинейно по закону . Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы. Решение. Имеем . Следовательно, , т.е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила — также постоянная величина. 241 442. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону . Найти силу, действующую на тело в момент времени 443.Показать, что если тело движется по закону , то его ускорение численно равно пройденному пути. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-09; Просмотров: 473; Нарушение авторского права страницы