Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Распределение Бозе – Эйнштейна
Идеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовой статистикой Бозе –Эйнштейна. Распределение Бозе–Эйнштейна – закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в бозе–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i - ом состоянии с энергией Е i при температуре системы Т равно Б-Э = , где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура, μ – химический потенциал – термодинамическая функция состояния, определяющая изменение внутренней энергии системы. Одним из условий термодинамического равновесия системы является равенство химического потенциала для всех частей системы.
Для систем бозонов с постоянным числом частиц химический потенциал может принимать только отрицательные значения ( μ < 0 ). Величину называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией Е i ( далее будем для краткости писать просто Е ). Из анализа распределения Б – Э следует, что число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра может оказаться очень большим, а при Е = 0 в системе бозонов может происходить бозе – конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость и сверхтекучесть.
Рассмотрим случай малых чисел заполнения ( будем считать < < 1 ). Это условие выполняется при > > 1 или при > > 1. Тогда можно записать , где .
Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного газа бозонов распределения Б – Э переходит в классическое распределение Максвелла – Больцмана. < N> I – статистическое распределение Максвелла – Больцмана; II –статистическое распределение Бозе – Эйнштейна
Газ, свойства которого в силу тождественности частиц в квантовой механике отличаются от свойств классического идеального газа, называют вырожденным газом . Газ бозонов является вырожденным. Только в случае, когда < < 1, вырождение снимается и разреженный бозе–газ ведёт себя подобно классическому газу. Обычные газы, атомы которых являются бозонами, при нормальных температурах и давлениях не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение для них наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. тогда, когда эти газы перестают быть идеальными. С помощью распределения Бозе–Эйнштейна описываются свойства теплового излучения, теплоёмкость кристаллов и многие другие физические явления. Для систем бозонов с переменным числом частиц химический потенциал равен нулю ( μ = 0 ). Распределение Бозе–Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид
.
Пример: пользуясь распределением Б – Э можно получить формулу Планка для равновесного излучения.
Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагреты до комнатной температуры Т. Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов, т.е. систему бозонов с переменным числом частиц, распределение по энергиям которых с учётом того, что описывается выражением Плотность квантовых состояний g ( E ), т.е. число состояний приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов описывается выражением , где
V – объём полости; с – скорость света в вакууме; Е/с – импульс фотонов
(по аналогии с плотностью квантовых состояний для нерелятивистских электронов с импульсом )
Энергия излучения в узком энергетическом интервале от Е до (Е+ dE) складывается из энергий отдельных фотонов и равна < N ф > .g ф(E).E.dE В частотном интервале, соответствующему данному энергетическому интервалу от до можно получить выражение для той же самой энергии с помощью объёмной спектральной плотности энергии излучения иω, Т , представляющей собой энергию излучения в одиночном частотном интервале, отнесённую к единице объёма uω , T .. V . dω = < N ф > g ф ( E ) E . dE.
Тогда, заменив dE на и Е на получим
. Лекция 15 |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 280; Нарушение авторского права страницы