Узгоджена фільтрація. Фільтри Вандер Люгта

 

Окрім покращення зображення існує певний клас задач, де застосування когерентної просторової філь- трації та фур’є синтезу знайшло широке застосування

–     це оптичне виявлення корисного сигналу на фоні шумів і завад та розпізнавання образів. Ці методи отримали назву узгодженої фільтрації. Ідея узгодженої фільтрації дуже проста, щоб зрозуміти її, розглянемо когерентну оптичну систему (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Оптична система для здійснення коге- рентної узгодженої просторової фільтрації.

 

Вхідний сигнал задається за допомогою транспаранту із пропусканням  в площині  . В задній фокальній площині вхідного сигналу:

    (5.8)

Функція спектра   є комплексною і може бути записана у вигляді:

                                 .                (5.9)

Якщо в площині  Якщо в площиніним пропусканням

                                                         (5.10)

фаза якого є комплексно-спряженою величиною до фази фур’є-образу сигналу, то після фільтра розподіл поля матиме вигляд:

   (5.11)

Рівняння (5.11) описує плоску хвилю, яка поширюється паралельно до оптичної осі, із     деяким амплітудним розподілом поля площині  Лінза  виконує зворотне ПФ, і плоска хвиля відобразиться у вигляді яскравої світної точки в її задньому фокусі. Оскільки розподіл фази в спектрі сигналу та фільтра є однаковими за модулем, але протилежні за знаком, то такий фільтр називають узгодженим. Особливо ефективно застосувати узгоджену фільтрації якщо необхідно виявити корисний сигнал на фоні шумів, чи виділити певний елемент зображення. Припустимо, що вхідний сигнал є сумою корисного сигналу  та випадкового шуму :

                                                   (5.13)

Нехай узгоджений фільтр має пропускання, яке пропорційне комплексно-спряженому спектру корисного сигналу:

                              (5.13)

де  - постійна величина,  - спектр корисного сигналу. Розподіл амплітуди світлової хвилі відразу після фільтра:

                    (5.14) де  - спектр випадкового шуму.  в яскраву пляму у точці фокуса. Таким чином узгоджений фільтр компенсує фазові зміни фур’є-образу корисного сигналу. Завдання узго-

дженої фільтрації полягає не у створенні чи покращенні зображення у задній фокальній площині лінзи  а в „стягуванні” його енергії в маленьку область простору. З іншого боку, на другий доданок  , який описує шум, фільтр не здійснює компенсуючої дії на фазу спектра, але змінює амплітуду на тих просторових частотах, де амплітуда спектра сигналу є має відносно малу величину. Розподіл поля у вихідній площині – це зворотне ПФ від (5.14):

(5.15)

Де  - постійна величина, ,  - координати вихідної площини когерентної оптичної системи. 

Перший доданок є автокореляція вхідного сигналу, відповідно до теореми Вiнера-Хiнчина, а другий – згортка шуму із дзеркальним відображенням корис- ного сигналу, тому рівняння (5.15) можна записати у символьній формі:

(5.16)

У вихідній площині  шум відтвориться майже без змін, лише він буде послаблений по відношенню до сигналу. Таким чином, узгоджена фільтрація зводить- ся до знаходження кореляції між вхідним сигналом та фільтром. Якщо вхідний сигнал і фільтр є узгоджени- ми, то це буде автокореляція - значення якої буде максимальне в початку координат.

Незважаючи на простоту ідеї, під час практичної реалізації виникли труднощі із виготовленням фільтра із потрібним розподілом амплітудного пропускання та фази. Виготовляючи амплітудно-фазові пластинки традиційними методами (вакуумне напилення, зміна оптичної товщини чи густини) важко отримати біль- ше двох значень зміни фази – 0 та . Тому можна

 

було виготовляти узгоджені фільтри тільки для най- простіших функцій чи образів.

Це суттєве обмеження вдалося подолати співробіт- нику Мічиганського університету Вандер Люгту. Він запропонував синтезувати просторові фільтри за до- помогою   інтерференції.       Фільтри       отримані    таким способом дозволяють змінювати як амплітуду, так і фазу передавальної функції когерентної оптичної си- стеми, незважаючи на те, що ці фільтри виготовленні повністю із поглинальних матеріалів. Для синтезу фі- льтрів Вандер Люгта використовують різного типу інтерферометри: Релея, Маха-Цендера, Вандер Люгта. Розглянемо синтез фільтра за допомогою інтерферометра Релея, оптичну схему фільтра наведено на рис. 5.8. Сигнал і у вигляді транспаранту, для якого виготовляють узгоджений фільтр, розташовують у передній фокальній площині лінзи  Він освітлюється паралельним монохроматичним пучком світла, який створюється освітлювальною системою –точковим джерелом світла та лінзою  Частина пучка фокусується лінзою  і утворює у передній

фокальній площині  опорне точкове джерело. В задній фокальній площині розподіл поля матиме вигляд:

                                                  (5.17)

Перший доданок – це плоска хвиля, яка поширю- ється під деяким кутом до оптичної осі. Кут буде визначатися розташуванням діафрагми D в фокаль- ній площині лінзи, в параксіальному наближенні:

                                           ,                              (5.18)

Де -  відстань від діафрагми до оптичної осі системи -фокусна відстань лінзи . Цьому куту відповідає просторова частота , де  дов-

жина хвилі світла. Другий доданок  –фур’є-образ сигналу. Рівняння (5.17) описує інтерференцію опорної плоскої хвилі та , що відповідає спектру сигналу і на фотопластинці записується інтен- сивність інтерференційної картини:

                     (5.19)

Рис. 5.8. Синтез просторового фільтра за допомогою модифікованого інтерферометра Релея.  - сигнал,  – фотопластинка, яка поміщена в частотну область (задня фокальна площина лінзи  ).

 

Якщо не враховувати експоненційний фазовий множник, то останній доданок в (5.19) пропорційний до комплексно-спряженого спектра сигналу і може бути використаний для узгодженої фільтрації. Спектр сигналу записати у вигляді:

                                                     (5.20)

Підставляючи це у вираз для інтенсивності, отримаємо:

(5.21)

Тепер легко зрозуміти, як за допомогою інтерференції інформація про просторовий розподіл фази та амплітуди спектра сигналу  записується на де-

тектор, який чутливий до інтенсивності. В кожній точці із координатами  інтенсивність залежить не тільки від амплітуди  а і від фази  . Проводячи аналогію із теорією коливань, бачимо, що останній доданок в (5.21) описує „биття” двох просторових частот – опорної  та сигнальної . Тобто, інформація про просторовий розподіл фази записується в процесі модуляції несучої хвилі  із високою просторовою частотою. Необхідно зауважити, що ін- терференційний спосіб синтезу фільтра є еквівалентним до односмугової модуляції у радіотехніці.

На останньому етапі створення фільтра час експозиції та режим проявляння фотопластинки підбирають так, щоб її пропускання було пропорційне до інтенсивності:

                                                             (5.22)

Отриманий таким методом транспарант можна помістити у спектральну площину    когерентної оптичної системи, де він слугуватиме узгодженим фільтром (рис. 5.7). Подамо на вхід оптичної системи сигнал, просторовий розподіл якого описується функцією  У спектральній площині маємо спектр сигналу  Після проходження фільтра розподіл поля в спектральній площині:  

       (5.24)

 Після лінзи розподіл поля у вихідній площині пропорційний до спектра функції ,  Із врахуванням теореми про

 

згортку і того, що система відліку в  є інверсною по відношенню до  , можна записати:

(5.25)

Перший та другий доданки в (5.25) описують диф- ракцію нульового порядку, яка з’явиться в початку координат (точка фокуса лінзи  ) вихідної площини. Третій доданок можна записати у вигляді:

описує кореляцію функцій   та  , зміщену на  вздовж осі  Зображення, які описуються першим та другим доданками в (5.25), в подальшому аналізі не використовуються і вони розташовані в центрі вихідної площини, а результат згортки та кореляції зміщені на відстань . Таким чином, якщо несуча просторова частота вибрана досить високою, або, іншими словами, опорна хвиля падає під великим кутом до оптичної осі, то компоненти зображення, які відпові-

 

дають за згортку та кореляцію функції будуть розді- лені в просторі і їх можна спостерігати окремо. На рис. 5.9. наведено розподіл сигналів у вихідній площині  . Тому для того, щоб знайти згортку чи кореляцію функцій, необхідно просто дослідити роз поділ інтенсивності в околі точок  та . Ці складні математичні операції виконуються в когерентній оптичній системі миттєво – за час прохо- дження світла крізь неї.

Застосування фільтрів Вандер Люгта усуває два головні недоліки схем оптичної обробки інформації. По-перше, якщо необхідно отримати імпульсний відгук заданої форми, то не має необхідності проводити складні математичні розрахунки для знаходження передавальної функції. Ці всі операції виконуються в оптичній системі під час синтезу фільтра. По-друге: комплексна передавальна функція (яка змінює як амплітуду так і фазу електромагнітної хвилі) синтезу- ється тільки за допомогою амплітудного транспаранту. Але в той же час існують недоліки: ре- зультуючий розподіл інтенсивності у вихідній площині сильно залежить від точності розташування

 

Рис. 5.9. Розподіл інтенсивності на виході оптичної системи просторової фільтрації.

фільтра у спектральній площині, точності встанов- лення вхідного сигналу, висока чутливість до поворотів сигналу та зміни масштабу зображення.

Одним із практичних застосувань описаних вище методів є розпізнавання образів за допомогою узго- дженної фільтрації. Перші експерименти були проведені Вандер Люгтом. Необхідно було знайти зображення певної геометричної фігури – прямокутника серед сукупності інших геометричних форм. Був виготовлений узгоджений фільтр для пря- мокутника за схемою наведеною на рис. 5.8. Фільтр розміщали у спектральній площині  P2 системи когерентної фільтрації (рис. 5.7), а транспарант, на якому зображено набір із різних геометричних фігур, вста новлювали на вході системи, в площині  . Оскільки кореляція встановлює зв’язок між формою та розміром геометричних фігур, то для прямокутників це буде автокореляція і її значення буде максимальне, а для інших фігур значення кореляції буде прямувати до нуля. У площині  , на виході оптичної системи, у області розташування кореляції, спостерігатиметься яскрава світна точка.

Процес розпізнавання образів – знаходження коре- ляції відбувається в частотній області і якщо на транспаранті, який розміщений на вході оптичної системи, буде декілька прямокутників, то у вихідній площині ми будемо спостерігати кореляцію від усіх на- явних прямокутників одночасно – всі процеси обробки інформації в когерентній оптичній системі відбувають- ся паралельно для всіх фігур. Процес обробки зображень в когерентній оптичній системі можна суттєво прискорити якщо, в процесі виготовлення фільтра Вандер Люгта, на одну фотопластинку записати декіль- ка узгоджених фільтрів для різних фігур чи зображень. Таку фотопластинку називають бібліотекою узгоджених фільтрів. Ємність таких бібліотек є дуже високою. Про-

 

ведемо найпростіші оцінки кількості фільтрів які мо- жуть бути записані на один носій. Для запису фільтрів використаємо схему, наведену на рис. 5.8. Нехай  - максимальна просторова частота, яку може записати носій (фотопластинка чи фотополі- мер), вона залежатиме від фізичних властивостей носія. Для фотопластинки  визначатиметься розміром фоточутливого зерна (галоїдне срібло). Якщо лінійний розмір а зображення  займає невелику частину транспаранту із розмірами  розташованого у передній фокальній площині лінзи , рис. 5.7), то мінімальна відстань між сусідніми площадками на фотопластинці  буде визначатися тільки розмірами транспаранту:

                                  (5.26)

де  коефіцієнт, який пов’язує розміри області на фо- топластинці та розміри транспаранту, двійка враховує, що під час когерентної фільтрації буде отримана як кореляція, так і згортка функцій (рис. 5.9). Цим відста- ням відповідають просторові частоти:

                      (5.27)

де - довжина хвилі світла, – фокусна відстань лінзи  - відповідні просторові частоти на фото пластинці. Кількість фільтрів , які можна записати, вздовж осі координат  буде визначатися як відношення максимальної просторової частоти носія   до , а повна кількість  пропорційна добутку:

                             (5.28)

Розмір транспаранту не можна зробити як завгод- но малим, оскільки малим розмірам відповідають

високі просторові частоти – хвилі будуть поширюва- тися під великим кутом до оптичної осі і можуть не потрапити на фотопластинку. Якщо лінійні розміри фотопластинки та

 то максимальні просторові частоти, які можна записати будуть визначатися її кутовою апертурою:

                                             (5.29)

Мінімальна ширина, яка необхідна для запису та- ких сигналів буде:

                                           (5.30)

Із врахуванням цього максимальна кількість фільтрів, які можна записати на фотопластинку:

                               (5.31)

Це співвідношення і визначає інформаційну ємність бібліотеки узгоджених фільтрів. Якщо використати аналогії із радіотехнікою, то  - характеризує всю смугу частот пропускання, a  - смугу частот яку займає один інформаційний канал. Щоб знайти число незалежних каналів необхідно про- сто поділити смугу пропускання на ширину одного каналу. Оскільки оптичні системи працюють із дво- вимірними сигналами, то число каналів буде дуже велике , таке значення на декілька порядків перевищує параметри електронних систем.

Отримані оцінки для є завищені, оскільки були зроблені за умови, що транспарант, на якому знаходиться вхідний сигнал, значно менший ніж фотопластинка. Це має місце при послідовному записі бібліотеки, коли у вхідній площині встановлюється один фільтр і накопичення відбувається послідовним,

 

експонуванням. Такий спосіб дуже непрактичний, якщо необхідно записати багато фільтрів на одну фотопластинку. Набагато зручніше, під час експонування, в бібліотеку записувати декілька фільтрів. Окрім того, не були враховані власні шуми фоточутливого шару, тому практичне значення кіль- кості фільтрів буде значно менше. Так, для оптичної системи із параметрами =48см = 6 см,  = 800 ліній/мм, = 632, 8 нм,  = 0, 3 см повне число фільтрів 2, 5 . Необхідно зазначити, що це не 2, 5 комп’ютерних «мегабіт» чи «мегабайт», а зображень. Якщо кожне зображення – це дактилоскопічне зображення («відбитки пальців»), то на таку фотопластинку можна записати базу даних про 250 тисяч людей. Пошук людини в такій базі даних буде відбуватися за час проходження світла в оптичній системі. Жодна електронна обчислювальна система не здатна виконати таку операцію так швидко.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: