По дисциплине «Математика». для студентов ФБФО

По дисциплине «Математика»

для студентов ФБФО

(спец. 080502 и 080507)

Таганрог 2006

Фирсов И.П., Сапунцов Н.Е.

В пособии приведена программа курса «Математика», изучаемого в первом и втором семестрах обучения. Программа соответствует общеобразовательным стандартам специальностей 061100 и 060800. Пособие содержит необходимый минимум задач с указаниями к их решению и ответами, а также варианты четырех контрольных работ. Приведены решения нулевых вариантов всех четырех контрольных работ.

Рецензент Цирулик В.Г., к.ф-м.н., доцент кафедры Высшей математики ТРТУ.

Рабочая программа

1-й семестр. Виды контроля: к.р. №1, к.р. №2, экзамен.

Комплексные числа. Элементы общей алгебры

1. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Доказательство существования иррациональных чисел. Расширение понятия числа. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Действия над комплексными числами. Корень n-ой степени из комплексного числа.

2. Алгебраический многочлен. Теорема Безу. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочлена на неприводимые сомножители над полем комплексных чисел.

Линейная алгебра

3. Понятие матрицы и определителя. Алгебраические дополнения и миноры. Свойства определителей n-го порядка.

4. СЛАУ. Метод Крамера решения квадратных СЛАУ.

5. Алгебра матриц. Обратная матрица. Матричная запись СЛАУ. Решение квадратной СЛАУ с помощью обратной матрицы. Метод Гаусса.

6. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема Кронекера – Капелли. Основные и свободные неизвестные СЛАУ. Понятие базисного решения.

7. Линейные операторы и их матрицы. Действия над операторами. Свойства.

8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

9. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический вид симметрического оператора.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

10. Декартова прямоугольная система координат. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис в R¹, R² и R³.

11. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Геометрический смысл этих произведений. Проекция вектора на ось. Выражения произведений через координаты перемножаемых векторов.

12. Уравнения плоскости в R³ (общее, нормальное, в отрезках). Отклонение точки от плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.

13. Уравнения прямой в R³ (каноническое, параметрическое, как пересечение двух плоскостей). Геометрическая интерпретация СЛАУ двух и трех уравнений с тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация линейного неравенства . Угол между прямыми и между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

14. Уравнения прямой на плоскости (параметрическое, нормальное, в отрезках, с угловым коэффициентом). Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности, выраженные через угловые коэффициенты.

15. Кривые второго порядка на плоскости. Вывод их канонических уравнений. Параметрические уравнения кривых второго порядка. Геометрический смысл общего уравнения второго порядка (без доказательства).

16. Поверхности второго порядка, их канонические уравнения. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений. Геометрический смысл общего уравнения второго порядка
(без доказательства). Понятие линейной и квадратичной форм.

Элементы функционального анализа

17. Понятие множества. Операции над множествами, свойства операций. Диаграммы Венна. Прямое произведение множеств.

18. Понятия метрического, линейного и нормированного пространств. Примеры. Пространство . Стандартный базис в . Скалярное произведение в . Неравенство Коши-Буняковского. Параметрическое уравнения прямой в . Плоскость в .

19. Понятия окрестности точки, предельной, внутренней и граничной точки множества метрического пространства. Понятия открытого, замкнутого и выпуклого множеств. Ограниченное множество.

20. Мощность множества. Конечные, счетные и несчетные множества. Теорема о несчетности множества действительных чисел.

21. Общее понятие функции как отображения одного множества в другое. Примеры. Область определения и область значения функции. Смысл терминов: функция, функционал, оператор.

22. Последовательность как отображение натурального ряда чисел. Понятие предела последовательности точек метрического пространства.

Введение в математический анализ

23. Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Теоремы о пределах суммы, произведения и отношения последовательностей. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.

24. Функция одного (скалярного) аргумента . Основные элементарные функции, их свойства, графики. Элементарные и неэлементарные функции.

25. Предел функции в точке (по Гейне и Коши). Основная теорема о пределах.

26. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность элементарной функции в области ее определения.

27. Свойства функции непрерывной на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, существование промежуточных значений.

Дифференциальное исчисление функции одного аргумента

28. Производная и дифференциал функции. Геометрический и механический смысл производной. Касательная к графику функции. Общее представление о линеаризации функции.

29. Производные основных элементарных функций.

30. Свойства производной. Производная сложной, обратной и параметрически заданной функций.

31. Производные и дифференциалы высших порядков.

32. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя. Применение этих теорем.

33. Формула Тейлора. Представление функций , , , , по формуле Тейлора. Понятие о ряде Тейлора для этих функций.

34. Условия монотонности функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

35. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

2-й семестр. Виды контроля: к.р. №3, к.р. №4, экзамен.

Интегральное исчисление функции одной переменной

36. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование подведением под знак дифференциала, подстановкой и по частям.

37. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона- Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла.

38. Понятие о несобственных интегралах. Признаки сходимости несобственных интегралов (признак сравнения и предельный признак сравнения).

Числовые и функциональные ряды. Гармонический анализ

39. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Абсолютная и условная сходимости числового ряда. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Признаки абсолютной сходимости ряда (сравнения, Даламбера, радикальный Коши).

40. Ряды с комплексными членами. Методы исследования на сходимость.

41. Степенной ряд. Радиус сходимости. Разложение функции в степенной ряд.

42. Понятие ортонормированной системы функций. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Сходимость в среднем.

Векторный анализ и элементы теории поля

43. Числовая функция векторного аргумента. Предел. Непрерывность. Примеры разрывных функций.

44. Скалярное и векторное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Частные и полный дифференциалы.

45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

46. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора (без вывода).

47. Экстремум функции. Необходимые условия экстремума. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы (без доказательства). Достаточные условия экстремума.

48. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры приложений при поиске оптимальных решений.

49. Двойной и тройной интегралы. Свойства этих интегралов. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием в декартовой системе координат.

50. Понятия криволинейного и поверхностного интегралов. Ротор и дивергенция векторного поля.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

51. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

52. Линейные дифференциальные уравнения. Однородные и неоднородные. Понятие общего решения.

53. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

54. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью специального вида. Приложения к описанию линейных моделей в экономике.

55. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Запись в матричной форме. Фазовая плоскость и фазовая кривая.

56. Решение задачи Коши системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод подстановки).

Численные методы

57. Понятие об интерполяции и аппроксимации. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная интерполяция. Приближенное вычисление определенного интеграла (формулы прямоугольников, трапеций и парабол).

58. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

59. Решение линейных систем методом Гаусса. Схема с выбором главного элемента.

60. Итерационные методы решения уравнений. Принцип сжимающих отображений.

61. Решение дифференциального уравнения с помощью степенного ряда.

Функции комплексной переменной

62. Элементарные функции комплексной переменной. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана.

63. Интегрирование. Теорема Коши.

64. Ряды Тейлора и Лорана.

Элементы линейного и динамического программирования

65. Примеры задач линейного программирования и методы их решения.

66. Симплекс метод. Теория двойственности.

67. Элементы динамического программирования.

Минимум задач

Умение решать приведенные ниже задачи необходимо для усвоения программы.

Задачи разбиты на группы, соответствующие разделам программы. Прежде чем приступить к решению задач, необходимо проработать соответствующие теоретические положения по одному из учебников или учебных пособий, указанных в перечне литературы.

В качестве примера указаны соответствующие параграфы учебных пособий и .

Линейная алгебра

Литература [1], §§ 1-4, 15; [6], часть 1, §§ 3, 10-14 гл.1, §§ 1-6 гл.7.

5. Вычислить определители: а) ;

б) .

Указание. Определитель второго порядка вычисляется по формуле .

Ответ: а) .

6. Решить: а) неравенство >0;

б) уравнение =0.

Указание. Определитель третьего порядка раскрывается по формуле

Ответ: а) ; б) .

7. Вычислить определители путем приведения их к треугольному виду:

а) ; б) .

Указание. Определитель называется треугольным, если его элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Такой определитель равен произведению элементов, расположенных в главной диагонали. Для приведения определителя к треугольному виду сначала получают нули в первом столбце. Для этого, например, при вычислении , первую строку складываем с третьей, результат записываем на месте третьей строки; первую строку, умноженную на (-3), складываем с четвертой, результат записываем на месте четвертой строки.

Получаем . Далее, вторую строку, умноженную на (-4) и на 8, складываем соответственно с третьей и четвертой строками, и результаты записываем на месте третьей и четвертой строк. Получаем . Теперь осталось только третью строку, умноженную на , сложить с четвертой и результат записать на месте четвертой строки. Получим определитель треугольного вида.

Ответ: а) ; б) .

8. Решить систему методом Гаусса .

Указание. Выписать расширенную матрицу системы, то есть матрицу системы вместе со столбцом свободных членов системы. Привести расширенную матрицу системы к треугольному виду (см. предыдущий пример). После проведения преобразований, получим . Преобразованной матрице соответствует система уравнений . Из этой системы последовательно найти .

Ответ: .

9. Найти значения параметра а, при которых однородная система уравнений имеет нетривиальное (ненулевое) решение:

а) ; б) .

Указание. Однородная система имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю.

Ответ: а) ; б) ;

10. Даны матрицы и . Найти:

а) А+В и АВ; б) В+А и ВА.

Указание. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности при этом, если С=А+В, то . Произведение АВ=С имеет смысл, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, при этом .

Ответ: а) А+В не имеет смысла, ;

б) В+А не имеет смысла, .

11. Вычислить: а) , где ;

б) , где .

Указание. В выражении под единицей понимается единичная матрица , поэтому .

Ответ: а) ; б) .

12. Линейный оператор задан соотношением:

а) ;

б) , где . Найти матрицу А оператора в базисе .

Указание. Чтобы найти матрицу линейного оператора, необходимо найти результат его действия на базисные векторы . Координаты полученных векторов составят первый, второй и третий столбцы искомой матрицы. В нашем случае .

Ответ: а) ; б) .

Контрольная работа 1

Задание 1

Даны комплексные числа и многочлен .

1) Выполнить действия: .

2) Найти действительные (вещественные) неизвестные х и у из уравнения .

3) Решить уравнение .

4) Разложить на линейные множители многочлен .

Задание 2

Найти неизвестную матрицу Х из заданного уравнения.

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

Вариант №5

Вариант №6

Вариант №7

Вариант №8

Вариант №9

Вариант №10

Задание 3

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей А.

Задание 4

Найти решение СЛАУ:

1) методом Крамера;

2) с помощью обратной матрицы системы;

3) методом Гаусса.

Задание 5

Даны векторы . Найти:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

Вариант №5

Вариант №6

Вариант №7

Вариант №8

Вариант №9

Вариант №10

Задание 6

Даны вершины пирамиды ABCD и точка . Найти:

1) длину ребра АВ;

2) косинус угла между ребрами АВ и С D;

3) площадь грани АВС;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой, на которой лежит ребро АВ;

6) уравнение медианы в грани АВС;

7) проекцию вершины А на основание пирамиды ВС D;

8) высоту пирамиды;

9) записать систему линейных неравенств, определяющих пирамиду;

10) выяснить, принадлежит ли точка пирамиде АВС D.

Контрольная работа 2

Задание 1

Определить, какую линию задает уравнение у = f ( x ) (или ). Сделать рисунок.

Задание 2

Даны векторы в стандартном базисе пространства . Требуется:

1) убедиться, что векторы образуют базис пространства ;

2) найти разложение вектора по этому базису;

3) найти угол между векторами .

Задание 3

Найти пределы функций в точке , используя свойства пределов.

Задание 4

Методом бисекции (половинного деления) найти один из корней уравнения c точностью до 0,01.

Задание 5

Найти производные заданных функций.

Задание 6

Найти и на отрезке .

Контрольная работа 3

Задание 1

Найти неопределённые и определённые интегралы.

Задание 2

Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

Задание 3

Исследовать на сходимость числовые ряды , используя достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, необходимый признак и свойства сходящихся рядов.

Задание 4

Разложить в ряд Фурье функцию .

Задание 5

В точке найти:

1) градиент функции и его модуль;

2) производную функции по направлению вектора .

Задание 6

Для функции в точке записать:

1) уравнение касательной плоскости;

2) полный дифференциал первого порядка;

3) полный дифференциал второго порядка.

Задание 7

Найти и в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать рисунок области D.

Контрольная работа 4

Задание 1

В таблице приведены пять экспериментальных значений искомой функции . Аппроксимировать эту функцию линейной функцией методом наименьших квадратов. Построить график аппроксимирующей функции и экспериментальные точки.



Вариант №1	2,5	2,2	3,2	3,5	4,1
Вариант №2	4,3	5,3	3,8	1,8	2,3
Вариант №3	2,3	1,8	3,8	5,3	4,3
Вариант №4	4,5	5,5	4,0	2,0	2,5
Вариант №5	2,5	2,0	4,0	5,5	4,5
Вариант №6	4,7	5,7	4,2	2,2	2,7
Вариант №7	2,7	2,2	4,2	5,7	4,7
Вариант №8	4,9	5,9	4,4	2,4	2,9
Вариант №9	2,9	2,4	4,4	5,9	4,9
Вариант №10	5,1	6,1	4,6	2,6	3,1

Задание 2

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле. Изобразить область интегрирования.

Задание 3

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью . Изобразить данное тело и его проекцию на плоскость .

Задание 4

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Задание 5

Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Задание 6

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: , здесь .

Требуется:

1) найти общее решение системы;

2) записать систему и её решение в матричном виде.

IV .Решение нулевого варианта контрольных работ

Контрольная работа 1

Задание 1

Даны комплексные числа , и многочлен .

1. Вычислить .

2. Найти действительные (вещественные) неизвестные x и y из уравнения .

3. Решить уравнение .

4. Разложить на линейные множители многочлен .

Решение

1. Так как для , то .

Тогда .

Умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, осуществляется по тем же правилам, что и умножение многочленов, учитывая при этом, что .

Следовательно, .

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, удобнее выполнять следующим образом

= .

Следовательно,

При сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) действительные и мнимые части этих чисел.

Следовательно, .

2. Так как , то уравнение примет вид .

Выделим в левой части уравнения действительную и мнимую части: .

Два комплексных выражения равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть .

Решая систему, находим .

3. Так как , то уравнение примет вид .

По известной формуле

Следовательно, .

4. Для разложения многочлена на линейные множители необходимо найти корни многочлена, то есть решить уравнение .

Решим это биквадратное уравнение:

a) ; б) .

Следовательно, .

Задание 2

Найти неизвестную матрицу Х из уравнения

Решение

Обозначим , , .

Тогда уравнение примет вид .

Решим это матричное уравнение: .

Найдём и : , .

Перемножив матрицы , и , найдём неизвестную матрицу Х.

Задание 3

Найти собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

Решение

Собственные значения найдём из уравнения

Решим это уравнение: .

Для , найдём и – координаты первого собственного вектора из системы уравнений

, . Очевидно, что . Полагая , получим первый собственный вектор , соответствующий первому собственному значению

Для , поступаем аналогично , , Полагая , получим второй собственный вектор соответствующий второму собственному значению .

Задание 4

Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Найти её решение:

1) методом Крамера;

2) с помощью обратной матрицы системы;

3) методом Гаусса.

Решение

1)По правилу Крамера , , , где - определитель системы, , , - вспомогательные определители. Вычислив определители, например, по правилу треугольников (правилу Саррюса), получим .

Следовательно, .

2) Матрица решений системы равна , где -матрица системы, -матрица свободных членов системы.

Найдём . , где (вычислен ранее), -алгебраические дополнения к элементам матрицы равны:

, , ,

, , .

Таким образом, и

Следовательно, .

3) Запишем расширенную матрицу системы и, используя элементарные преобразования ( алгоритм метода Гаусса ), приведём её к ступенчатому виду

Преобразованной матрице соответствует система .

Из третьего уравнения системы .

Из второго уравнения системы .

Из первого уравнения системы

Таким образом, .

Задание 5

Даны векторы и .

Найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение

Если , то:

1) .

Для решаемой задачи

2) Аналогично .

3) .

Для решаемой задачи

4) Аналогично

5) .

Для решаемой задачи

Задание 6

Даны вершины пирамиды и точка . Найти:

1) длину ребра ;

2) косинус угла между рёбрами и ;

3) площадь грани ABC;

4) объём пирамиды;

5) уравнение прямой, на которой лежит ребро ;

6) уравнение медианы в грани ;

7) проекцию вершины на основание пирамиды ;

8) высоту пирамиды;

9) записать систему линейных неравенств, определяющих пирамиду;

10) выяснить, принадлежит ли точка пирамиде ABCD.

Решение

1)Длину найдём по формуле расстояния между двумя точками

2) Угол между рёбрами и будет равен углу между векторами и .

Введём в рассмотрение векторы и и найдём их координаты:

3) Площадь грани AB С (площадь треугольника АВС) .

Введём в рассмотрение векторы и и найдём их координаты:

, .

Найдём

Далее и .

4) Объём пирамиды .

, , .

Найдём =

5) Прямая, на которой лежит ребро АВ, проходит через точки и . Запишем уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки и : .

Для решаемой задачи или .

6) Уравнение медианы в грани АВС - это уравнение прямой, проходящей через точку и точку , являющуюся серединой отрезка ВС. Координаты точки М найдём как координаты середины отрезка ВС:

; ; .

Уравнение : или .

7) Проекция вершины А на основание пирамиды BCD – это точка пересечения плоскости BCD и прямой, проходящей через точку А перпендикулярно этой плоскости.

Уравнение плоскости BCD найдём, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки : .

Для решаемой задачи , , и, следовательно, уравнение АВС , ,

, , .

Вектор является нормальным вектором плоскости BCD, следовательно, этот вектор является направляющим вектором для прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости ВС D. Уравнение этой прямой Координаты проекции точки А на плоскость BCD найдём из системы

или , , , , , ,

, .

Таким образом, проекция точки А на плоскость BCD – точка .

8) Длина высоты – это длина отрезка AN, которая равна

9) Найдём уравнение граней пирамиды ABC, ACD, ABD и BCD, как уравнение плоскостей, проходящих через три заданные точки

, .

BCD: найдено раньше

Все внутренние точки пирамиды находятся по ту сторону от плоскостей ABC, ACD, ABD и BCD что и вершины D, B, C, и А соответственно. Для вершин D, B, C и А выполняются условия

Следовательно, система линейных неравенств, определяющих пирамиду, будет

10) Проверим, удовлетворяют ли координаты точки системе линейных неравенств, определяющих пирамиду:

Второе неравенство не выполняется, следовательно, точка не принадлежит пирамиде ABCD.

Контрольная работа 2

Задание 1

Определить, какую линию задаёт уравнение . Сделать рисунок.

Решение

Приведём уравнение линии к каноническому виду:

, . Получили уравнение окружности с центром в точке (-3;-5) и радиуса 7. Заданная линия – это верхняя половина указанной окружности.

Делаем рисунок.

Задание 2

В стандартном базисе пространстве R⁴ даны векторы , , , и

1) Убедиться, что векторы образуют базис пространства ;

2) найти разложение вектора по этому базису;

3) найти угол между векторами и .

Решение

1) Векторы образуют базис пространства , если их линейная комбинация равна нулю, только при что возможно только тогда, когда определитель однородной системы уравнений с неизвестными не равен нулю, то есть

Вычислим определитель, разложив его по элементам второй строки

Следовательно, заданные векторы образуют базис пространства .

2) Найдем координаты вектора в базисе из векторного уравнения .

Этому векторному уравнению соответствует система

Решив систему, находим

Следовательно, разложение вектора по базису : .

3) Если скалярное произведение в определено аналогично тому, как это было в , то

Следовательно, , то есть векторы и ортогональны.

Задание 3

1) Найти пределы функции при а) ;

б) ; в) ; г) ;

2) Найти .

Решение

1. а) ;

б) ;

в) ;

г)

2) .

Задание 4

Методом бисекции (половинного деления) найти один из корней уравнения с точностью до 0,01.

Решение

Рассмотрим функцию . Так как , а , то корень уравнения принадлежит интервалу . Найдём середину этого интервала . Так как , то корень уравнения принадлежит интервалу (0;0,5). Найдём середину этого интервала и вычислим . Следовательно, корень уравнения принадлежит интервалу . Продолжим этот процесс до тех пор, пока длина интервала станет меньше заданной точности 0,01.

Длина интервала меньше требуемой точности. В качестве приближённого значения корня возьмём значение соответствующее середины последнего интервала, что есть .

Задание 5

Найти производные заданных функций:

1) ;

; 4) .

Решение

Используя таблицу производных, свойства производной, правило дифференцирования сложной функции и формулу нахождения производной функции, заданной параметрически, находим:

Задание 6

Найти и на отрезке , если .

Решение

Своего наибольшего ( ) и наименьшего ( ) значения функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданному отрезку, либо на границе отрезка.

Найдём критические точки заданной функции: , , , , ,

В заданный отрезок попадает только точка .

Найдём: , , .

Сравнивая вычисленные значения функции, делаем вывод: своего наименьшего значения функция достигает в точке , причём , наибольшего значения функция достигает в точке , причём .

Контрольная работа 3

Задание 1

Найти неопределённые и определённые интегралы:

; ; ; .

Решение

Задание 2

Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение

Воспользуемся предельным признаком сравнения: если и существует конечный предел то и ведут себя одинаково.

Для решаемой задачи . Выберем Известно, что расходится.

Так как , и расходится, то, следовательно, расходится и .

Задание 3

Исследовать на сходимость числовые ряды , используя достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, необходимые признак и свойства сходящихся рядов.

1) .

Решение

1) Сравним данный знакоположительный ряд с рядом который расходится. Воспользуемся предельным признаком сравнения:

Оба ряда ведут себя одинаково, следовательно, исследуемый ряд расходится.

2) . Воспользуемся признаком Даламбера: , .

Так как , то исследуемый ряд сходится.

3) Воспользуемся радикальным признаком Коши:

так как , то исследуемый ряд сходится.

4) . Воспользуемся радикальным признаком Коши: так как ,

то исследуемый ряд расходится.

Задание 4

Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение

Если функция задана на интервале , то её ряд Фурье имеет вид ,

где , , .

Заданная функция определена на интервале , следовательно, и ряд Фурье для функции будет иметь вид ,

где , , .

Вычислим коэффициенты ряда Фурье для заданной функции.

. Проинтегрировав по частям, получим

Таким образом

Задание 5

Для функции в точке найти:

1) градиент функции и его модуль.

2) производную функции по направлению вектора .

Решение

1) Градиент функции – это вектор

Для решаемой задачи , , и, следовательно,

Для точки

2) Производная функции по направлению вектора равна , где - направляющие косинусы вектора .

Найдём .

Так как найдены ранее, то

Для точки .

Задание 6

Для функции в точке записать:

1) уравнение касательной плоскости;

2) полный дифференциал первого порядка;

3) полный дифференциал второго порядка.

Решение

Если функция z задана в явной форме, то есть , то уравнение касательной плоскости к поверхности , в точке имеет вид .

Для решаемой задачи , , .

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид: или .

2) Полный дифференциал первого порядка для функции находится по формуле: .

Для заданной функции .

Для точки получим .

3) Полный дифференциал второго порядка для функции находится по формуле: .

Найдём.

Следовательно, .

Для точки .

Задание 7

Найти и для функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств . Сделать рисунок области D.

Решение

Своего наибольшего и наименьшего значений в заданной области функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданной области, либо на границе области.

Изобразим заданную область

Найдём стационарные точки функции из системы .

Для заданной функции система примет вид или .

Решая систему, находим координаты стационарной точки . Эта точка лежит на границе области .

Исследуем функцию на границе области .

На ОА и заданная функция становится функцией одного аргумента x: ( ).

Найдём стационарные точки функции : ; при . Точка принадлежит ОА.

На ОВ и заданная функция становится функцией одного аргумента у: . Найдём стационарные точки функции : ; при . Точка принадлежит ОВ.

На АВ и заданная функция становится функцией одного аргумента :

при . При . Эта стационарная точка (1;1) совпадает с точкой .

Кроме стационарных точек М, N, P необходимо рассмотреть и точки «стыковки» границ области, так как эти точки являются границами областей для функций , и .

Вычислим значения функции в точках А, В, M, N, P:

, , ,

, ,

Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области наименьшее значение функции , наибольшее значение .

Контрольная работа 4

Задание 1

x	1	2	3	4	5
y	1,8	1,3	3,3	4,8	3,8

Решение

Параметры а и b, для которых осуществляется наилучшее приближение (по методу наименьших квадратов), определяются из системы уравнений

Для получения системы, соответствующей заданным значениям, можно рекомендовать оформлять вычисления в виде таблицы

	x_i	y_i	x_i2	x_iy_i
1	1	1,8	1	1,8
2	2	1,3	4	2,6
3	3	3,3	9	9,9
4	4	4,8	16	19,2
5	5	3,8	25	19
	15	15	55	52,5

Составляем систему уравнений .

Решая систему, находим , .

Таким образом, .

Делаем чертёж

Задание 2

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле . Изобразить область интегрирования.

Решение

Пределы интегрирования в повторном интеграле зависят от уравнений границ области интегрирования. Следовательно, область интегрирования ограничена линиями , , , . Построим область интегрирования

При изменённом порядке интегрирования область интегрирования необходимо разбить на две части, так как при любом фиксированном верхняя граница области определяется разными уравнениями.

Следовательно, .

Задание 3

С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью . Изобразить данное тело и его проекцию на плоскость .

Решение

Если , то где V-объём области интегрирования.

Изобразим данное тело и его проекцию на плоскости .

Задание 4

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Применим для его решения метод подстановки: .

Заданное уравнение примет вид: или .

Функцию V найдём из уравнения .

Решим это уравнение .

Функцию U найдём из уравнения , то есть из уравнения .

Решим это уравнение:

Общее решение заданного уравнения .

Задание 5

Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение

Будем искать решение уравнения в виде ряда

По условию и .

Продифференцировав обе части данного дифференциального уравнения, получим . Найдём .

Продолжим этот процесс

Следовательно .

Задание 6

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами .

Требуется:

1) найти общее решение системы;

2) записать систему и её решение в матричном виде.

Решение

1) Найдём общее решение системы, сведя её к дифференциальному уравнению второго порядка.

Для этого: продифференцируем первое уравнение системы: ; подставим в него значение из второго уравнения: .

Составим систему , выразим из первого уравнения и подставим во второе: или .

Составим характеристическое уравнение и найдём его корни: .

Следовательно, .

Так как , то .

Таким образом, .

2) Если ввести в рассмотрение матрицы и , то система будет иметь вид , а её общее решение .

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.:Наука, 1980.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.:Наука, 1998.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.:Наука, 1981.

4. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н. Ш., М.: ЮНИТИ, 1998.

5. Калесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов. М.:ИНФРА-М, 1997.

6. Сухинов А.И., Фирсов И.П., Цирулик В.Г. Конспект лекций по курсу высшей математики, часть 1,2, Таганрог, 2004.

7. Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам, часть 1, Таганрог, 2003.

8. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, части 1-3,Высшая школа,

М.,1971.

по дисциплине «Математика»

для студентов ФБФО

(спец. 080502 и 080507)

Таганрог 2006

Фирсов И.П., Сапунцов Н.Е.

Рецензент Цирулик В.Г., к.ф-м.н., доцент кафедры Высшей математики ТРТУ.

Рабочая программа

1-й семестр. Виды контроля: к.р. №1, к.р. №2, экзамен.

Комплексные числа. Элементы общей алгебры

Линейная алгебра

3. Понятие матрицы и определителя. Алгебраические дополнения и миноры. Свойства определителей n-го порядка.

4. СЛАУ. Метод Крамера решения квадратных СЛАУ.

7. Линейные операторы и их матрицы. Действия над операторами. Свойства.

8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Элементы функционального анализа

Введение в математический анализ

25. Предел функции в точке (по Гейне и Коши). Основная теорема о пределах.

Дифференциальное исчисление функции одного аргумента

29. Производные основных элементарных функций.

30. Свойства производной. Производная сложной, обратной и параметрически заданной функций.

31. Производные и дифференциалы высших порядков.

32. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя. Применение этих теорем.

33. Формула Тейлора. Представление функций , , , , по формуле Тейлора. Понятие о ряде Тейлора для этих функций.

2-й семестр. Виды контроля: к.р. №3, к.р. №4, экзамен.

Интегральное исчисление функции одной переменной

Числовые и функциональные ряды. Гармонический анализ

40. Ряды с комплексными членами. Методы исследования на сходимость.

41. Степенной ряд. Радиус сходимости. Разложение функции в степенной ряд.

Векторный анализ и элементы теории поля

43. Числовая функция векторного аргумента. Предел. Непрерывность. Примеры разрывных функций.

45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

46. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора (без вывода).

48. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры приложений при поиске оптимальных решений.

50. Понятия криволинейного и поверхностного интегралов. Ротор и дивергенция векторного поля.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

52. Линейные дифференциальные уравнения. Однородные и неоднородные. Понятие общего решения.

53. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

Численные методы

58. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

59. Решение линейных систем методом Гаусса. Схема с выбором главного элемента.

60. Итерационные методы решения уравнений. Принцип сжимающих отображений.

61. Решение дифференциального уравнения с помощью степенного ряда.

Функции комплексной переменной

62. Элементарные функции комплексной переменной. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана.

63. Интегрирование. Теорема Коши.

64. Ряды Тейлора и Лорана.

Элементы линейного и динамического программирования

65. Примеры задач линейного программирования и методы их решения.

66. Симплекс метод. Теория двойственности.

67. Элементы динамического программирования.

Минимум задач

Умение решать приведенные ниже задачи необходимо для усвоения программы.

В качестве примера указаны соответствующие параграфы учебных пособий и .

12 3 4 5 6 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 242; Нарушение авторского права страницы