Критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий был получен Н

 

Этот критерий был получен Н. Найквистом в 1932 году для проверки усилителей с отрицательной обратной связью, а затем обобщен на системы автоматического управления.

Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с обратной связью (замкнутой системы) по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы (рис. 5.10).

 

 

Рис. 5.10 - АФХ разомкнутой системы

 

Будем полагать, что известна передаточная функция разомкнутой системы

, m≤n. (5.22)

Здесь  - ее характеристический полином.

Структурная схема замкнутой системы имеет вид

 

 

Рис. 5.11 - Структурная схема замкнутой системы

 

Передаточная функция замкнутой системы следующая:

,       (5.23)

где  - характеристический полином замкнутой системы.

Для получения критерия устойчивости вводится вспомогательная функция:

.        (5.24)

Как видим, числитель вспомогательной передаточной функции представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель - характеристический полином разомкнутой системы. Так как , то в выражении для A(p) порядок суммы полиномов равен . Следовательно, во вспомогательной передаточной функции  полиномы числителя и знаменателя имеют один порядок (n).

В выражении (5.24) заменим р на jω и получим:

.                        (5.25)

Рассмотрим результирующий угол поворота вектора  при изменении ω от 0 до ∞, используя те же соотношения, что и при доказательстве критерия Михайлова.

Если замкнутая система устойчивая, то общее приращение фазы числителя (5.25) определяется как

.                             (5.26)

При устойчивой разомкнутой системе фаза в знаменателе будет иметь вид

.                           (5.27)

Результирующий угол поворота вектора  равен разности (5.26) и (5.27).

.                    (5.28)

Таким образом, для устойчивости замкнутой системы (при устойчивой разомкнутой) должно выполняться соотношение (5.28). Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: вспомогательная частотная характеристика не должна охватывать начало координат. Так как  отличается от  на единицу, то можно строить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, что значительно проще.

Формулировка критерия Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами       {-1, j0}.

Рис. 5.12 - Частотные характеристики системы для критерия Найквиста

Разомкнутая система может быть неустойчива, но это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этом случае меняется формулировка критерия Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывала точку с координатами { - 1 j0} в положительном направлении r/2 раз, где r - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Критерий Найквиста можно также применять, если разомкнутая система имеет в своем составе интегратор, т.е. ее передаточная функция следующая:

.                            (5.29)

Полученная в результате замены р на jω в выражении (5.29) амплитудно-фазовая характеристика будет иметь неопределенность в точке ω= 0. Поэтому при ее построении делают аппроксимацию: характеристику дополняют полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы она начиналась на положительной вещественной полуоси (рис. 5.13).

 

 

Рис. 5.13 - АФХ разомкнутой системы с интегратором

 

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если при некоторой частоте ω=ω₀ АФХ разомкнутой системы пересекает точку с координатами {-1, j0}. Аналитически условие границы устойчивости записывается в виде:

.                          (5.30)

⇐ Предыдущая14151617181920212223Следующая ⇒

Поделиться: