Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Ранее (см. пример 9 §7) доказано, что тригонометрические функции  и  непрерывны на всей числовой оси. Поскольку на отрезке  функция  строго монотонна, то, согласно теореме 3 §11, она имеет на этом отрезке обратную функцию , строго монотонную и непрерывную.

Аналогично можно доказать, что непрерывная функция.

Таким образом, мы доказали, что все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения. А так как любая элементарная функция получается из основных пяти элементарных функций путем конечного числа арифметических операций и путем суперпозиций функций, то из теоремы 1, 2 §8 следует справедливость следующей теоремы.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

 

ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Понятие производной функции

Пусть действительная функция  определена на интервале  и пусть  – любая точка этого интервала. Дадим приращение аргументу  такое, что  и вычислим приращение функции  в точке .

Определение. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента

,                           (1)

то этот предел называется производной функции  в точке . Обозначают производную так:  (Лагранж),  (Лейбниц),  (Ньютон).

Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции. Оператор  называют дифференциальным.

Если в (1) берется левый или правый пределы, то и производная называется левой или правой. Обозначают  и  соответственно. Очевидно, если существует производная (1), то существуют левая и правая производные, причем = . Наоборот, если существуют ,  и = , то существует и производная (1).

Если производная существует во всех точках интервала , то мы имеем производную функцию , заданную на интервале . Если еще вдобавок существует  и , то имеем производную функцию , заданную на отрезке . (В общем случае областью определения функции  является множество точек , в которых она существует).

Пример 1.  Найти производную функции , .

Решение. Дадим приращение  аргументу и найдем приращение функции в произвольной точке .

.

Воспользуемся (1).

.

(воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции ).

Итак,

  для любого .

Упражнение. Доказать, что

Пример 2. Найти производную функции  

в точке .

Решение. Найдем левую и правую производные в точке .

Итак, , следовательно, функция не имеет производной в точке .

Очевидно,

Заметим, что функция  всюду непрерывная, а ее производная функция разрывная.

Пример 3.

Найти .

Решение. Найдем сначала производную в точке .

Пусть теперь  

Итак,

Заметим, что  не существует, но , то есть функция  терпит разрыв в точке . Это точка разрыва второго рода.

Теорема. Если функция  имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из существования предела (1) следует

,

где бесконечно малая в точке х. Тогда

 при

Так как бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывная. Теорема доказана.

Следствие. Если функция определена в некоторой окрестности точки , но в точке  терпит разрыв, то  не существует. Доказательство от противного.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Очевидно, функция разрывная всюду, исключая точки  и . В них она непрерывная, поэтому, согласно следствию, она может иметь производную только в этих точках. Пусть  –рациональное, тогда

Пусть теперь – иррациональное, тогда

,

Итак, данная функция имеет производную только в одной точке , причем .

Пример 5. то есть разрывная функция имеет всюду производную. Где ошибка?

Замечание. Иногда рассматривают частный случай производной, так называемую симметрическую производную, или производную

Шварца. Она определяется формулой

 

.                         (2)   

    Очевидно, если существует обычная производная (1), то существует и равная ей производная Шварца. Однако, если обычная производная не существует, то симметрическая производная может существовать. Например, производная в нуле функции примера 2 не существует, а производная Шварца существует и равна нулю. Действительно,

.

Производная обратной и сложной функций. Таблица производных

Теорема 1. Пусть функция  определена, непрерывна и строго монотонна в окрестности точки  и пусть ее производная в точке  существует и отлична от нуля,  Тогда обратная функция также имеет производную в точке , причем

.                                     (1)

Доказательство. Существование обратной функции , непрерывной и строго монотонной в окрестности точки  гарантирует теорема 3 §11 главы 4. Поэтому условия

  и

эквивалентны и так как обе функции строго монотонны, то  и . Запишем тождество

.                                              

Переходя к пределу, имеем

Так как предел правой части существует, то существует и предел левой части, то есть

Теорема доказана.

Равенство (1) можно записать в симметричной форме

.                                             

Индекс показывает, по какой переменной берется производная.

Пример 1.   Найти

Решение. .

Согласно  имеем

.

Итак,

.

Пример 2.

.

Итак,

.

Упражнение. Доказать, что , .

Если , а , то суперпозицию этих функций называют сложной функцией .

Теорема 2. Если и  существуют, где , то существует и производная сложной функции  в точке , причем

.                          

Доказательство. Так как функции  и  имеют производные в точках  и  соответственно, то и непрерывны в этих точках (см. §7). Сложная функция  непрерывна в точке  (см. теорему 2 §8 гл. 4), поэтому при . Функция  дифференцируема в точке , поэтому

(см. §3). . Итак,

.                                      

Теорема доказана.

Пример 3. Найти производную степенной функции .

Решение. ,  – сложная функция. Воспользуемся .

.

Итак,

Пример 4. сложная функция.  

Итак,

Пример 5. сложная функция.

Замечание 1. Теорема 2 верна и для большего числа суперпозиций функций.

Пример 5.

Сведем все вычисленные выше производные в таблицу (таблицу выучить наизусть).

 

Таблица

 

Замечание 2. Как видно из приведенных примеров, основные элементарные функции дифференцируемые. Из правил дифференцирования суммы, произведения, отношения, сложных функций следует, что любая элементарная функция имеет производную в области определения и является элементарной функцией в области определения.

Обратные тригонометрические функции

Ранее (см. пример 9 §7) доказано, что тригонометрические функции  и  непрерывны на всей числовой оси. Поскольку на отрезке  функция  строго монотонна, то, согласно теореме 3 §11, она имеет на этом отрезке обратную функцию , строго монотонную и непрерывную.

Аналогично можно доказать, что непрерывная функция.

Таким образом, мы доказали, что все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения. А так как любая элементарная функция получается из основных пяти элементарных функций путем конечного числа арифметических операций и путем суперпозиций функций, то из теоремы 1, 2 §8 следует справедливость следующей теоремы.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

 

1234Следующая ⇒

Поделиться: