Нахождение производных сложных и неявных функций.

Пусть дана функция двух переменных , причём аргументы этой функции являются функциями одной независимой переменной : , . Тогда  является сложной функцией одной независимой переменной . Поставим задачу найти производную этой сложной функции  , зная частные производные  и  и производные  и . При решении этой задачи будем предполагать, что функции  и  имеют производные в точке , а функция двух переменных  в соответствующей точке  дифференцируема.

Пусть независимая переменная  получает приращение , тогда переменные  и  получают соответственно приращения  и , а функция  - приращение . Так как функция  по условию дифференцируема, то ее полное приращение  может быть представлено в виде:

причем , где . Разделим обе части равенства для  на  и перейдем к пределу при . При этом частные производные  и  можно вынести за знак предела, так как они не зависят от .

                                                               (4.18)

Если каждый из пределов, стоящих в правой части этого равенства, существует, то существует и предел, стоящий в левой части этого равенства, т.е. производная . Согласно условию поставленной задачи, существуют пределы

;        .

Рассмотрим

.

Найдем сначала

Этот предел существует, так как существуют производные  и .

Далее заметим, что при  и  также стремятся к нулю, так как  и  дифференцируемы, а, следовательно, непрерывны. Тогда и . Поэтому , и окончательно

.

Учитывая полученные результаты, формулу (4.18) можно записать в следующем виде:

.                                                                                                   (4.19)

Пример 4.12. Найти производную , если , , .

Решение. Используя формулу (4.19), получим

= .    

Теперь рассмотрим функцию двух переменных , причем x и y являются также функциями двух переменных  и . Тогда z есть сложная функция двух независимых переменных u и v. Найдем частные производные этой сложной функции.

Частные производные ,  и  находятся так, как если бы z, x и y были функциями одной переменной u. Но тогда можно воспользоваться формулой (4.19), заменив в ней производные ,  и  соответствующими частными производными ,  и :

                                                                                                     (4.20)

Аналогично можно получить выражение для частной производной :

                                                                                                     (4.21)

Полученные результаты легко обобщаются на случай сложной функции любого конечного числа аргументов. В частности, для функции трех переменных , где , , , имеем

                                                                                 (4.22)

Пример 4.13. Найти частные производные первого порядка функции , где , .

Решение. Для нахождения  воспользуемся формулой (4.20):

= .

Частную производную  найдем по формуле (4.21).

.

Теперь перейдем к рассмотрению неявных функций. Понятие о неявной функции одного переменного было дано в главе 3 п.3.14. В общем виде такая функция задавалась уравнением

                                                                                                                 (4.23)

Каким же условиям должна удовлетворять функция , чтобы это уравнение определяло единственную неявную функцию y? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 4.6 существования неявной функции. Если функция  и ее частные производные  и  определены и непрерывны в некоторой окрестности точки  и при этом , а , то уравнение  определяет в некоторой окрестности точки  единственную неявную функцию , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале, содержащем точки , причем .

Эту теорему мы приводим без доказательства.

Как же находить производную неявной функции? Пусть уравнение (4.23) удовлетворяет условиям теоремы 4.6, т.е. определяет неявную функцию , для которой в окрестности точки  имеет место тождество  относительно x.

Так как производная функции, тождественно равной нулю, также равна нулю, то полная производная .

Найти эту производную можно, использовав формулу производной сложной функции одного переменного (4.19), где роль переменной t играет x:

Но .  В силу того, что ,  получаем уравнение , откуда

                                                                                                                (4.24)

По этой формуле можно найти производную неявной функции одной переменной.

Неявная функция двух переменных определяется уравнением , где x и y – независимые переменные, z – функция этих переменных. Теорема существования такой функции аналогична теореме 4.6. Частные производные этой функции находятся по формулам, которые следуют из формулы (4.24).

;                                                                                         (4.25)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: