Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Принцип Гюйгенса — Френеля
Всякая дифракционная задача, если ее рассматривать строго, сводится к нахождению решения уравнений Максвелла, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям. Однако в такой строгой постановке задачи, ввиду их сложности, допускают аналитические решения лишь в простейших случаях. В оптике, ввиду малости длин волн, большое значение имеют приближенные методы решения дифракционных задач, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля и Кирхгофа. Согласно принципу Гюйгенса каждую точку волнового фронта можно считать центром вторичного возмущения, которое вызывает элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний момент времени — огибающей этих волн. Этот принцип дает качественное объяснение поведению света в ряде волновых оптических явлений и, в частности, явлению проникновения света в область геометрической тени. Френель смог объяснить явление дифракции, дополнив принцип Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Такое сочетание теории Гюйгенса и принципа суперпозиции называется принципом Гюйгенса — Френеля. Рассмотрим распространение света в однородной изотропной среде. Будем характеризовать световое поле, например, напряженностью электрического поля . Каждая из его проекций E i удовлетворяет волновому уравнению (см. § 2 разд.1): , (3.4) где v — скорость распространения света в среде; D — оператор Лапласа. Для монохроматической расходящейся сферической волны решение (3.4) имеет вид (см. § 3 разд.1): , (3.5) где w — частота света; k = w /v = 2p/l — волновое число. В дальнейшем будем использовать уравнение (3.5) в комплексной форме: , или E = Re A e- i w t, (3.6) где — комплексная амплитуда колебаний поля в данной точке. Для плоских и цилиндрических волн колебания напряженности E будут также определяться (3.6) с амплитудами и соответственно (см. § 2 и 4 разд.1). Интенсивность волны определяется квадратом модуля амплитуды колебаний (см. § 6 разд.1): . (3.7) Пусть S (рис.3.2) — мгновенное положение сферического волнового фронта с радиусом r0, распространяющегося от точечного источника P0. Определим амплитуду колебаний поля A P в точке P.
Рис.3.2
Амплитуду колебаний в точке Q волнового сферического фронта представим в виде a0exp(ikr0)/r0. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля каждый элемент волнового фронта рассматривается как центр вторичных когерентных сферических волн; вклад в амплитуду dA P, вносимый элементом поверхности dS, на котором располагается точка Q, запишем в виде , (3.8) где s = QP, K(j) — коэффициент наклона, описывающий изменение амплитуды вторичных волн в зависимости от направления, а j — угол между нормалью в точке Q и направлением QP (угол дифракции). Коэффициент наклона K(j) был введен Френелем как феноменологический коэффициент, имеющий следующие свойства. Модуль K(j) максимален при j = 0 и монотонно убывает с увеличением угла j. Из теории Кирхгофа, основанной на том, что напряженность поля световой волны удовлетворяет волновому уравнению (3.4), следует для сферической волны K(j) = -ik(1 + cosj)/4p . (3.9) При малых углах дифракции j << 1 можно положить cosj » 1 и K(j) » K(0) = - ik/2p.
Зоны Френеля
Разобьем поверхность S на такие области, чтобы расстояние от краев каждой области до точки P отличалось на половину длины волны l/2 — такие участки волновой поверхности называются зонами Френеля. Построим вокруг точки P сферы с радиусами b, b + l/2, b + 2l/2, b + 3l/2, ..., b + ml/2, ... и т.д., где b = CP, а С — точка пересечения P0P с волновым фронтом S, m — номер зоны Френеля (см. рис.3.2). Расстояния b и r0 велики по сравнению с длиной волны света l, тогда коэффициент наклона в пределах одной зоны Френеля можно считать постоянным. Разобьем поверхности зон на узкие кольца, расстояние от границ которых до точки P отличается на величину ds. Используя теорему косинусов: s2 = (b + r0)2 + r02 - 2(b + + r0) r0cosq, получим sds = (b + r0) r0sinqdq. Площадь узкого кольца . Подставив dS в (3.8), найдем вклад в амплитуду dA P, от узкого кольца: , (3.10) где K m — среднее значение коэффициента наклона в пределах m-й зоной Френеля. Амплитуду колебаний A Pm, созданную одной m-й зоной Френеля в точке P, найдем, проинтегрировав (3.10) по расстоянию s от внутренней границы зоны, расположенной на расстоянии s1 = b + (m - 1)l/2, до внешней границы зоны, расположенной на расстоянии s2 = b + ml/2 . (3.11) Коэффициент наклона K(j) медленно убывает с ростом номера зоны и для последней N-й зоны Френеля, когда j ® p, согласно (3.9), K N = 0. Амплитуда A P от всех зон Френеля равна амплитуде колебаний А, созданной точечным источником на расстоянии b + r0: . При малых углах дифракции j << 1, как следует из формулы (3.9), коэффициент K m можно положить равным значению коэффициента наклона при j = 0: . Подставив K m в (3.11), получим, что амплитуда , (3.12) т.е. приблизительно в два раза больше по модулю амплитуды колебаний А от всего волнового фронта. Множитель в (3.12) показывает, что четные и нечетные зоны создают в точке P противоположные по фазе колебания. Для решения дифракционных задач часто применяют графические методы сложения амплитуд. Построим векторную диаграмму колебаний, создаваемых волновым фронтом S. Разобьем поверхность S на такие узкие кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине, чтобы разность фаз dd вторичных волн, пришедших от любых соседних колец, была одинакова. Так как dd = kds, то одинаковым dd соответствуют одинаковые ds, и согласно (3.10) кольца создают почти равные амплитуды колебаний. Колебание, создаваемое в точке P каждой из зон, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, выбранным за направление отсчета, дает начальную фазу колебаний. Амплитуду колебания, создаваемого центральным кружком, изобразим вектором 0 - 1 (рис.3.3, а). Кольцо, окружающее центральный участок, даст вектор 1 - 2, повернутый относительно отрезка 0 - 1 на угол dd и имеющий ту же длину; следующее кольцо даст 2 - 3 и т.д. Каждое следующее колебание отстает от предыдущего по фазе на одну и ту же величину dd. Если учесть обусловленное коэффициентом K слабое убывание амплитуды с увеличением расстояния s, то векторы образуют ломаную спиралевидную линию. В пределе dd ® 0 ломаная линия принимает вид спирали, медленно закручивающейся к точке С (рис.3.3, б).
Рис.3.3 Участок 0 - 1 на рис.3.3, б, в соответствует первой зоне Френеля, так как фазы колебаний в точках 0 и 1 отличаются на d = p (бесконечно малые векторы, образующие спираль, направлены в этих точках в противоположные стороны). Аналогично, участок 1 - 2 соответствует второй зоне, 2 - 3 — третьей зоне и т.д. Вектор, проведенный из точки 0 в точку 1 (см. рис.3.3, в), изображает колебание с амплитудой A1, возбуждаемой в точке P этой зоной. Аналогично, вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (см. рис.3.3, в), изображает колебание с амплитудой A2, возбуждаемой второй зоной Френеля. Участок OB (см. рис.3.3, в) соответствует внутренней половине первой зоны Френеля. Колебание, возбуждаемое в точке P всей волновой поверхностью, изображается вектором ОС (см. рис.3.3, б).
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 79; Нарушение авторского права страницы