Применение комбинаторики к подсчету вероятности

В настоящем параграфе мы разберем несколько примеров вычисления вероятностей. В большинстве случаев потребуется прямой подсчет числа различных возможностей, основанный на известных формулах комбинаторики.

Пример 1. На пяти одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова «Минск» –– по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово «Минск»?

Решение. Из пяти различных элементов можно составить  перестановок: . Значит, всего равновозможных элементарных событий будет 120, а благоприятствующих данному
событию –– только одно. Следовательно,

Пример 2. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу извлекаются последовательно 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р₁, р₂, о₁, о₂. Общее число элементарных исходов равно:  Слово «тор» получится в  случаях (то₁р₁, то₂р₁, то₁р₂, то₂р₂).

Искомая вероятность равна:

Пример 3. На библиотечной полке расставлены «как попало» 10 книг, в числе которых есть нужные вам 3 книги. Какова вероятность того, что эти 3 книги оказались поставленными рядом?

Решение. Существует 10! способов упорядочить расположение 10 книг на полке. Все 10! способов возможно считать равновозможными элементарными событиями. Есть 3! способов расставить рядом 3 избранные книги. Для размещения каждой из этих упорядоченных троек книг есть 8 мест: по одному слева и справа от комплекта оставшихся 7 книг и 6 мест в промежутках между этими 7 книгами.

Таким образом, число элементарных событий, благоприятствующих задуманному событию, равно  Искомая вероятность:

Пример 4. В играх на первенство страны по баскетболу участвуют 16 команд, которые будут распределены по жребию на две группы по 8 команд. Какова вероятность того, что две команды –– победительницы в прошлогодних состязаниях войдут в одну группу?

Решение. Число всех способов распределения 16 команд на две группы по 8 команд ровно . Пусть обе команды –– победительницы вошли в одну группу. К ним следует присоединить еще 6 любых команд из оставшихся 14. Это можно сделать  способами.

Отобранные 8 команд можно объявить группой № 1, оставшиеся –– группой № 2, и наоборот. Следовательно, требованию задачи удовлетворяют  комбинаций. Искомая вероятность равна:

Пример 5. В семье капитана дальнего плавания есть дети голубоглазые и кареглазые. Всякий раз, когда он после очередного рейса возвращается домой, первыми его встречают какие–либо двое из детей. Кто именно –– чистая случайность.

Но в силу той же случайности в 50 % всех случаев это оказываются голубоглазые дети. Сколько же всего голубоглазых детей в семье капитана?

Решение. Пусть в семье капитана n детей, из них m голубоглазых. Вероятность того, что два случайно выбранных ребенка голубоглазые, равна:

По условию задачи эта вероятность равна , поэтому задача сводится к нахождению таких натуральных значений m и n, для которых

Наименьшими из таких значений являются  и . Ближайшие последующие значения  и . Так что, по–видимому, у капитана дальнего плавания четверо детей и трое из них –– голубоглазые.

Упражнения

1. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова «талант» –– по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и раскладывают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово «талант»?

2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом их наугад собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: