Определение спирали Архимеда

Спираль Архимеда

Исторические сведения

Архимед (287 г. до н. э. -- 212г. до н. э.) -- древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз (остров Сицилия). Он сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.

Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Архимедову спираль использовали в древности, как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга.

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность - винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции.

Определение спирали Архимеда

Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

Построение спирали Архимеда

Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, отметим на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда.

Построим из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.

Разделим окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. На первой линии откладываем одно деление, на второй-два деления, на третьей-три деления и т. д. Затем чертим соответствующее число дуг из центра окружности, проходящих через первое деление,2-ое и т. д.

Расстояния витков правой спирали, считая по лучу, равны ,а расстояния соседних витков, равны.

Уравнение Архимедовой спирали имеет вид:

,

где - радиус-вектор,- угол вращения,- шаг спирали.

Полярный угол мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки.

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) при вращении -- по часовой стрелке -- левая спираль (красная линия).

Полярный радиус-вектор мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом , а во втором в противоположном направлении.

I.Вычислим площадь, описываемую полярным радиусом спирали при одном его обороте, если началу движения соответствует ,

.

Итак,

Если мы найдем площадь круга радиуса ,то получим

.

То есть, мы получили, что площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали, равна площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка.

II.Найдем длину первого витка спирали Архимеда.

Логарифмическая спираль

Исторические сведения

Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом (1638 г., опубликовано в 1657 г). Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль. Независимо от Декарта она была открыта Э. Торричелли в 1644 г. Свойства логарифмической спирали исследовал Я. Бернулли (1692 г.). Её название предложено П. Вариньоном (1704 г.).

Гиперболическая спираль

Список литературы

1. Большой энциклопедический словарь «Математика»,

Гл. редактор Ю.В. Прохоров, Научное изд-во «Большая Российская Энциклопедия», М.: 1998

2. http://mathemlib.ru

3. http://www.phisiki.com/

4. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г.

5. http://hijos.ru/

6. Википедия

7. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления; том I,II- М.: Наука, 1969

8. Математическая энциклопедия. Главный редактор И.М. Виноградов, т.3 - М.: «Советская энциклопедия», 1982

9. Графики функций. Справочник. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.,1979 г.

Улитка Паскаля

Определение и построение

Даны: Точка O (полюс), окружность K диаметра OB=a (рис.6), проходящая через полюс (основная окружность; она показана на чертеже пунктиром), и отрезок . Из полюса O проводим произвольную прямую OP. От точки P, где прямая OP вторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от P отрезки . Геометрическое место точек M₁, M₂ (жирная линия на рис.6) называется улиткой Паскаля - в честь Этьена Паскаля (1588 - 1651), отца знаменитого французского ученого Блеза Паскаля (1623 - 1662).

Исторические сведения

Термин «улитка Паскаля» предложен Ж. Робервалем, современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды.

Особенности формы

Улитка Паскаля симметрична относительно прямой OB. Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку: 1) в точке O (если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках A, C (вершины). Форма линии зависит от соотношения между отрезками и .

1) Когда (линия 1 жирная; для неё ) улитка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке O

,

Образуя две петли: внешнюю OHA₁GO и внутреннюю OH^'C₁G^'O. Угловой коэффициент касательных OD, OE в узловой точке:

.

Для построения касательных достаточно провести хорд OD, OE длины l в окружности K. Наиболее удаленным от оси точкам G, H внешней петли отвечает значение

;

Наиболее удаленным точкам G^', H^' внутренней петли - значение

.

Соответствующее полярное значение полярного радиуса:

.

2) Когда (линия 2 на рис.6), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча OX сменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам L, M отвечают значения

.

Линия 2 называется кардиоидой, т.е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741г.). Она изображена отдельно на рис.7

3) Когда (линия 3; для неё ), улитка Паскаля - замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси точкам L^', N^' отвечает значение . Лишившись точки возврата, улитка приобретает взамен точки перегиба R, Q, которым отвечает значение . Угол ROQ , под которым отрезок RQ виден из полюса, по мере возрастания сначала возрастает от нуля до ; этому значению соответствует . При дальнейшем увеличении угол ROQ убывает, стремясь к нулю при .

4) При точки перегиба, сливаясь с вершиной C пропадают (причем кривизна в точке C становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях

(линия 4; для нее ). Наиболее удаленным от оси точкам L^'', N^'' отвечает значение

.

Свойства нормали

Нормаль улитки Паскаля в ее точке M (рис.7) проходит через точку N основной окружности K, диаметрально противоположную той точке P, где OM пересекается с основной окружностью.

Построение касательной

Чтобы провести касательную к улитке Паскаля в ее точке M, соежиняем последнюю с полюсом O. Точку N основной окрудности K, диаметрально противополжную точке P, соединяем с M. Прямая MN будет нормалью к улитке. Проводя MT MN, получим искомую касательную.

Задача

Дана улитка Паскаля с полюсом в точке O. Написать уравнения в прямоугольной и полярной системах координат.

Решение:

Пусть начало координат - в полюсе O, ось OX направлена по лучу OB. Тогда уравнение в прямоугольной системе координат будет иметь вид:

. (1)

Строго говоря, это уравнение представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса O, который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (такой случай имеет место для линий 3 и 4 на рис.6).

Уравнение в полярной системе (O - полюс, OX - полярная ось):

, (2)

где меняется от какого-либо значения до .

Лемниската Бернулли

Определение

Лемниската есть геометрическое место точке, для которых произведение расстояний от них до концов данно отрещка равно . Точки F₁, F₂ называются фокусами лемнискаты; прямая F₁F₂ - ее осью.

Исторические сведения

В 1694 г. Якоб Бернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением . Он отмечает сходство этой линии (рис.8) с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкую ивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 - 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции, и тем не менее лемнискату можно разделить (с помощью линейки и циркуля) на n равных дуг при условии, что или или , где m - любое целое положительное число.

Лемниската есть частный вид линии Кассини. Однако, хотя линии Кассини получили всеобщую известность с 1749 г., тождественность «восьмерки Кассини» с лемнискатой Бернули была уставновлена лишь в 1806 г. (итальянским математиком Саладини).

Построение

Можно применять общий способ построя линия Кассини, но нижеизложенный способ (К. Маклорена) и проще и лучше. Строим (см. рис.) окружность радиуса с центром в точке F₁ (или F₂). Проводим произвольную секущую OPQ и откладываем на этой прямой в обе стороны от точки O отрезки OM и OM₁, равные хорде PQ. Точка M опишет одну из петель лемнискаты, точка M₁ - другую.

Особенности формы

Лемниската имеет две оси симметрии: прямую F₁F₂ (OX) и прямую OYOX. Точка O - узловая; обе ветви имеют здесь перегиб. Касательные в этой точке составляют с осью OX углы . Точки A₁,A₂ лемнискаты, наиболее удаленные от узла O (вершины лемнискаты), лежат на оси F₁F₂ на расстоянии от узла.

Свойства нормали.

Подяоный радиус OM лемнискаты образует с нормалью MN угол , вдвое больше полярного угла :

.

Другими словами: угол между осью OX и вектором NN^' внешней нормали лемнискаты в точке M равен утроенному полярному углу точки M:

.

Построение касательной

Чтобы построить касательную к лемнискате в ее точке M, проводим полярный радиус OM и строим . Перпендикуляр MT к прямой MN есть искомая касательная.

Задача

Написать уравнение лемнискаты Бернулли в прямоугольной системе координат (O - серидина отрезка F₁F₂) и в полярной системе координат (O - полюс).

Решение:

Пусть точка O - начало координат ; ось OX направлена по F₁F₂. Тогда Уравнение в прямоугольной системе координат:

.

Если O - полюс, OX - полярная ось, то уравнение в полярной системе:

.

Угол изменяется в промежутках и .

1. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с ил.

2. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике, М.: АСТ: Астрель, 2008, 991 стр. с ил.

3. Атанасян Л.С. и Атанасян В.А., Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I, М., "Просвещение", 1973, 256 с.

4. Гурова А.Э. Замечательные кривые вокруг нас. М, 1989

5. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. - М, 1978

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Строфоида

7. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля

 

Спираль Архимеда

Исторические сведения

Архимед (287 г. до н. э. -- 212г. до н. э.) -- древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз (остров Сицилия). Он сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.

Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Архимедову спираль использовали в древности, как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга.

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность - винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции.

Определение спирали Архимеда

Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

12Следующая ⇒

Поделиться: