Пространственная система сил. Приведение произвольной пространственной системы сил к простейшему виду.

Рассмотрим еще один способ приведения системы сил к простейшему виду.

Теорема. Произвольная пространственная система сил эквивалентна двум силам, которые в общем случае не лежат в одной плоскости.

Доказательство

Предположим, что произвольная система сил с помощью теоремы Пуансо приведена к силе , приложенной в центре приведения O,и паре сил, момент которой (рис. 3.4). Выберем силы , образующие пару , так, чтобы

,

приложим силу в точке O. Затем,воспользовавшись аксиомой параллелограмма сил, сложим силы и , в результате чего получим систему двух сил , в общем случае не лежащих в одной плоскости.

Итак, ~ ~ ,

а значит теорема доказана.

Условия равновесия пространственной системы сил

Теорема.Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольного центра O равнялись нулю:

. (3.4)

Доказательство

Докажем необходимость условий (3.4). Предположим, что система сил уравновешена, и приведем ее к двум силам ~ 0. Тогда в соответствии с 1-й аксиомой статики эти силы должны действовать вдоль одной прямой и . Так как , получим

, (3.5)

где , так как – пара сил и поэтому из формулы (3.5)следует, что .Так как силы и направлены вдоль одной прямой, линия действия последней проходит через точку O, в которой приложена сила (см. рис. 3.4), и поэтому главный момент

,

т.е. необходимость доказана.

Теперь докажем достаточность. Предположим, что и , тогда система сходящихся сил и система пар, полученные при доказательстве теоремы Пуансо, уравновешены.Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю. Теорема доказана.

Спроецируем векторные равенства (3.4) на оси координатной системы Oxyz и запишем

откуда с учетом (3.1) и (3.2) получим шесть уравнений равновесия пространственной системы сил:

(3.6)

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно,чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей равнялись нулю.

Теорема Вариньона

Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно произвольной точки равен сумме моментов всех сил системы относительной этой же точки.

Доказательство

Рассмотрим систему сил , имеющую равнодействующую , приложенную в точке A (рис. 3.5). Приложим уравновешивающую силу в этой же точке и получим систему сил ~ 0, главный момент которой относительно точки O

. (3.7)

Но

и поэтому из выражения (3.7) получим

,

откуда следует

, (3.8)

что и нужно было доказать.

Теорема Вариньона справедлива и для моментов сил относительно координатных осей. Действительно, спроецируем векторное равенство (3.8) на оси системы Oxyz и получим

. (3.9)

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: