Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакові частоти.

Розглянемо додавання двох коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань

  (1)

 

Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою

Або

(2)

 

Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

Так-як вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

    (3)

або з урахуванням того, що одержуємо:

Рис.1

       (4)

І

    (5)

Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює

(6)

Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо

(7)

Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.

Якщо де ( ), то ;

Якщо де ( ), то .

Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:

(8)

Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і ( ). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами і близькими циклічними частотами і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому

(9)

(10)

Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .

Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття

(11)

Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою

(12)

Вираз (12) підставимо в (11)

. (13)

або

(14)

Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)

                               (15)

 

Результуюче коливання биття матиме вигляд:

(16)

де – амплітуда биття.

Рис.2

Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):

Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття

, звідки (17)

Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою

, звідки (18)

Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено

(19)

За час відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому

(20)

З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться

(21)

звідки а для частот

В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:

(22)

Биття використовується для вимірювання частоти невідомого генератора в процесі їх виготовлення. Складання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо і телепередач.

 

                           ВІЛЬНІ ТА ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ

У коливальній системі, виведеній з положення рівноваги і залишеній саму собі, під дією внутрішніх сил виникають вільні коливання. Коливання тягарця, підвішеного на пру­жині чи на довгій нитці (мал. 24),— це приклад вільних коливань. Після виведення такої системи з положення рівноваги виникають умови, за яких тіла коливаються без впливу зовнішніх періодично змінних сил.

                 

 

Коливання під дією зовнішніх сил, які періодично змінюються, називають вимушеними коливаннями. Виму­шені коливання здійснюють поршень у циліндрі двигуна внутрішнього згоряння і ніж електробритви, паровий молот і голка швейної машини, струна гітари і фундамент швид­кохідної турбіни, серце людини і кузов залізничного вагона, крила літака в польоті і різець стругального верстата тощо.

З'ясуємо, які властивості повинна мати система, щоб у ній могли виникнути вільні коливання, і за яких умов вони мо­жуть виникнути. Розглянемо рух горизонтального пружинно­го маятника. Це пружина, один кінець якої жорстко закріпле­ний, а на другому є кулька з наскрізним отвором (мал. 25). Во­на може ковзати без тертя вздовж горизонтального стержня. В стані рівноваги (спокою) кулька перебуває в положенні А (мал. 25, о). Сила тяжіння кульки mg компенсується реакцією

 

стержня N: mg+N = 0. Якщо відтягнути кульку вправо від по­ложення рівноваги А до положення В (мал. 25, б) і потім відпу­стити її, то вона здійснюватиме коливання навколо положення рівноваги А.

З'ясуймо причину цих коливань. Зміщуючи кульку впра­во, ми розтягуємо пружину на х_m , при цьому виникає сила

пружності пружини F, яка прагне повернути кульку до поло­ження рівноваги. Ця сила згідно з законом Гука пропорційна

деформації пружини і напрямлена вліво. Під дією сили F кулька рухатиметься з прискоренням вліво і її швидкість зро­статиме. Сила F зменшуватиметься, оскільки зменшується деформація пружини. Досягнувши положення рівноваги А, кулька не зупиниться, хоча в цьому положенні на неї не діятиме сила (пружина не розтягнута); рухаючись по інерції, вона пройде положення рівноваги і почне стискати пружину. В результаті виникає сила пружності, яка напрямлена вже вправо і гальмує рух кульки (мал. 25, в). Ця сила, а отже, і напрямлене вправо прискорення зростають за модулем прямо пропорційно модулю зміщення х кульки відносно положення рівноваги. А швидкість зменшується доти, поки-в крайньому лівому положенні не перетвориться на нуль. Після цього під дією сили пружності кулька почне рухатися з прискоренням вправо; по інерції вона знову пройде положення рівноваги і знову опиниться в В, здійснивши таким чином одне повне ко­ливання. Далі все повторюватиметься.

Отже, причинами коливань масивної кульки на пружині є сила пружності, яка виникає під час розтягу і стискання пружини, та інерція кульки.

 

 

             Механічний резонанс та його роль у техниці.

Резонанс (фр. resonance, від лат. Resono - відгукуюся) - явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань, яке наступає при наближенні частоти зовнішнього впливу до деяких значенням (резонансним частотам), що визначаються властивостями системи. Збільшення амплітуди - це лише наслідок резонансу, а причина - збіг зовнішньої (збуджуючої) частоти з внутрішньої (власної) частотою коливальної системи. За допомогою явища резонансу можна виділити і або посилити навіть вельми слабкі періодичні коливання. Резонанс - явище, що полягає в тому, що при деякій частоті змушує сили коливальна система виявляється особливо чуйною на дію цієї сили. Ступінь чуйності в теорії коливань описується величиною, званої добротність. Явище резонансу вперше було описано Галілео Галілеєм в 1602 г в роботах, присвячених дослідженню маятників і музичних струн.

 

Механіка

 

Найбільш відома більшості людей механічна резонансна система - це звичайні гойдалки. Якщо ви будете підштовхувати гойдалки відповідно до їх резонансною частотою, розмах руху буде збільшуватися, в іншому випадку руху будуть затухати. Резонансну частоту такого маятника з достатньою точністю в діапазоні малих зміщень від рівноважного стану, можна знайти за формулою:

                           ,

де g це прискорення вільного падіння (9,8 м / с ² для поверхні Землі), а L - довжина від точки підвішування маятника до центру його мас. (Більш точна формула досить складна, і включає еліптичний інтеграл). Важливо, що резонансна частота не залежить від маси маятника. Також важливо, що розгойдувати маятник не можна на кратних частотах (вищих гармоніках), зате це можна робити на частотах, рівних частках від основної (нижчих гармоніках).

 

Резонансні явища можуть викликати необоротні руйнування в різних механічних системах.

В основі роботи механічних резонаторів лежить перетворення потенційної енергії в кінетичну. У разі простого маятника, вся його енергія міститься в потенційній формі, коли він нерухомий і знаходиться в верхніх точках траєкторії, а при проходженні нижньої точки на максимальній швидкості, вона перетворюється в кінетичну. Потенційна енергія пропорційна масі маятника і висоті підйому щодо нижньої точки, кінетична - масі і квадрату швидкості в точці вимірювання.

Інші механічні системи можуть використовувати запас потенційної енергії в різних формах. Наприклад, пружина запасає енергію стиснення, яка, фактично, є енергією зв'язку її атомів.

   Застосування

Явище резонансу широко використовується в науці й техніці. На ньому ґрунтується робота багатьох радіотехнічних схем та пристроїв, таких як коливні контури. Використовуючи явище резонансу ми вибираємо із багатого різноманіття електромагнітних хвиль в просторі навколо нас саме ті, які відповідають нашій улюбленій радіостанції, вибираємо телевізійний канал тощо.

Проте не завжди резонанс корисний. Відомі випадки, коли навісні мости ламалися при проходжені по ним солдат "в ногу". Це відбувалося через те, що частота власних коливань полотна моста збігалася з частотою ходи людей.

 

 

                      37 Розповсюдження коливань.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: