Часть II . Иррациональные неравенства и методы их решения.

 

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

Рассмотрим решение неравенства вида .

Чтобы его решить, нужно обе части неравенства возвести в квадрат и вовремя вспомнить об ОДЗ: подкоренное выражение меньшего из корней должно быть неотрицательным – тогда подкоренное выражение большего корня автоматически будет больше нуля. Таким образом, неравенство вида равносильно системе неравенств: .

Практически все сложные иррациональные неравенства, в конечном итоге сводятся к базовым иррациональным неравенствам двух типов.

Иррациональные неравенства первого типа: .

Заметим, что в левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, следовательно, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.

Получаем первое условие:  g ( x )>0.

Чтобы решить неравенство, нам нужно обе части возвести в квадрат.

Получаем второе условие: f ( x )<( g ( x ))² .

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому не забываем про ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Получили третье условие: .

Итак, неравенство вида равносильно системе неравенств:

Аналогично, нестрогое неравенство равносильно системе неравенств:

Иррациональные неравенства второго типа: .

Не смотря на то, что это неравенство с виду похоже на неравенство первого типа, оно принципиально от него отличается.

Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень, левая часть всегда неотрицательна, поэтому

если g ( x )<0 , то неравенство выполняется при любом допустимом значении x, то есть при .

если , то мы можем обе части неравенства возвести в квадрат, получим , и условие на ОДЗ будет автоматически следовать из этого неравенства.

Итак, неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств:

Нестрогое неравенство вида равносильно совокупности:

Рассмотрим примеры решения иррациональных неравенств.

Пример 9.

a) Решить неравенство:

Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:

Решим каждое неравенство:

1.  <=>

D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.

2. Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.

Ответ: x≥2.

b ) Решить неравенство:

Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:

Решим каждое неравенство:

1. <=>

2. <=> <=>

D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.

3.

Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: 0≤ x ≤ 2.

 

c )

Решение.

Таким образом необходимо рассмотреть два квадратных и одно линейное неравенство. Их решение не представляет никаких сложностей.

Объединением этих неравенств будет {-2}  [1/3, 1.5].

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Укажите решение уравнения

а) 9

б) 12

в) 8

г) 3

2. Иррациональным называется уравнение, где переменная находится:

а) В знаменателе дроби

б) В степени числа

в) Под знаком модуля

г) Под знаком корня

3. Укажите решение уравнения

а) 4

б) -4

в) -4; 4

г) 9

4. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня положительно?

а) Четной

б) Нечетной

в) Четной и нечетной

г) Все существуют

5. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня отрицательно?

а) Четной

б) Нечетной

в) Четной и нечетной

г) Все существуют

6. Укажите решение неравенства .

а) x

б) x<-3

в) x

г) x>-3

7. Укажите решение неравенства .

а) x

б) x<-1/2

в) x

г) -2<x<-1/2

Задачи для самостоятельного решения.

1. Укажите, какому промежутку принадлежит сумма корней уравнения (или корень, если он один):

2.  Укажите количество корней уравнения.

3. Решите неравенства:

Литература

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.]: под ред. А.Н.Колмогорова.- М.: Просвещение, 2008

2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. - М.: Мнемозина, 2009

3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. - М.: Мнемозина, 2009

4. Алгебра и начала анализа: сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич, Б.П.Пигарев и др.;под ред. С.А. Шестакова. - М.: Внешсигма-М, 2007

5. ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические выражения, функции, уравнения и неравенства / Е.А.Семенко, М.В.Фоменко; под ред. Е.А.Семенко. - М.: Издательство "Экзамен", 2012

6. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие / под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. - Ростов-наДону: Легион, 2010.

Ключ к тесту

1	2	3	4	5	6	7
б	г	в	г	а	в	б

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: