Шпаргалка по физике за 4 семестр

Шпаргалка по физике за 4 семестр

Гармонические колебания.

Рассмотрим движение частицы в некотором однородном поле. Будем задавать его (поле) не силами, а потенциальной энергией (т.е. силы консервативны). Пусть диссипативных сил нет. Рассмотрим следующий вид зависимости потенциальной энергии от координаты.

Пусть минимум потенциальной энергии в точке (0, 0). Такое поле – потенциальная яма.

Пусть в некоторый момент времени, когда точка была в нуле, телу сообщили кинетическую энергию , т.к. нет диссипативных сил, то полная механическая энергия постоянна и равна . В точке , частица имеет потенциальную энергию, определяющейся точкой на графике. При движении по оси  будет расти потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая, и в некоторой точке  потенциальная энергия станет равна  а кинетическая станет равна нулю.

Частица совершает непрерывные движения в ограниченной области пространства повторяя свою траекторию – это колебательное движение.

Пусть колебания малые. Разложим  в ряд Тейлора вблизи ноля:

Допустим, что колебания настолько малы, что мы с достаточной погрешностью можем ограничиться квадратичным слагаемым. Тогда:

, где .

Т.о. если энергия мала, то низ ямы можно представить как параболу.

; ;

;   .

Мы рассмотрели как описывать механические движения в потенциальной яме. Если колебания на столько маленькие, что «дно ямы» можно описать параболой, то колебания описываются формулой , аналогично могут описываться и большие колебания, при условии, что яма параболическая.

Рассмотрим параболическую яму или самое донышко любой другой.

Итак, зависимость потенциальной энергии тела от координаты имеет вид . Найдем зависимость силы, действующей на тело, от его координаты: . Заметим, что эта сила линейна.

 

 

Решим дифференциальное уравнение , описывающее движение в параболической яме.

 

,  - в общем случае произвольные комплексные числа. Поскольку  - действительная величина, то всегда выполняется соотношение , а значит  это тождество верно для любого момента времени .

Если , .

Пусть , , где  - некоторые произвольные действительные числа.

Запишем решения в другом виде .

Запишем комплексные числа в тригонометрическом виде

распишем косинус суммы ,

где , .

Все, что колеблется по такому закону называется «гармонические колебания»  

Величина  называется амплитудой гармонических колебаний,

 - фаза гармонических колебаний – величина, зависящая от времени. - начальная фаза.

Если координата записывается , то скорость и ускорение записываются соответственно , .

Найдем такое время , через которое повторится, т.е. выполняется равенство . , , , где

 величина  называется периодом колебаний. Периодов много, но можно рассматривать наименьший .

 - круговая (циклическая) частота колебаний .

 - называется «просто» частота колебаний. .

Энергия колебаний.

Энергия осциллирует и всегда положительна.

.

Полная энергия не зависит от времени – сохраняется.  - произвольные постоянные в общем решении дифференциального уравнения, их можно найти из начальных условий.

Н.р. ,

 решив эту систему, найдем , зная  и , , .

Сложение колебаний

Представим, что шарик движется в двух полях, н.р. заряженный математический маятник рядом с которым симметрично расположены заряды одинакового знака. Шарик движется финитно. В этом случае шарик не обязательно будет совершать гармонические колебания, даже если обе ямы параболические. Процесс нахождения результирующего колебания называется сложение колебаний. Суммарное колебание зависит от характера колебаний. До этого мы рассматривали колебания скалярной величины, но может колебаться и вектор, а скаляр – это его проекция. Суммарное колебание зависит от  - одинаковая она или разная.

Пусть отдельно уравнения колебаний для гравитационного и кулоновского поля имеют вид  

 - одинаковые, но разные начальные фазы колебаний.

Итак, сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой  есть гармонические колебания.

Посмотрим, как складываются гармонические колебания с разными частотами.

Разберем частный случай:  и  чуть-чуть отличаются друг от друга. Пусть амплитуды и начальные фазы колебаний одинаковы.  

 

при .

Точная настройка двух струн на гитаре означает, что мы стремим , , т.е. .

Если гитара расстроена, то  - значительно, и две струны, расположенные рядом, издают звук похожий на «ау-ау» с периодом .

Результат сложения двух близких по частоте колебаний называется биение. Если частоты хотя бы немного различаются, то колебания становятся не гармоническими (биения).

Затухающие колебания.

Пусть есть трение. В общем случае трение пропорционально скорости. Запишем второй закон Ньютона.

.

1)

.

Получили негармонические колебания с меньшей частотой.

Такие колебания называются затухающими колебаниями.

Найдем время, за которое амплитуда колебаний уменьшиться в  раз.

.

 – характерное время затухания.

Во сколько раз измениться амплитуда за период?

.

 – декремент затухания.

 – логарифмический декремент затухания.

 – добротность системы.

Пусть есть диссипативные силы (силы трения) в общем случае пропорциональные скорости.

;

;

.

1)  - рассмотрено раньше.

2) .

 - т.е. функция.

Рассмотрим два вида начальных условий:

- ;  (т.е. шарик на нитке или пружине только оттянули). Тогда .

- ;  (т.е. шарику сообщили некоторую скорость). Тогда

Т.е. шарик отклонится и вернётся обратно.

3)

Вынужденные колебания.

Добавим вынуждающую силу, действующую на осциллятор.

;

;

.

Пусть . Рассмотрим случай, когда . Тогда

.

.

Тогда частное решение этого дифференциального уравнения выглядит так:

;

;

;

откуда: . Тогда

.

, где .

При , Это случай установившихся колебаний. Если долго ждать, то вид колебаний не будет зависеть от начальных условий

.

Пусть , откуда

;

;

.

 возьмём действительную часть:

  Резонанс.

Посмотрим как зависит амплитуда установившихся колебаний от частоты силы.

;

Найдём экстремум . Откуда  - при такой  имеет место быть экстремум. Т.к. он единственный  что это максимум и амплитуда колебаний будет максимальна.  определяется  - самим осциллятором и вязкостью среды. Ситуация, когда амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума – резонанс.

.

1) , т.е. колебания станут нелинейными.

2) Чем вязкость меньше, тем график амплитуды пойдёт выше.

Найдём такую частоту, при которой . Предположим, что резонансная кривая симметрична и , т.е. затухание малое. Тогда

;

, но т.к. кривая узкая то , но

;

;

.

Т.о. для систем с малым затуханием выполняется соотношение .

 - величина, на которую нужно отступить в право или в лево от резонанса, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза.

Величина,  называется логарифмический декремент затухания

 - добротность.

Найдем отношение высоты рез­­­­­­онансной кривой к :

Пусть максимум узкий, тогда

Добротность – это безразмерная величина.

Ее смысл: Если есть вынуждающая сила, то чем больше вязкость, тем меньше максимум. Добротность показывает во сколько раз можно увеличить  по отношению к смещению постоянной силы. Чем больше добротность , тем больше , чем меньше добротность , тем меньше .

Фазовые характеристики резонанса.

Установившиеся колебания  повторяют действующую силу  не точно, а отстают по фазе на величину .

Посмотрим, в каком случае .

 - в разных точках кривой начальная фаза колебаний будет разной.  зависит от затухания  и свойства самого осциллятора . Построим график .

Три вспомогательные точки:

Чем больше частота , тем больше отставание маятника от силы.

При  отставание стремится к половине периода.

Электрические колебания.

Соберем электрическую цепь.

Найдем уравнения, которые описывают заряд на конденсаторе .

 будем работать в СИ. Считаем, что ток в данной системе квазистационарный, т.е в заданный момент времени токи во всех точках цепи одинаковые.

                  (1)

При записи выражения (1) считали, что катушка не деформируется и её индуктивность  постоянна, а это значит, что .

Запишем выражение (1) в другом виде   и сравним с уже известным уравнением . Эти уравнения имеют одинаковый вид. Поэтому, если в формулах, полученных для механических колебаний, заменим константы  и , то они будут справедливы для уравнения .

.

Импеданс.

Рассмотрим некоторую разветвлённую цепь содержащую .

 - комплексная запись.

Пусть , тогда . Т.к. токи квазистационарны то для них применимы законы Ома для мгновенных значений переменных величин. Выберем направление обхода по току. Применим закон Ома для Разорванной цепи:

,

где  - разность потенциалов между положительной и отрицательной обкладками - . Тогда:

.

Дифференцируя данное выражение по времени, мы получим следующее соотношение:

.

Это уравнение вынужденных колебаний, где  - ток в нашей цепи. Если нас интересует установившийся режим колебаний, то в цепи в результате возникают колебания с частотой вынуждающей силы. Тогда, подставим в полученное уравнение следующие выражения:

Тогда:

,

.

Откуда , где  - комплексное сопротивление или импеданс.

 - индуктивный импеданс.

 - ёмкостной импеданс.

В результате для комплексной амплитуды тока получим следующие выражение:

,

где ,  - фаза тока по отношению к напряжению. Т.к. , то  (где обе части надо брать с учётом знака).

Метод контурных токов.

Элементарный контур – контур, который нельзя получить наложением других контуров.

Рассмотрим схему:

В данной схеме можно выделить три элементарных контура. Будем считать, что по каждому элементарному контуру течёт одинаковый ток. Будем также считать, что все токи текут в одном направлении.

Метод контурных токов позволяет сократить число уравнений на количество узлов.

Составим следующую систему:

.

Где:  - полный импеданс данного контура – сумма импедансов входящих в данный контур ( );  - импеданс на соприкасающихся ветвях взятый с обратным знаком ( ).

Тогда решением этой системы уравнений относительно неизвестных токов будут:

.

Тогда ток через конкретный импеданс будет равен сумме токов в элементарных контурах в которые он входит взятые с учётом выбора направления обхода, т.е.:

, .

Резонанс токов.

Рассмотрим контур.

Пусть . Тогда Имеем для тока текущего через ЭДС:

,

.

Мнимая часть амплитуды тока будет равна нулю при . При этом условии данная катушка обладает чисто омическим сопротивлением т.е.  и  находятся в фазе, т.е. имеет место быть резонанс (так говорят в схемотехнике).

.

При резонансе токов ток через генератор минимален.

В очередной раз рассмотрим следующий контур

Стрелка указывает направления ЭДС в начальный момент времени.

Изобразим на одном графике зависимости напряжений на сопротивлении, катушке и конденсаторе в зависимости от частоты подаваемого напряжения .

На всех трех графиках возникает максимум при частоте близкой к резонансной .

Теперь рассмотрим следующую схему:

Ранее нами уже было получено выражение для комплексной амплитуды силы тока в цепи .

Видим, что при условии  данная цепочка будет обладать чисто омическим сопротивлением. Ток и ЭДС находятся в фазе. В этом случае говорят о резонансе токов. В случае  эту резонансную частоту можно приближенно считать равной . Но истинная резонансная частота зависит от добротности , где . Найдем значения токов в ветвях контура при резонансной частоте. .

Рассмотрим случай , тогда . Полный ток в цепи равен нулю. При этом ток в цепи с конденсатором не нулевой. и опережает ЭДС по фазе на . Ток в ветви с катушкой  отстает от ЭДС на . Токи через катушку и конденсатор совпадают по амплитуде, но противоположно направлены.

В идеальном контуре токи в ветвях с конденсатором и индуктивностью достигают достаточно больших значений и протекают в противоположных направлениях. Начальная энергия, которой обладает колебательный контур при резонансе, была получена сразу после замыкания ключа в процессе установления.

Проиллюстрируем на векторных диаграммах случаи резонанса напряжений.

Подаваемое на цепочку напряжение равно сумме напряжений на конденсаторе, сопротивлении и индуктивности . Каждой из этих комплексных величин ставится в соответствие вектор на комплексной плоскости , , . Цепь не разветвленная,  значит, во всех элементах цепи течет одинаковый ток.

Пусть начальная фаза тока равна нулю и . Если величина  достаточно мала, то величина  тоже мала. При увеличении  вектор  будет разворачиваться, и при совпадении с направлением  наступит резонанс.

Построим векторную диаграмму токов при нулевом сопротивлении. За нуль возьмем фазу ЭДС . Учтем, что по первому правилу Кирхгофа, сумма токов равна нулю .

При резонансе .

 

 

Если сопротивление не равно нулю, то получим следующую диаграмму токов.

Связанные маятники.

1) Рассмотрим систему, состоящую из двух математических маятников, которые связаны идеальной, невесомой пружиной. Длина нити обоих маятников , массы  и  соответственно, жесткость пружины .

Каждый маятник совершает движение по окружности, поэтому запишем уравнение моментов.

.

Колебания малы, тогда:

.

.

Переобозначив коэффициенты при углах, получим:

.

Таким образом, колебания связанных маятников описываются системой дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

2) Рассмотрим два индуктивно связанных колебательных контура (аналог связанных маятников).

Получили аналогичную систему уравнений.

.

Решение данной системы будем искать в виде:

Биквадратное уравнение. В общем случае есть четыре решения. Физически реальных решений будет два:  и .

Решений бесконечно много.

Одно из решений системы. Их бесконечно много с точностью до .

Запишем общее решение уравнений.

Движение маятника представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний с разными частотами. Следовательно, колебания негармонические.

Пусть маятники будут одинаковыми

Пусть  мало, тогда

.

То есть, при слабой связи, складываются колебания с очень близкими частотами, получаются биения.

 

Волны.

Основные определения. Виды волн. Кинематика волн.

Пусть у нас есть несколько точек, величин, зарядов, которые могут взаимосвязано колебаться. Т.е. если одна точка колеблется то начинают колебаться и остальные.

Например: если есть много маятников последовательно связанных пружинами то постепенно начнут колебаться все маятники, и при том неодинаково.

Пример: камень, брошенный в воду. Т.к. вода обладает конечной вязкостью, т.е. трением, образуются подъёмы и спады уровня воды – колебания.

В волнах никакого переноса массы в воде не бывает, вода не движется от камня, она движется вверх и вниз.

Опр.: Волной называется распространение в среде колебательного движения.

Обозначим колеблющуюся величину, изменяющуюся во времени, как .

Данная величина может быть двух видов:

- Скаляр: плотность воздуха в окрестности некоторой точки (например при разговоре), заряд и т.д. Т.е. .

- Вектор: радиус вектор некоторой частицы, напряжённость электрического поля, индукция и т.д. Т.е.  или .

В подобной записи можно описать любой процесс. Если функция  - синус или косинус, то такие волны называются гармоническим или синусоидальными.

Будем считать, что аргумент имеет вид   

 или

.

Если волны можно записать в подобной форме, то волны называются линейными.

 и т.д. и т.п. – это линейные гармонические волны.

Волновое уравнение.

Волновое уравнение вывести нельзя – оно фундаментально, это из него все получаются уравнения различных волн.

Попробуем угадать вид волнового уравнения. Для этого запишем уравнение плоской волны  и продифференцируем его дважды по времени и координате.

, ,

, .

 Из этих уравнений видно, что  или , где  - фазовая скорость.

Обобщим и в другом виде запишем , где  - оператор Лапласа от S.

Докажем, что любая функция вида  является решением уравнения .

, ,

,  теперь сразу видно, что  для любой функции вида .

Плотность потока энергии.

Рассмотрим продольную волну в твердом теле.

Равновесные характеристики: .

 – смещение.

 – скорость смещения.

 – относительная деформация.

- плотность кинетической энергии.

Растянутый стержень обладает упругой энергией:

- плотность энергии, локализованной в данном элементе:

Энергия может переноситься.

Найдем выражение для плотности потока энергии.

За время  силы  и  совершают работу.

 – плотность потока энергии.

 – вектор Умова.

Стоячие волны.

Принцип суперпозиции: Если одно и тоже вещество колеблется одновременно по двум различным законам, то в итоге суммарное колебание будет равно сумме различных колебаний.

Пусть распространяются две волны в одной и той же среде:

.

Т.е. у них одинаковы модули но противоположны направления волновых скоростей. По принципу суперпозиции:

.

Построим изображение данной волны в некоторые моменты времени (сфотографируем волну).

Попробуем найти такие , что , это будут .

Фазовая скорость такой волны будет равна нулю. Выберем поверхность равной фазы в некотором , где  или , но эти точки не подвижны.

Опр.: Такая волна, фазовая скорость которой равна нулю, называется стоячей.

Вопрос: Но ведь фазовая скорость определяется формулой , почему же она равна нулю?

Ответ: Это выражение справедливо для волн вида , а у нас другой вид волн, поэтому фазовую скорость мы находим по определению.

Упругие волны в среде.

Пусть у нас есть гитарная струна, мы возбуждаем в ней некоторые колебания (щипком или ударом). В струне возбуждаются волны.

Запишем для струны волновое уравнение.

Пусть выбран малый кусок струны (малый настолько, что его можно аппроксимировать куском прямой). Пусть струна однородна и её плотность равна . Запишем волновое уравнение как второй закон Ньютона. (т.к. в колебании нет переноса массы, то колебание идёт вдоль оси ).

.

На кусочек свободно колеблющейся струны действуют три силы: две со стороны других кусков и сила тяжести.

Если гитару положить плашмя на колени, то сила тяжести будет перпендикулярна колебаниям.  - силы со стороны других кусков равны по модулю. Тогда:

,

,

где  - длина колеблющегося кусочка струны. Пусть величина отклонения струны мала по сравнению с длиной всей струны. Тогда можно записать следующие выражения:

,

 - дифференциал длины дуги, т.к.  то  мала и .

В силу того предположения имеем, что угол  мал, откуда имеем:

.

Т.о. при подстановке имеем:

,

 - уравнение движения кусочка струны, откуда .

Будем считать, что оба конца струны зафиксированы, т.е. .

Попробуем найти решения имеющие вид стоячих волн:

Подставим эти выражения в волновое уравнение, тогда:

,

откуда имеем

.

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

Где  - константы интегрирования. Найдем их из начальных условий:

.

Т.к.  не равно нулю (т.к. тогда не будет никаких волн вообще), то имеем, что

.

Это означает, что  не может быть каким угодно, а они существуют только при определённых дискретных .

Запишем различные колебания при различных :

.

Т.о. общий вид подобного частного решения:

,

т.к. сумма частных решений тоже решение, то просуммируем подобные решения и посмотрим, что получится.

Зададим некоторое Н.У. .

 - сфотографировали при , это уравнение показывает начальное положение струны, её начальную форму.

 - скорость по  кусочка струны, показывает силу приложенную в начале.

Запишем начальные условия в следующем виде:

Где

Откуда

Т.е. зная  найдём .

Волновое уравнение имеет бесконечное множество решений. Ранее нами было получено волновое уравнение для стоячей волны.

Пусть функция  определяет форму струны в начальный момент времени. Итак, нам известны две функции

,

 где - фазовая скорость. Нам необходимо найти и .

Умножим слева и справа (1) на  и проинтегрируем от  до .

В правой части суммирование и интегрирование идет по разным переменным, поэтому можно преобразовать выражение.

Все интегралы  равны нулю кроме случая .

 аналогично можно найти и .

Теперь, зная  и , из системы  можно легко найти  и .

Пример: струну оттянули и отпустили, так что ее начальная форма имеет следующий вид:

 ,  при .

Функции  и  - линейные, причем

,

,

.

Теперь вычислим  Проинтегрировав по частям, получим . В нашем случае , , . Введем обозначения  и рассмотрим несколько первых членов .

 , , , , , , …

Теперь запишем общее решение:

Величины слагаемых убывают, как . Если струну оттянули слабо, то  мало, и можно ограничиться первым слагаемым: .

Мы видим, что  не зависит от . Это можно объяснить тем, что .

Электромагнитные волны.

Преобразуем уравнения Максвелла так, чтобы они приняли вид волнового уравнения. Запишем уравнения Максвелла в системе единиц СГСЕ

Рассмотрим случай, когда есть поле, но нет токов, и нет свободных зарядов. Пусть среда линейная и изотропная, тогда  и уравнения Максвелла теперь выглядят так:

Учитывая, что

 можно записать следующее соотношение:

Но с другой стороны

сравнивая эти два соотношения, видим, что .

Для вектора  можно провести те же самые рассуждения .

Итак, у нас получилось, что в пространстве, где нет токов, и нет свободных зарядов, может существовать волновое поле, даже в вакууме, где .

Из полученных нами волновых уравнений для векторов  и  видно, что фазовая скорость электромагнитной волны равна . В вакууме фазовая скорость равна . Получается, что поле может существовать в виде электромагнитной волны, даже когда нет ничего.

Двухпроводная линия.

Рассмотрим два близко лежащих параллельных провода. Будем считать, что проволоки абсолютно одинаковые. Пусть  – сопротивление единицы длины.  – индуктивность единицы длины,  – емкость единицы длины.

Рассмотри два сечения этой линии  и .

Будет явление самоиндукции, на конденсаторе будет накапливаться заряд, ток будет являться неквазистационарным.

Запишем изменение заряда конденсаторов  и  за время .

 – настолько мало, что приращение функции можно записать в дифференциальном виде.

Заряд меняется за время , поэтому  – линейная плотность заряда.

Фактически это уравнение непрерывности.

Линия обладает индуктивностью, возникает явление самоиндукции. Запишем закон Фарадея.

Пусть  – мало, проводная линия – хорошая.

Волновое уравнение:

.

Вектор Умова-Поинтинга.

Вектор Умова характеризует перенос энергии в упругой волне, постараемся ввести аналог для электромагнитной волны.

Рассмотрим кусок среды (магнетик, диэлектрик и проводник, но не ферромагнетик). Пусть течёт ток с некоторой плотностью тока , меняется индукция и магнитное поле: т.е. .

Пусть также кусочек мал настолько, что нигде нет зависимоти от координат.

Найдём работу при изменении тока, поляризованности, намагниченности и т.д.

.

Где  - это некоторая работа (пишем  - т.к. это функция процесса, а не состояния),  - индукция внешнего поля,  - поле в образце.

Пусть эта работа совершается за время , перейдём к мощности.

.

.

.

.

.

.

.

Но . Откуда:

.

Но т.к. все рассмотренные силы – внутренние для рассмотренного кусочка, то

.

 - плотность потока энергии электромагнитного поля. Данное выражение справедливо всегда, т.к. был рассмотрен общий случай.

В плоской электромагнитной волне  и , т.е. они образуют правую тройку векторов.

Формулы Френеля.

Параллельное падение.

Пусть волновой вектор падающей волны лежит в плоскости падения. Тогда волновые вектора отраженной и преломленной волн тоже лежат в плоскости падения.

Среда не магнитная, не проводящая, нет токов ампера и каких-либо других токов.

 

Возьмём плоско поляризованную волну. Пусть .

Т.к. нет ни токов, среда не проводящая и не магнетик, то граничные условия запишутся следующим образом (т.к. вектора  то ).

 - закон Снелиуса.

Тогда, введя обозначения аналогичные предыдущему случаю, имеем:

.

Откуда путём сложения или деления можно получить:

Аналогично предыдущему выражению имеем:

Эти формулы  - формулы Френеля.

Явления Брюстера.

Рассмотри отражённую волну в случае  и :

1) .

, тогда , а  - имеет конкретное значение. Т.е. по формуле Френеля отражённой волны не будет. Т.е. при некотором угле отражения, самого отражения не будет:

 - условия отсутствия отражения.

Явление исчезновения отражения – явление Брюстера.

2) Аналога для случая перпендикулярно подающей волны нет. Т.к. для этого необходимо чтобы либо , либо . Но в первом случае имеем , но это невозможно из условия задачи, а второй вариант невозможен в принципе, т.к. синус ограниченная функция.

Интерференция волн.

Пусть есть две электромагнитные волны, распространяющиеся и складывающиеся в пространстве.

Найдём результат их сложения. Рассмотрим конкретную точку пространства и найдём в ней результирующий вектор .  - по принципу суперпозиции.

Для нас важен квадрат модуля амплитуды суммарной волны, т.к. данная величина пропорциональна вектору Поинтинга.

.

Назовём квадрат модуля амплитуды плоской волны её интенсивностью. Тогда:

Т.е. результирующая интенсивность другая.

Сложение волн при котором суммарная интенсивность не равна сумме интенсивностей волн – явление интерференции.

Об интерференции мы говорим в том случае, когда интенсивность от суммы двух волн не равна сумме их интенсивностей.

Пусть распространяются две электромагнитные волны  и , и пусть эти волны приходят в рассматриваемую точку  с сонаправленными, или противоположно направленными векторами. Посмотрим, как будет выглядеть интерференция.

Пусть  

, .

Введем комплексную амплитуду , .

.

Если умножим  на комплексно – сопряженную амплитуду, то получим величину пропорциональную вектору Пойнтинга . , где , .

.

Усредним полученную интенсивность по времени:

Если интеграл  равен нулю, то  - никакой интерференции нет.

Рассмотрим несколько случаев

1) , ,

 - возникает интерференция.

2) величина  случайным образом зависит от времени. В этом случае среднее значение косинуса равно нулю  - интерференции нет.

3) величина  случайна, но распределена не равномерно, тогда  - возникает интерференция.

Важно заметить, что мы рассматривали не каждую фазу в отдельности, а их разность .

Если при некотором значении разности фаз интеграл , то волны называются абсолютно когерентные.

За счет перемещения точки наблюдения можно добиться любого значения величины , т.к. , .

Если волны абсолютно когерентные, то это значит, что разность их фаз всегда равна нулю, т.е. атомы «выплевывают» синусоиды одновременно и одинаковой длины.

Если при некотором значении разности фаз интеграл , то волны называются абсолютно некогерентные.

 

Оптическая разность хода.

Рассмотрим случай, когда две когерентные волны распространяются в разных средах. До того как эти волны придут в точку  «набежит» некоторая разность фаз . Если учесть, что в разных средах частоты колебаний у волн одинаковые, а волновые вектора различаются , где  - длина волны в вакууме,  и  - длины волн в средах. В последнем равенстве мы учли, что отношение длин волн в вакууме и в среде есть ни что иное, как показатель преломления среды. Величина  называется оптической разностью хода.

Принцип Гюйгенса-Френеля.

Каждый элемент поверхности, достигнутый в данный момент световой волной, является центром одной из элементарных волн, огибающая которых становится волновой поверхностью в следующий момент времени. При этом обратные элементарные волны во внимание не принимались.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, волновое возмущение в точке P, создаваемое источником P₀, можно рассматривать как результат интерференции вторичных элементарных волн, излучаемых каждым элементом dS некоторой волновой поверхности S с радиусом r₀. Амплитуда вторичных волн пропорциональна амплитуде первичной волны, приходящей в точку Q, площади элемента dS и убывает с возрастанием угла  между нормалью к поверхности S и направлением излучения вторичной волны на точку P. Амплитуда E_Q первичной волны в точке Q на поверхности S даётся выражением , где A - амплитуда волны на расстоянии единицы длины от источника, k - волновой вектор, - циклическая частота. Вклад в волновое возмущение в точке P, вносимый элементом поверхности dS, запишется в виде

где - расстояние от точки Q до P, - функция, описывающая зависимость амплитуды вторичных волн от угла . Полное поле в точке наблюдения P представляется интегралом

Если за элемент поверхности взять площадь кольца, вырезаемого из волнового фронта S двумя бесконечно близкими концентрическими сферами с центрами в точке наблюдения P, и выразить dS через приращение , то получим

Верхний предел интеграла R_max=R+2r₀. Функция теперь рассматривается как функция от . Точное вычисление невозможно без знания , однако Френель дал метод приближённого его вычисления, используя разбиение поверхности S на так называемые зоны Френеля. Вид функции в принципе Гюйгенса-Френеля остается неопределенным, но при . Множитель i означает, что фазы вторичных волн отличаются на от фазы первичной волны в точке Q. Получаем .

Зоны Френеля.

Участки, на которые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пространства. Метод зон Френеля используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса - Френеля принципом. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, действие источника  заменяют действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности, в качестве которой выбирают поверхность фронта сферической волны.

Эту поверхность разбивают на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краёв зоны до точки наблюдения отличались на /2. Построенные таким способом равновеликие участки поверхности называются зонами Френеля.

Радиус m-й зоны в случае дифракции на круглых отверстиях и экранах определяется следующим приближенным выражением (при m < < b)  где а и b - соответственно расстояния от источника и от точки наблюдения до отверстия (экрана).

Если есть источник сферических волн, и  - точка наблюдения, то амплитуду  электромагнитной волны в точке  можно вычислить по формуле .

Отверстие, из которого идет свет, мы измеряем в зонах Френеля. Пусть при наблюдении из точки , отверстие открывает  зон Френеля. Тогда амплитуда электромагнитных колебаний в точке  рвана сумме амплитуд колебаний, возбуждаемых в точке  каждой из зон Френеля в отдельности. Если учесть, что фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами Френеля, различаются на , амплитуду результирующего колебания в точке  можно представить в виде .

Слагаемые отличаются на множитель , который является плавно спадающей функцией, значит, не будет грубой ошибкой, если мы запишем равенство . Тогда .

Рассмотрим частный случай, когда все открыто (отверстие бесконечно большого радиуса). В этом случае .

.

 - амплитуда от одной зоны Френеля. Получается, что, когда все открыто, амплитуда в точке  в два раза меньше чем, если бы свет проходил через маленькую дырочку, совпадающую с первой зоной Френеля.

Когда нет препятствия, амплитуду в точке  мы можем посчитать двумя способами  и .

Приравняв их, мы найдем выражение для неизвестного коэффициента  для первой зоны Френеля.

Спираль Френеля.

Величины амплитуд  от зон Френеля уменьшаются с ростом номера зоны Френеля.

,

, …

Нарисуем это все на векторной диаграмме. Все фазы будем отсчитывать от некоторого начального (горизонтального) направления. Пусть с нулевой фазой приходит в точку  вона от центра I зоны Френеля. Теперь разобьем I зону Френеля на мелкие полоски, и будем считать, что от каждой полоски в точку  будут приходить волны с равной фазой.

Суммарный вектор от всей I зоны Френеля направлен вверх, т.к. . Разность фаз векторов от центра и от края I зоны Френеля равна . У любой зоны Френеля разность расстояний от краев зоны до точки  равна , следовательно, разность фаз векторов от краев зоны равна .

Векторная диаграмма от первой зоны Френеля имеет вид полуокружности (суммарный вектор направлен вверх). 

Векторная диаграмма от второй зоны Френеля имеет вид полуокружности (суммарный вектор направлен вниз). От третьей зоны вектор направлен вверх, и т.д. Амплитуды, создаваемые отдельными зонами уменьшаются с ростом номера зоны, поэтому длины суммарных векторов от каждой зоны на фазовой плоскости будут уменьшаться.

В пределе, при стремлении ширины кольцевых зон к нулю векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к точке .

Хорошо видно, почему, когда все открыто, амплитуда в точке  в два раза меньше чем, если бы свет проходил через маленькую дырочку, совпадающую с первой зоной Френеля.

Ниже изображены частные случаи:

1) Когда открыты две первые зоны Френеля, и когда открыты три первые зоны Френеля.

 

2) Когда экраном закрыта первая зона Френеля, и когда закрыты две первые зоны Френеля.

 

Получается, что чем больше экран, тем меньше интенсивность в точке , но совсем темно будет только в случае, когда экран бесконечно большой.

Если экран будет представлять собой чередующиеся темные и светлые кольца (фазовые пластинки), шириной в зоны

Френеля, будут складываться только сонаправленные вектора. Таким образом, интенсивность в точке  получается очень высокая. Этот экран будет работать как линза – будет собирать свет в точке .

Еще большего эффекта можно добиться, если мы не будем закрывать четные или нечетные зоны Френеля, а сделаем эти зоны толще – создадим оптическую разность хода, равную половине длины воны. Тогда пластинка будет суммировать все вектора. Зонные пластинки, у которых не закрыты, а утолщены зоны Френеля, называются фазовые пластинки. Это единственный способ делать «линзы» для рентгеновских волн, т.к. коэффициент преломления для рентгеновских волн с точностью до четвертого знака равен единице.

Метод Френеля удобен для расчетов, но его можно применять лишь в случае, когда задача обладает определенной симметрией.

Размеры зон Френеля.

Пусть есть круглое отверстие, пропускающее свет от точечного источника. И мы хотим узнать, сколько в этой дырочке помещается зон Френеля. Пусть в точке  находится точечный источник света. Точка  - точка наблюдения. Из точки  и точки  проводим сферы через края этой дырочки.

Чтобы узнать число открытых зон Френеля мы должны найти разность расстояний  и поделить на половину длины волны. Из построения видно, что мы должны  поделить на .

Аналогично для .

Вернемся к спирали Френеля. . Меняем  (экран можно передвигать).  увеличиваем, количество зон Френеля уменьшается, уменьшаем , количество зон Френеля увеличивается. Максимум будет, когда открыта одна зона Френеля.

Минимум, когда две зоны Френеля, максимум, когда три зоны и т.д.

Запишем условия максимумов.

Дифракционная решетка.

Дифракционная решетка – это спектральный прибор для изучения спектрального состава света. Она представляет собой совокупность большого числа параллельных щелей в непрозрачном экране или отражающих полосок (штрихов), расположенных параллельно друг другу на одинаковом расстоянии.

 - ширина одной щели;

 - расстояние между центрами щелей – период решетки (число штрихов на 1 мм);

 - общее число щелей.

Пусть падающая волна монохроматическая, и ее падение нормальное. Положение точки наблюдения  на экране описывается углом дифракции . Чтобы рассчитать интенсивность в точке , надо просуммировать интенсивности от всех щелей.

Комплексная амплитуда от 1-ой щели, в предположении, что фаза колебаний от центра 1-ой щели в точке  равна нулю, запишется так , где .

Если за начало отсчета фазы взять фазу колебаний, приходящую от центра 1-ой щели в точку , то амплитуда от n-ой щели запишется так , где .

Полная амплитуда: .

,

.

Здесь , Согласно формулам Эйлера .

 - фазовый множитель,

 - щелевой параметр (щелевой фактор),

 - решетчатый фактор.

Зависимость интенсивности в точке  от ее расположения следующая

Посчитаем интенсивность в центре, для этого раскроем неопределенность вида  по правилу Лапиталя .

Интенсивность равна нулю, когда щелевой множитель равен нулю

.

Побочные минимумы возникают, когда решетчатый фактор равен нулю

.

Условие главных максимумов: .

Между двумя главными максимумами существуют очень маленькие побочные максимумы. Между главными максимумами их

Для одной щели:

.

Щелевой график.

Нулевой максимум: .

Пусть .

Нули функции .

Побочных максимумов – .

С увеличением  главные максимумы растут, и побочных становится все больше и больше, их ширина становиться все уже и уже, высота все меньше и меньше.

Дифракционную решетку можно сделать и так.

Чем шире щель, тем уже график, чем уже щель, тем шире график.

Шпаргалка по физике за 4 семестр

Гармонические колебания.

Рассмотрим движение частицы в некотором однородном поле. Будем задавать его (поле) не силами, а потенциальной энергией (т.е. силы консервативны). Пусть диссипативных сил нет. Рассмотрим следующий вид зависимости потенциальной энергии от координаты.

Пусть минимум потенциальной энергии в точке (0, 0). Такое поле – потенциальная яма.

Пусть в некоторый момент времени, когда точка была в нуле, телу сообщили кинетическую энергию , т.к. нет диссипативных сил, то полная механическая энергия постоянна и равна . В точке , частица имеет потенциальную энергию, определяющейся точкой на графике. При движении по оси  будет расти потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая, и в некоторой точке  потенциальная энергия станет равна  а кинетическая станет равна нулю.

Частица совершает непрерывные движения в ограниченной области пространства повторяя свою траекторию – это колебательное движение.

Пусть колебания малые. Разложим  в ряд Тейлора вблизи ноля:

Допустим, что колебания настолько малы, что мы с достаточной погрешностью можем ограничиться квадратичным слагаемым. Тогда:

, где .

Т.о. если энергия мала, то низ ямы можно представить как параболу.

; ;

;   .

Мы рассмотрели как описывать механические движения в потенциальной яме. Если колебания на столько маленькие, что «дно ямы» можно описать параболой, то колебания описываются формулой , аналогично могут описываться и большие колебания, при условии, что яма параболическая.

Рассмотрим параболическую яму или самое донышко любой другой.

Итак, зависимость потенциальной энергии тела от координаты имеет вид . Найдем зависимость силы, действующей на тело, от его координаты: . Заметим, что эта сила линейна.

 

 

Решим дифференциальное уравнение , описывающее движение в параболической яме.

 

,  - в общем случае произвольные комплексные числа. Поскольку  - действительная величина, то всегда выполняется соотношение , а значит  это тождество верно для любого момента времени .

Если , .

Пусть , , где  - некоторые произвольные действительные числа.

Запишем решения в другом виде .

Запишем комплексные числа в тригонометрическом виде

распишем косинус суммы ,

где , .

Все, что колеблется по такому закону называется «гармонические колебания»  

Величина  называется амплитудой гармонических колебаний,

 - фаза гармонических колебаний – величина, зависящая от времени. - начальная фаза.

Если координата записывается , то скорость и ускорение записываются соответственно , .

Найдем такое время , через которое повторится, т.е. выполняется равенство . , , , где

 величина  называется периодом колебаний. Периодов много, но можно рассматривать наименьший .

 - круговая (циклическая) частота колебаний .

 - называется «просто» частота колебаний. .

Энергия колебаний.

Энергия осциллирует и всегда положительна.

.

Полная энергия не зависит от времени – сохраняется.  - произвольные постоянные в общем решении дифференциального уравнения, их можно найти из начальных условий.

Н.р. ,

 решив эту систему, найдем , зная  и , , .

Сложение колебаний

Представим, что шарик движется в двух полях, н.р. заряженный математический маятник рядом с которым симметрично расположены заряды одинакового знака. Шарик движется финитно. В этом случае шарик не обязательно будет совершать гармонические колебания, даже если обе ямы параболические. Процесс нахождения результирующего колебания называется сложение колебаний. Суммарное колебание зависит от характера колебаний. До этого мы рассматривали колебания скалярной величины, но может колебаться и вектор, а скаляр – это его проекция. Суммарное колебание зависит от  - одинаковая она или разная.

Пусть отдельно уравнения колебаний для гравитационного и кулоновского поля имеют вид  

 - одинаковые, но разные начальные фазы колебаний.

Итак, сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой  есть гармонические колебания.

Посмотрим, как складываются гармонические колебания с разными частотами.

Разберем частный случай:  и  чуть-чуть отличаются друг от друга. Пусть амплитуды и начальные фазы колебаний одинаковы.  

 

при .

Точная настройка двух струн на гитаре означает, что мы стремим , , т.е. .

Если гитара расстроена, то  - значительно, и две струны, расположенные рядом, издают звук похожий на «ау-ау» с периодом .

Результат сложения двух близких по частоте колебаний называется биение. Если частоты хотя бы немного различаются, то колебания становятся не гармоническими (биения).

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: