Основы теории подобия. Три теоремы подобия. Моделирование

Модель – естественный или искусственный объект, находящий- ся в соответствии с изучаемым объектом (натурой) или с какой-либо из его сторон.

Моделирование – метод получения информации об объекте в результате исследования модели, которая находится с ним в некото- ром объективном соответствии и способна на отдельных этапах ис- следования представлять в определенном отношении изучаемый объ- ект. Позволяет изучить качественные и количественные свойства яв- лений одинаковой (физическая модель) и различной физической при- роды (математическая модель).

Учение о подобии и моделировании появилось более четырех- сот лет назад. В середине XV века обоснованием методов моделиро- вания занимался Леонардо да Винчи. «Говорят, – пишет он, – что ма- ленькие модели ни в одном своем действии не соответствуют эффекту больших. Здесь я намерен показать, что это заключение ложно...» [15]. Далее он пытается вывести общие аналитические закономерности и приводит многочисленные примеры. Так, рассматривая бурение дере- ва, он устанавливает соотношения между площадью, силой и количе- ством дерева, удаляемого бурами разных размеров. Не различая до- статочно механического и геометрического подобия, Леонардо в сво- их работах не получает общих законов подобия, но тем не менее дела- ет серьезные шаги в направлении их создания. Одновременно он пользуется и аналогиями: «Напиши о плавании под водой и получишь летание птицы по воздуху», — рекомендует он, при этом обращая внимание на необходимость проверки: «...движется ли конец крыла птицы так же, как и рука пловца». В этих далеко по времени отстоя- щих от нас работах ставится актуальный и сегодня вопрос о соотно-

шении опыта и теории, о необходимости проверки и обобщении ре- зультатов опыта и его роли в познании.

В связи с созданием различных конструкций и их моделирова- нием вопросы подобия часто возникали в XVI – XVII вв. Галилей в своем сочинении «Разговоры о двух новых науках» писал, что учению о подобии стали уделять много внимания в XVII в., когда в Венеции стали сооружать галеры, имевшие большие, чем раньше, размеры. Подпорки, выбранные исходя из геометрического подобия, оказались непрочными, и их размеры пришлось корректировать на основе физи- ческих соотношений. «Прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел», – констатиро- вал Галилей [16]. Мариотт в 1679 г. в трактате о соударяющихся телах занимался вопросами теории механического подобия, развивая идеи Леонардо и Галилея.

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого понятия были даны применительно к механическому движению в конце XVII в. Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии». В этой работе рассматриваются движения материальных тел и устанавливаются законы их подобия. Прямая теорема подобия и основные положения подобия, сформули- рованные Ньютоном, заложили основы современного учения о подо- бии, указав свойства подобных механических систем и критерии, ха- рактеризующие движение систем, подобие которых обеспечено (пер- вая теорема подобия). Ньютон открыл пути применения подобия и моделирования для обоснования теоретических положений. Работы Ньютона по теории подобия и моделирования долгое время не полу- чали дальнейшего развития и не находили практического применения, хотя в начале XVIII в. во Франции и других странах ставились много- численные опыты на моделях арок и проверялись различные гипотезы работы их свода.

Одним из первых теоретически обоснованно применил статиче- ское подобие при разработке проекта арочного моста через Неву про- летом 300 м известный русский изобретатель И. П. Кулибин. Свои ис- следования он проводил на деревянных моделях в 1/10 натуральной величины весом свыше 5 т (модели эти были построены и испытаны в 1775 – 1776 гг. в Петербурге). В них было впервые учтено, что изме- нение линейных размеров в к раз меняет собственный вес в к' раз, а площади поперечных сечений элементов – в к² раз. И. П. Кулибин установил, что модели в к натуральной величины имеют напряжения от собственного веса в к раз меньше, чем напряжения в оригинале. Обеспечение полного подобия влияния собственного веса в модели возможно при некой дополнительной нагрузке. Действующая на мост полезная нагрузка должна быть в к² раз меньше. Эти положения И. П. Кулибина об условиях подобия были проверены и одобрены Л. Эйлером. Предложенный И. П. Кулибиным метод моделирования собственного веса конструкции соответствует современному способу

«догрузки» моделей в центрифугах. В дальнейшем появление новых материалов и конструкций потребовало более точных ответов на мно- гие вопросы, связанные с применением моделей в инженерной прак- тике, и теория подобия получила дальнейшее развитие.

В 1822 г. появилась работа Фурье «Аналитическая теория теп- лопроводности», в которой было показано, что члены уравнений, опи- сывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размер- ность. Это свойство получило название правила Фурье, или правила размерной однородности уравнений математической физики. В 1848 г. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований, установил наиболее общие свойства подобных механических движений и указал способы осуществления подобия сложного механического движения, четко сформулировав положение о наличии критериев подобия. Вско- ре появился ряд работ, посвященных приложению теории подобия к

различным механическим явлениям. Так, Коши вывел законы звуко- вых явлений в геометрически подобных телах из уравнений движений упругих тел; Гельмгольц получил условия подобия гидродинамиче- ских явлений; Филлипс распространил законы колебаний мостов на случай динамической нагрузки.

В 1874 г. В. Л. Кирпичев опубликовал первую работу, посвя- щенную исследованию упругих явлений в геометрически подобных телах, а несколько позднее сформулировал условия подобия упругих тел (обратная теорема подобия). В 1878 г. Бертран показал, что, поль- зуясь правилом размерной однородности физических уравнений, можно находить математические зависимости между физическими величинами и в тех случаях, когда уравнения связи между этими ве- личинами неизвестны. Математическая зависимость между такими величинами должна быть зависимостью между безразмерными ком- плексами, составленными из указанных величин. Бертран показал, что такие зависимости, полученные для частных случаев, распространя- ются на группы подобных явлений. Ряд работ, посвященных законам подобия, опубликовал В. Л. Кирпичев, который на основе анализа дифференциальных уравнений установил закон механического подо- бия при упругих деформациях. Он детально рассмотрел вопросы уче- та собственного веса конструкций, сил инерции и сформулировал правила моделирования, пригодные в артиллерийском деле и строи- тельстве.

Методы моделирования далеко не сразу получили признание. Как правило, они встречались сначала недоверием. Поучительным ис- торическим примером недооценки роли моделирования может слу- жить гибель броненосца «Кэптен», построенного в 1870 г. В то время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали теорию мо- делирования кораблей, которая в последствии была существенно раз- вита в России академиком А. Н. Крыловым. На основе экспериментов

на моделях теория происходящих явлений уточнялась и давала пол- ную картину поведения «натуры». Исследования модели показали, что броненосец должен опрокинуться даже при небольшом волнении. Специалисты Адмиралтейства не сочли моделирование серьезным до- казательством. При выходе в море «Кэптен» перевернулся и 523 мо- ряка погибли. Мемориальная доска, установленная в Лондоне, симво- лизирует осуждение лордов Адмиралтейства, не поверивших ученым и их опытам с «игрушечной моделью».

Не столь трагичная, но неприятная ошибка, совершенная в наше время, потребовала смены всех окон нового 60-этажного здания в г. Бостоне (США) и обошлась в 7 млн. долл. Как надо переделать ок- на, указали тщательные испытания модели здания в аэродинамиче- ской трубе, выявившие особенности ветровых нагрузок на стены и указавшие, как исправить просчет проектировщиков, своевременно не прибегших к моделированию.

Методы моделирования давно применяются во многих областях техники. Их применил при сооружении железнодорожных мостов Д. И. Журавский. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы и все раскосы и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размера. Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподоб- ными и были проверены на модели из металлической проволоки. При проведении проводя смычком от скрипки по проволокам модели, рас- положенным вблизи опоры фермы, получается более высокий тон, чем на проволоках, расположенных в середине. Из чего следует, что первые нужно натянуть значительно сильнее вторых.

Моделирование широко применялось в строительстве и артил- лерии (В. Л. Кирпичев), а далее - при изучении работы самых различ- ных технических установок, гидравлических сооружений, строитель- ных конструкций. На моделях стали изучать течение водных потоков,

различные гидродинамические явления, происходящие при мощных взрывах, и даже явления, происходящие при землетрясениях (имити- руя с помощью специальной вибрационной платформы колебания земной поверхности). При этом для отработки антисейсмичности кон- струкций модель иногда имеет далеко не маленькие размеры: площадь ее достигает 20 м², а вес конструкции доходит до 30 т.

В настоящее время, когда компьютерная техника обладает огромным быстродействием и памятью, математическое моделирова- ние получило мощный инструмент. Появилась возможность решать многие недоступные ранее задачи. Математическая цифровая модель может выдавать информацию человеку в самой различной форме: в виде таблиц, графиков, объемных изображений. Область применения математически формализованных моделей все время расширяется: в экономике, биологии, медицине, исторических и других обществен- ных науках, т. е. в самых разнообразных областях.

За последние 50 лет все крупные сооружения исследовались на моделях. Например, гидроэнергетические объекты (плотины, каналы, гидротурбины для таких станций, как Волжская ГЭС им. В. И. Лени- на, Волгоградская ГЭС, Братская ГЭС, Красноярская ГЭС, Асуанская ГЭС в АРЕ и др.) исследовались на физических моделях, изображаю- щих в уменьшенном масштабе эти грандиозные сооружения. Большое значение для сооружения электрических систем и дальних электропе- редач имели исследования их режимов на физических моделях, созда- ваемых в стадии проектирования и позволяющих проверить теорети- ческие положения, лежащие в основе расчетов, и действие различных регулирующих устройств, аппаратуры, релейной защиты и т. д. При создании и совершенствовании межконтинентальных и космических ракет на физических моделях успешно проводились исследования аэродинамических свойств ракет, влияния ионизации воздуха впереди головной части ракеты и т. д.

Широко распространенные специальные модели, обычно вы- полняемые в виде сочетания физической и математической моделей с натурными приборами, стали применяться для наладки приборов управления и тренировки персонала, управляющего различными сложными объектами. В первом случае эти модели стали называться испытательными стендами, а во втором – тренажерами. Тренажеры применяются для обучения различного эксплуатационного персонала; особое значение они имеют при подготовке летчиков, подводников, космонавтов.

Обычно приборы и органы управления в тренажерах сохраня- ются нормальными, применяемыми в практике. Воздействие на эти приборы преобразуется в импульсы, моделирующие поведение управ- ляемого объекта. Например, тренажеры для летчиков воспроизводят у обучаемого все физические ощущения, связанные с полетом в любом направлении, подъемом, спуском.

В последнее время особое значение приобрело моделирование биологических и физиологических процессов. Так, создаются протезы тех или иных органов человека, управляемые биотоками. Разрабаты- ваются установки, моделирующие условия, необходимые для разви- тия живых тканей и организмов.

Моделирование требует объективного соответствия изучаемому объекту и возможности замещения его не всегда и во всем, а только на определенных этапах исследования. Модель, какой бы она ни была, должна обладать способностью в ходе исследования давать некото- рую допускающую проверку информацию. Моделирование требует формулировки некоторых правил перевода информации, полученной при изучении на модели, в информацию о самом моделируемом объ- екте. Эти правила в конечном счете ведут к требованию соответствия математических соотношений (критериев подобия) у модели и ори- гинала.

При моделировании необходимо знать соотношения, устанавли- вающие условия перехода от моделей к исследуемому объекту. Такие соотношения называют критериями подобия или масштабами.

Различают геометрическое, афинное и конформное подобие материальных систем [15].

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: