Выбор основных факторов и их уровней

Планированию эксперимента должен предшествовать этап неформализованных решений – выбора области экспериментирования (области планирования), т .е. области факторного пространства, изучение которой представляет интерес для исследователя. Границы этой области по каждому фактору X_i обусловлены его минимальным и максимальным значениями, т. е. .

В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду.

Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента для удобства обработки и интерпретации результатов используют кодирование факторов.

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 5.4), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами  (центр эксперимента, на рис. 5.4 – точка 0´), где .

Рис. 5.4. Пример области планирования для двух факторов

Кроме того, интервал варьирования факторов  разбивается на ряд уровней, симметричных относительно центра эксперимента. В случае составления симметричных двухуровневых планов все k факторов изменяются на двух уровнях. Для количественных факторов связь между физическими (X_i) и кодированными (x_i) значениями факторов определяется соотношением .

Область планирования для случая учета двух факторов (X₁ и X₂) изображена на рис. 5.4. Граница совместимости факторов указана на рис. 5.4 в виде кривой линии.

При трех факторах такая область представляет собой параллелепипед. При большем числе факторов она ограничивается гиперплоскостями в n-мерном пространстве.

Если фактор изменяется дискретно, например он является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до –1. Так при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д. В теории планирования экспериментов показано, что минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения.

Описанные преобразования являются линейными, поэтому в аппроксимирующей функции изменяются только коэффициенты при факторах. Например, рассмотренные выше регрессионные зависимости будут иметь вид Y_р = b₀ + b₁x, при k = 2 Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₁x₂. Квадратичная зависимость при k = 1 Y_р = b₀ + b₁x + b₂x². При этом справедливо равенство Y = f (X₁,…, X_i,…, X_n) = f(x₁,… x_i,…, х_n).

Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента b_i. Для полинома в именованных факторах величина коэффициента a_i еще не говорит однозначно о степени влияния этого фактора или их сочетаний на функцию отклика.

 

Планы эксперимента

Для получения исчерпывающей информации о свойствах функции отклика в принципе необходимо проведение бесконечного числа опытов во всех точках области планирования эксперимента. В противном случае всегда существует теоретическая возможность пропустить некоторую особенность поверхности отклика. Указанную разновидность эксперимента можно назвать экспериментом с полным перебором всех входных состояний. Такой эксперимент носит число умозрительный, гипотетический характер и нереализуем на практике. Если для однофакторного случая можно еще представить себе некий эксперимент, в какой-то степени близкий к полному перебору, когда экспериментатор, постепенно уменьшая или увеличивая значение фактора, непрерывно следит за откликом, то в случае, когда число факторов больше одного, подобный эксперимент уже становится принципиально нереализуем. Экспериментатор просто вынужден задаться дискретной сеткой значений факторов, выбрать какое-то фиксированное число уровней каждого фактора. В теории планирования эксперимента сознательно отказываются от полного перебора входных состояний или эксперимента близкого к нему по своей конструкции. Выбор числа уровней варьирования по каждому фактору непосредственно связывается с выбором вида функции отклика или точнее с выбором вида ее аппроксимации.

Теория планирования эксперимента рекомендует, как правило, начинать с простейшей модели (например, с линейной модели, если нет информации о свойствах объекта или есть информация, что объект не обладает ярко выраженными нелинейными свойствами, или с квадратичной модели, если известно, что функция отклика, по всей видимости, нелинейна).

Логика экспериментирования здесь такова: постановка небольшого числа опытов для получения простейшей модели, проверка ее пригодности; если модель удовлетворяет исследователя, эксперимент заканчивается. Если же модель не пригодна, необходим следующий цикл экспериментирования: постановка новых (дополнительных опытов), позволяющих получить более сложную модель, ее проверка и т.д. до тех пор, пока не будет получена модель, которую исследователь признает достаточно хорошей

Если обратиться к наиболее распространенным полиномиальным моделям, то подобная логика означает, что исследователь обычно начинает с построения простейшей линейной модели, для чего достаточно варьировать каждый фактор всего на двух уровнях. Затем, в случае неудачи, он переходит к построению квадратичных моделей; для этого нужно минимум три уровня варьирования по каждому фактору. Обычно исследователь довольно быстро определяет подходящую модель и экономит значительное число опытов по сравнению с вариантом, когда сразу ищется модель максимальной сложности. Согласно этой концепции при проведении эксперимента необходимо использовать последовательную, шаговую стратегию. После каждого шага производится анализ результатов, затем принимается решение о дальнейшей деятельности.

Таким образом, прежде чем приступить к составлению плана, нужно определить регрессионную модель объекта исследования, поскольку план и модель неразрывно связанные понятия. В настоящее время изданы каталоги планов эксперимента, в которых приводятся сравнительная оценка планов и рекомендации по их выбору применительно к конкретным условиям эксперимента. Одну и ту же задачу, как правило, можно решать с помощью различных планов эксперимента. Это значит, что при разных планах параметры модели и предсказанные значения отклика будут оцениваться с разной точностью.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Матрица плана – стандартная форма записи условий проведения эксперимента в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, а столбцы факторам; размер матрицы плана N×k. ки; (i, j)-й элемент матрицы плана равен уровню i-го фактора в j-м опыте. Пример матрицы плана в табличном виде приведен в правой части таблицы 5.1.

Составить план эксперимента – значит определить, какое значение должен принимать каждый из факторов в каждом опыте. Точка плана – упорядоченная совокупность численных значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта, точка факторного пространства, в которой проводится эксперимент.

При нестабильных условиях эксперимента последовательность опытов должна быть случайной. Это позволяет в определенной мере скомпенсировать влияние различного рода помех. Процесс организации случайной последовательности опытов называется рандомизацией. Тем самым обеспечивается представительность полученной выборки, т.е. гарантируется возможность с помощью измерения свойств конечного набора элементов из совокупности высказать обоснованное суждение о свойствах всей совокупности в целом. При проведении различного рода экспериментов принцип рандомизации предусматривает случайный порядок реализации строк матрицы плана.

В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения. Например, для k = 2.

.

Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов. Например, для k = 2.

.

Рекомендации по выбору планов эксперимента можно найти в справочной литературе*.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: