Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее функцию  и ее производную  или дифференциал :

                             (3)     

 

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде

                         (4)

где  - некоторая функция двух переменных или, по-другому, правая часть уравнения (4).

Обозначим через  множество точек плоскости Оху, на котором функция  определена, дополнительно предполагая, что множество  является открытым. Напомним, что множество называется   открытым , если вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторую окрестность этой точки.

Геометрический смысл уравнения (4) состоит в следующем. Производная функции  представляет угловой коэффициент, тангенс угла наклона касательной к кривой  в точке с абсциссой х. Следовательно, уравнение (4) каждой точке  плоскости Оху сопоставляет направление    касательной к интегральной кривой , проходящей через эту точку. Говорят также, что уравнение (4) задает поле направлений в области G (см. рис. 1).

Рис. 1

Решить уравнение (4) — значит найти семейство кривых, отвечающих заданному полю направлений.

 

Перейдем теперь к теореме существования и единственности решения, играющей важную роль при описании решений дифференциального уравнения. При формулировке этой теоремы нам потребуются некоторые понятия теории функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении (4) функция   и ее частная производная  непрерывны на открытом множестве G координатной плоскости O ху.  Тогда:

1.    Для всякой точки   множества G найдется решение   уравнения (4), удовлетворяющее условию   

2.   Если два решения   и   уравнения (4) совпадают хотя бы для одного значения ,  т.е. если , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х,  для которых они определены.

 

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку  множества   G   проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (4) (см. рис. 2).

Рис. 2.

 

Приведем пример использования теоремы о существовании и единственности решения.

Пример. Решить уравнение

                                   (5)

Решение.  В данном случае   ,   определены и непрерывны при любых  х и у, и, следовательно, условия теоремы выполнены на всей плоскости  Оху.

Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся и том, что каждая функция вида

                               (6)

где  С - некоторое число,  является решением уравнения (5). Покажем, что все решения уравнения (5) имеют такой вид при некотором значении постоянной С.

Пусть  - некоторое решение уравнения (5),   - точка, в которой это решение определено, и . Положим .  Тогда решения

и      

уравнения (5) совпадают при , а потому, согласно п.2 теоремы, полностью совпадают.

Приведем пример уравнения, для которого не выполняется условие единственности решения, т.е. существует такая точка плоскости Оху, через которую проходит более одной интегральной кривой. Пусть

Проверяем непосредственно, что  и  - решения данного уравнения, проходящие через начало координат (см. рис. 3).

Рис. 3

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: