Теорема 1 (Критерій Коші збіжності НІ 1-го роду)

НІ (1) збігається тоді і тільки тоді, коли для "e>0 $y₀(e)³0 :

f(x)³0 "xÎ[a, +¥), тоді F(y) монотонно зростає на [a, +¥).

Теорема 2

Нехай f(x)³0 "xÎ[a, +¥). Тоді для збіжності НІ 1-го роду необхідно і достатньо, щоб виконувалось:

Теорема: (рівносильні ознаки збіжності)

Якщо , то наступні умови еквівалентні:

1)

2)

3) послідовність збіжна

4) ряд -збіжн.

Теорема (практична ознака збіжності)

Якщо то розбіг

Теорема 3 (Ознака Абеля збіжності НІ 1-го роду)

Нехай:

а) - збігається;

б) функція g – монотонна та обмежена на [a, +¥).

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Теорема 4 (Ознака Діріхле збіжності НІ 1-го роду)

Нехай:

а) функція f –інтегрована за Ріманом на [a, +¥)

б) функція g – монотонна на [a, +¥) та .

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Д. Запишимо критерій Коші

 за ознакою Абеля

за критерієм Коші

за даною теоремою  доведено.

Нехай a, b – дійсні числа, -¥<a<b£+¥

Визначимо функцію f: f:[a, b)®R, |f(x)|®+¥, x®b-0 (b – особлива точка). f – інтегрована за Ріманом на [a, b). Тоді визначимо функцію F:

F: [a, b)®R     (3)

- невласний інтеграл (НІ) 2-го роду на [a, b).

Розглянемо ліміт функції F:

(4)

Якщо цей ліміт існує, то НІ (3) збігається.

Аналогічно вірне наступне:

f: (a, b]®R, "yÎ(a, b] fÎÂ([y, b])

Якщо границі (4) не існує, то інтеграл розбігається.

Теорема 5 (Ознака Коші збіжності НІ 2-го роду)

НІ (3) збігається тоді і тільки тоді, коли для "e>0 $d(e)>0:

виконується для

f(x)³0 "xÎ[a, b), тоді F(y) монотонно зростає на [a, b).

Теорема 6

Нехай f(x)³0 "xÎ[a, b). Тоді для збіжності НІ 2-го роду необхідно і достатньо, щоб виконувалось:

Теорема 7 (Ознака Абеля збіжності НІ 2-го роду)

Нехай:

а) - збігається;

б) функція g – монотонна та обмежена на [a, b).

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Теорема 8 (Ознака Діріхле збіжності НІ 2-го роду)

Нехай:

а) функція f –інтегрована за Ріманом на [a, b)

б) функція g – монотонна на [a, b) та .

Тоді невласний інтеграл - збігається.

Теорема (практична ознака збіжності )

15. Невласні інтеграли, залежні від параметра. Ознака рівномірної збіжності.

Нехай aÎR,YÌR,f:[a, +¥),x:Y®R, f(x,y)ÎÂ([a, A]) "A>a, "ÎY

Тоді I: Y®R,  (1) - невласний інтеграл 1-го роду, залежний від параметра.

Розглянемо границю:

Якщо ця границя існує, то інтеграл (1) збігається. Якщо ж границі не існує, то інтеграл – розбігається.

Означення 1.

НІ (1) – рівномірно-збіжний, якщо:

(2)

(3)

Теорема 1 (необх. і дост. умова рівномірної збіжності НІ)

НІ (1) рівномірно збігається на Y тоді і тільки тоді, коли для "{h_n}, що визначається умовою (2), F_n, визначена в (3), рівномірно збігається до I при n®¥.

Ця теорема напряму слідує з означення рівномірної збіжності.

Розглянемо ряд функцій:

(4)

Теорема 2.

НІ (1) збігається рівномірно на Y тоді і тільки тоді, коли збігається рівномірно на Y ряд (4), для довільної {h_n}, що задовольняє умові (2).

Дов Очевидно з побудови ряду , границя  при  дорівнює інтегралу. Тобто будуть виконуатися усі умови означення.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: