Законы классической механики Галилея – Ньютона.

Динамика

 Предмет динамики.

Динамика изучает механическое движение материальных тел под действием приложенных сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как неизменяемую систему материальных точек. Расстояние между точками остаются постоянными.

Силы, действующие на материальные тела, могут быть постоянными или переменными. Постоянной можно считать силу тяжести. Переменные силы могут зависеть от времени, от положения тела или от его скорости. В частности, сила упругости зависит от положения груза, сила сопротивления зависит от скорости. От времени зависит сила тяги электровоза при постепенном включении реостата. На тело одновременно может действовать несколько разных сил. Так, при возвращении на землю космического аппарата на него действуют: постоянная сила тяжести, сила сопротивления, зависящая от скорости, сила тяготения, зависящая от положения тела. Законы сложения или приведения переменных сил такие же, как и постоянных сил.

Движение материальных объектов рассматривается по отношению к определенной системе отсчета. Систему отсчета, связанную с землей, называют инерциальной. В такой системе соблюдается основной закон динамики:

,

где m-масса точки,

- ускорение точки.

Масса – это мера инертности. Она не зависит от природы силы, приложенной к точке. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость.

Материальная точка является свободной, если на нее не наложены связи. Движение такой точки зависит от действующих на нее активных (заданных) сил и начальных условий. Если на точку наложены какие-либо связи, то ее движение зависит от активных сил и реакций связей.

Множество частных задач динамики можно свести к двум основным задачам:

1. по заданному движению материальной точки или системы определить силы, действующие на точку или систему – прямая задача динамики;

2. по заданным силам, действующим на точку или систему, определить закон движения этой системы – обратная задача.

 

Задачи динамики

Первая (прямая) задача динамики. По заданному движению, совершаемому точкой данной массы, требуется найти неизвестную действующую силу.

Вторая (обратная) задача динамики. По заданным силам, действующим на точку данной массы, и заданным начальным условиям движения требуется найти закон движения точки.

Это — основные (классические) задачи динамики точки, сформулированные самим основоположником динамики И. Ньютоном. С последующим развитием динамики появились новые задачи, сочетающие в себе черты обеих названных задач. Например, при несвободном движении точки реакции связей заранее неизвестны, и вторая задача приобретает смешанный характер — требуется найти как закон движения точки, так и реакции связей. Появились задачи об оптимальном движении, о движении точки с переменной массой и много других задач, тесно связанных с потребностями развивающейся техники.

Основным математическим инструментом для решения задач динамики точки служат основное уравнение динамики и вытекающие из него дифференциальные уравнения движения.

 

Динамика точки

Сила тяжести.

Сила тяжести - это сила, с которой тело притягивается к Земле вследствие Всемирного тяготения. Сила тяжести заставляет все тела, на которые не действуют другие силы, двигаться вниз с ускорением свободного падения, g. Все тела во Вселенной притягиваются друг к другу, причем, чем больше их массы и чем ближе они расположены, тем притяжение сильнее. Чтобы вычислить силу тяжести, следует массу тела умножить на коэффициент, обозначаемый буквой g, приближенно равный 9,8Н/кг. Таким образом, сила тяжести рассчитывается по формуле F = mg.

Сила тяжести приблизительно равна силе гравитационного притяжения к Земле (различие между силой тяжести и гравитационной силой обусловлено тем, что система отсчета, связанная с Землей, не вполне инерциальная).

Динамика

 Предмет динамики.

Динамика изучает механическое движение материальных тел под действием приложенных сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как неизменяемую систему материальных точек. Расстояние между точками остаются постоянными.

Силы, действующие на материальные тела, могут быть постоянными или переменными. Постоянной можно считать силу тяжести. Переменные силы могут зависеть от времени, от положения тела или от его скорости. В частности, сила упругости зависит от положения груза, сила сопротивления зависит от скорости. От времени зависит сила тяги электровоза при постепенном включении реостата. На тело одновременно может действовать несколько разных сил. Так, при возвращении на землю космического аппарата на него действуют: постоянная сила тяжести, сила сопротивления, зависящая от скорости, сила тяготения, зависящая от положения тела. Законы сложения или приведения переменных сил такие же, как и постоянных сил.

Движение материальных объектов рассматривается по отношению к определенной системе отсчета. Систему отсчета, связанную с землей, называют инерциальной. В такой системе соблюдается основной закон динамики:

,

где m-масса точки,

- ускорение точки.

Масса – это мера инертности. Она не зависит от природы силы, приложенной к точке. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость.

Материальная точка является свободной, если на нее не наложены связи. Движение такой точки зависит от действующих на нее активных (заданных) сил и начальных условий. Если на точку наложены какие-либо связи, то ее движение зависит от активных сил и реакций связей.

Множество частных задач динамики можно свести к двум основным задачам:

1. по заданному движению материальной точки или системы определить силы, действующие на точку или систему – прямая задача динамики;

2. по заданным силам, действующим на точку или систему, определить закон движения этой системы – обратная задача.

 

Законы классической механики Галилея – Ньютона.

 

Первый закон (закон инерции Галилея): изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Изолированной называется материальная точка, не взаимодействующая ни с какими другими материальными телами (по причине их отсутствия или их нахождения на таком большом расстоянии от рассматриваемой точки, что её взаимодействием с ними можно пренебречь).

Движение изолированной материальной точки, устанавливаемое 1- м законом, называется движением по инерции; подобное движение есть следствие не только изолированности точки, но и её «материальности», иначе инертности, мерой которой служит масса точки. Важно отметить, что 1-й закон в неявной форме постулирует существование системы отсчета, в которой изолированная материальная точка движется по инерции. Такая система отсчёта называется абсолютной или неподвижной. Но как известно из кинематики, равномерное прямолинейное движение точки в одной системе отсчёта будет таким же (хотя и с другой скоростью) в любой другой системе, движущейся по отношению к первой поступательно, равномерно и прямолинейно. Все такие системы отсчёта называются инерциальными.

Второй закон (основной закон механики): сила, приложенная к свободной материальной точке, сообщает ей ускорение, пропорциональное силе и направленное в сторону действия силы

Математическая запись 2-го закона имеет вид

,

где – сила, приложенная к материальной точке массы m, – вектор её абсолютного ускорения. Отметим, что равенство не изменяется при переходе к любой другой инерциальной системе отсчёта, поскольку, как это известно из кинематики сложного движения ускорение точки при этом остаётся неизменным.

Как следует из одна и та же по величине сила, будучи приложенной к точкам различной массы, сообщает большее ускорение той точке, у которой меньше масса. Именно это обстоятельство позволяет рассматривать массу точки как меру её инертности, т.е. способности сопротивляться изменению скорости точки, и называть массу, фигурирующую во втором законе, инертной. Если единственной силой, действующей на свободную точку, является её вес (сила тяжести) , то уравнение приобретает вид

, где - ускорение, сообщаемое свободной точке её весом (силой тяжести). Галилеем была установлена (за 50 лет до Ньютона) независимость ускорения от массы падающего тела. Поэтому для любых двух тел массыm₁ иm₂в соответствии с будем иметь ,

т.е. веса тел пропорциональны их массам.

Второй закон дополняется Ньютоном аксиомой о параллелограмме сил, в соответствии с которой две приложенные к свободной материальной точке силы и оказывают на неё такое же действие, что и одна сила , величина и направление которой совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на силах и как на сторонах; математически это отображается векторным равенством

,

где сила называется равнодействующей сил и .

Аксиому о параллелограмме можно представить также в виде правила треугольника, последовательное распространение которого на случай какого угодно числа сил приводит к правилу силового многоугольника (на рис. 2.1.8,впредставлен случай n=5), определяющего равнодействующую приложенных к точке сил как замыкающую их силового много угольника. Математически это соответствует геометрическому суммированию

.

Подставляя значение из в равенство, приходим к основному уравнению динамики материальной точки

.

 Рассмотрим частный случай, когда, начиная с некоторого момента времени , равнодействующая сил, приложенных к точке, равна нулю (в случае двух сил для этого достаточно, чтобы они были равны по величине и противоположны по направлению). Тогда, как следует из (2.1.6) для будем иметь

, откуда .

Таким образом, под действием сил, равнодействующая которых равна нулю, материальная точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, т.е. так, как если бы она была изолированной.

С другой стороны, если точка находится под действием сил в состоянии постоянного покоя, то это состояние называют статическим равновесием. В таком состоянии ускорение точки равно нулю и вытекает равенство

,

представляющее собой необходимое условие равновесия точки. По аналогии с основным уравнением динамики точки равенство можно назвать основным уравнением статики точки.

Третий закон (принцип равенства действия и противодействия): силы механического взаимодействия двух точек равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия.

Этот закон устанавливает характер механического взаимодействия двух тел и в этом смысле является основой для построения механики материальной системы.

Геометрически 3-й закон проиллюстрирован (для случая двух отталкивающихся точек.

Тот факт, что эти силы равны по величине и противоположны по направлению, отражается равенством ,

из которого, однако, не следует, что и имеют общую линию действия. Чтобы математически учесть и это обстоятельство введём понятие момента силы.

Инерциальная система отсчета (ИСО) - система отсчета, в которой справедлив закон инерции: все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешнии силы или действие этих сил компенсируется) движутся в них прямолинено и равномерно или покоятся в них.

Задачи динамики

Первая (прямая) задача динамики. По заданному движению, совершаемому точкой данной массы, требуется найти неизвестную действующую силу.

Вторая (обратная) задача динамики. По заданным силам, действующим на точку данной массы, и заданным начальным условиям движения требуется найти закон движения точки.

Это — основные (классические) задачи динамики точки, сформулированные самим основоположником динамики И. Ньютоном. С последующим развитием динамики появились новые задачи, сочетающие в себе черты обеих названных задач. Например, при несвободном движении точки реакции связей заранее неизвестны, и вторая задача приобретает смешанный характер — требуется найти как закон движения точки, так и реакции связей. Появились задачи об оптимальном движении, о движении точки с переменной массой и много других задач, тесно связанных с потребностями развивающейся техники.

Основным математическим инструментом для решения задач динамики точки служат основное уравнение динамики и вытекающие из него дифференциальные уравнения движения.

 

Динамика точки

123Следующая ⇒

Поделиться: