Правила приближенных вычислений

 

Числовые значения физических величин, с которыми приходится иметь дело при решении задач, в большинстве случаев являются приближенными, причем степень приближения зависит как от точности приборов, которыми измерялась данная физическая величина, так и от тех требований, которые выдвигаются условиями задачи.

Так, например, ускорение свободного падения обычно принимается равным . Однако более точные измерения этой величины могут дать расчеты, и значение этой величины можно принять равным .

Необходимо помнить, что точность конечного результата вычислений зависит только от точности измерений и ее невозможно повысить за счет точности вычислений, высчитывая много десятичных знаков после запятой. Рассмотрим это на примере следующей задачи.

За сколько времени падающее тело достигнет скорости ?

В соответствии с законами свободного падения .Можно производить деление и дальше, но смысла это иметь не будет, так как вполне достаточно остановиться на числе ,имеющем столько же значащих цифр, сколько их имеет исходное данное - . Излишнее количество знаков при вычислениях не только не приносит пользы, но и является грубой ошибкой, так как говорит о том, что вычислитель не имеет представления о точности своих измерений и вычислений и бесполезно затрачивает свой труд и время.Чтобы избежать вычисления ненужных знаков, необходимо соблюдать правила действия над приближенными числами.

1. Следует правильно записывать приближенные числа. Так, например, числа –отнюдь не одно и то же число. В первой записи указано, что верны лишь цифры целых и десятых долей. Во втором числе верны сотые доли, а в третьем – также и тысячные, следовательно, измерения, в которых получено это число, оказались наиболее точными из всех трех измерений.

2. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате надо отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из слагаемых. Так, например:

.

Десятые доли отброшены, так как десятичные знаки первого слагаемого неизвестны.

3. При умножении и делении приближенных чисел в результате необходимо оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр. Прочие цифры заменяются нулями или отбрасываются по правилам округления. Например:

4. При возведении в степень или извлечении корня в результате надо оставлять столько значащих цифр, сколько их в исходном числе, с которым производится действие. Например:

.

5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий. Например,

Числа и имеют наименьшее количество значащих цифр, а именно две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех знаков, оставляя, кроме двух достоверных, один сомнительный знак. Тогда предыдущее выражение можно будет записать так:

Произведя эти вычисления, округляем ответ до двух значащих цифр, т.е. до .

6. Табличные величины (число ,заряд электрона и т.п.) следует брать с таким количеством значащих цифр, которое равно количеству значащих цифр в наименее точном из данных по условиям задачи.

7. В ряде случаев результаты измерений или табличные данные выражаются числами, близкими к единице, но заведомо не равными единице. При точных вычислениях такие числа округлять нельзя. Так, например, магнитная проницаемость платины равна , показатель преломления воздуха равен и т.п. Вычисления с ними довольно громоздкие,. поскольку при работе с такими числами следует пользоваться специальными правилами.

Пусть число может быть выражено в виде , где – малое число. Тогда

.

Рассмотрим применение этих правил на примерах:

Этими правилами следует широко пользоваться в приближенных вычислениях и при решении задач.

При вычислениях в ряде случаев удобно пользоваться табл. 3 и 4 приложения.

 

Таблица 1

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: