Интервальная оценка дисперсии нормального распределения

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Здесь также рассмотрим два случая в зависимости от того известно или неизвестно математическое ожидание а генеральной совокупности.

3. Доверительный интервал для оценки генеральной дисперсии при известном математическом ожидании ГС имеет вид:

(23)

где - оценка генеральной дисперсия при известном математическом ожидании; n – объем выборки; , - квантили уровней (1-g)/2 и (1+g)/2 соответственно распределения хи-квадрат с n степенями свободы.

4. Доверительный интервал для оценки генеральной дисперсии при неизвестном математическом ожидании ГС имеет вид:

(24)

где - исправленная выборочная дисперсия; n – объем выборки; , квантили распределения хи-квадрат соответствующих уровней с n-1 степенями свободы.

Excel 2010:

Excel 2007:

5. Доверительный интервал для оценки генерального СКО s часто используют более удобные формулы (без привлечения распределения ):

(25)

где находят по специальной таблице.

Пример 9. Пользуясь данными примера 5, найти доверительные интервалы для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения с вероятностью 0,95 и 0,99 (генеральная средняя неизвестна).

Р е ш е н и е. В примере 5 найдены точечные оценки неизвестных параметров, а именно:

1) Доверительный интервал для генеральной дисперсии при неизвестном математическом ожидании находим по формулам (24):

Найдем квантили распределения Пирсона в Excel или по таблице квантилей распределения хи-квадрат:

Расчеты можно поместить в таблицу.

Интервальные оценки дисперсии генеральной совокупности

Доверительная вероятность

ХИ2ОБР (для левой гр.)

ХИ2ОБР (для правой гр.)

Левая граница

Правая граница

Ширина интервала

g=0,95

128,42

73,36

269,451

471,688

202,147

g=0,99

138,99

66,51

248,97

520,274

271,304

2) Доверительный интервал для генерального стандартного отклонения по найденному исправленному стандартному отклонению найдем по формулам (25): .

По таблице для доверительных вероятностей, равных 0,95 и 0,99 находим значения q: Получим:

Интервальные оценки СКО генеральной совокупности
Доверительная вероятность	q=q(g;n)	Левая граница	Правая граница	Ширина интервала
g=0,95	0,143	16,022	21,370	5,348
g=0,99	0,198	14,994	22,398	7,404

Вывод: Чем больше g, тем шире доверительный интервал.

Самостоятельная работа № 5.

Задача 5.1. Анализ средней доходности некоторых акций на основе случайной выборки за 16 дней показал, что средняя (годовая) доходность составляет 10,37%. Известно, что генеральная дисперсия равна 4%. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения сформировать доверительный интервал для средней доходности с надежностью .

Задача 5.2. Аналитик фондового рынка оценивает среднюю доходность некоторых акций. Случайная выборка за 16 дней показала, что средняя доходность составляет 10,37% с исправленным средним квадратическим отклонением, равным 2,5%. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения найти доверительную вероятность того, что средняя доходность заключена в интервале (8,37;12,37).

Задача 5.3. Телефонная компания желает оценить среднюю продолжительность исходящих разговоров. Случайная выборка из 41 звонка дала среднюю продолжительность 14,5 минут с выборочным СКО 5,6 минут. Построить доверительные интервалы для средней продолжительности разговоров с надежностью 95% и 90%. Предполагается, что продолжительность телефонных разговоров подчинено нормальному закону. Задача 5.4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью точность оценки генеральной средней будет равна 0,55. Выборка взята из нормальной ГС, стандартное отклонение которой равно 2,1.

Задача 5.5. Для анализа производительности труда были отобраны 15 работников предприятия. На основании проведенных испытаний была получена оценка изд./час. Предполагая, что производительность труда работников подчиняется нормальному закону распределения, определить с надежностью границы доверительного интервала для генеральной дисперсии (генеральная средняя известна). (218,18; 958,47))

Задача 5.6. По данным выборки объема 16 из нормальной генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,99 (генеральная средняя неизвестна). ((0,46; 3,41); (0,73;1,73))

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒