Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости

Теорема. Через произвольную точку пространства, не лежащую на данной прямой,

проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Аксиомы?

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Параллельность прямой и плоскости

Аксиома?

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости

1) прямая лежит а плоскости

2) прямая пересекает плоскость

3) прямая параллельна плоскости

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Свойства параллельности

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая проходит через некоторую точку этой плоскости, то она лежит в данной плоскости.

Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой, по которой эти плоскости пересекаются.

Если в одной из двух пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то эта прямая параллельна линии пересечения данных плоскостей.

Параллельность плоскостей

Аксиома. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Две плоскости либо пересекаются, либо параллельны

Теорема (признак параллельности)

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следствие. Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость

Если плоскость пересекает одну из переллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые, по которым они пересекаются параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны.

Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.

Скрещивающиеся прямые

Теорема. Если прямая а лежит в плоскости α прямая b пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой а, то a и b скрещивающиеся прямые.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит одна и только одна плоскость параллельная другой плоскости, при этом эти две плоскости параллельны.

Пересекающиеся

3. Скрещивающиеся

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Углы между прямыми

1. Если прямые параллельны, то угол между ними 0⁰.
2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90⁰).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися прямым.

Обратите внимание!

Провести соответственные параллельные прямые данным скрещивающимися прямым можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую параллельную другой из скрещивающихся прямых.

Пример:

Дан куб ABCDA1B1C1D1