Экспоненциальный закон надежности

 

При нормальных условиях эксплуатации авиационной техники интенсивность отказов можно считать примерно постоянной

Функция, связывающая вероятность безотказной работы и интенсивность отказов, имеет вид (Табл. 1.4)

Тогда вероятность безотказной работы при

                                           (2.1)

Такое распределение называют экспоненциальным (рис. 2.1). На графике обозначены некоторые характерные точки экспоненты. Так при  значение

1, 0

P(x)

0

1

0, 5

0, 75

0, 69

Рис. 2.1.График экспоненциального закона надежности

1, 0

0, 378

0, 29

0, 1

2, 3

 

После дифференцирования найдем плотность вероятности случайной величины для экспоненциального распределения

               (2.2)

Математическое ожидание случайной величины для экспоненциального закона, как момент первого порядка:

Дисперсия есть центральный момент второго порядка:

Для экспоненциального закона дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Функция экспоненциального распределения вероятности

Для случая надежности вероятность отказа изделия

Получение экспоненциальной функции не представляет трудности. В частности при ее можно представить как сумму ряда

или, для случая , можно считать

При заданной вероятности можно определить логарифмируя (2.1)

При P(t)> 0, 99 из (2.4), как показано выше, можно использовать приближенное равенство:

 или

Для ряда законов распределения случайной величины процесс вычисления значения х довольно трудоемкий. Поэтому для таких законов имеются таблицы квантилей.

Квантиль - это значение аргумента х, при котором вероятность случайной величины равна заданному (известному) значению. Так, если  то квантиль:

где — обратная функция от F(x).

Индекс p при указывает, что является квантилью. По (2.9) можно построить квантиль (рис. 2.2) как функцию от вероятности p(x).

0, 29

0, 69

1, 00

1, 39

p(x)

xp

0

1

0, 5

0, 75

0, 25

Рис. 2.2.Квантили xp при экспоненциальном распределении времени безотказной работы

0, 378

0, 9

0, 1

 

Пример 2.1. При испытании изделий, имеющих среднее время наработки на отказ , необходимо определить квантиль уровня  для экспоненциальной функции распределения вероятностей.

Решение.

Для  можно записать квантиль , или время, за которое вероятность безотказной работы составит 0, 9:  

Пример 2.2. При испытаниях N₀ =200 невосстанавливаемых изделий в течение t₁ = 500 ч получено 6 отказов. Следует найти λ и T₀.

Решение.

 

Областью приемлемости экспоненциального распределения являются наработка до отказа многих невосстанавливаемых изделий и наработка на отказ ряда восстанавливаемых изделий.

 

Нормальное распределение

 

Нормальное или гауссово распределение – наиболее часто используемая статистическая модель. Обоснованием нормального распределения служит центральная предельная теорема, согласно которой распределение среднего n независимых случайных величин, распределенных по любому закону с конечными математическим ожиданием и дисперсией при увеличении числа наблюдений в выборке (n → ∞ )приближается к нормальному. К сожалению, в реальных условиях статистика показывает наличие так называемых «хвостов» в законах распределения, например, в погрешностях самолетовождения, связанных с отказами аппаратуры, человеческим фактором или вмешательством непреодолимой силы.

Плотность вероятности нормального распределения случайной величины t имеет вид

 

Этому распределению соответствует зависимость, приведенная на рис. 2.3.

Функция нормального закона распределения имеет вид

 

Рис. 2.3.Плотность распределения случайной величины t по нормальному закону

0

f(t)

t

T01

А

В

T02

 

Поскольку время может изменяться только в пределах от 0 до +∞, то функция нормального закона может рассматриваться только в правой части графика, а интеграл от функции распределения tот 0до +∞ должен быть равен единице.

Если кривая B распределения  располагается правее оси ординат так, что заштрихованный участок площади (рис. 2.3) практически ничтожно мал, то для (2.10) справедливо выражение

а расчет характеристик надежности можно производить, используя функцию распределения в виде

где  математическое ожидание наработки до отказа; σ – среднее квадратическое отклонение наработки до отказа.

Однако, если существенная часть кривой  смещена в отрицательную область, (заштрихованная часть площади кривой А) (рис. 2.3), то для расчета надежности необходимо использовать усеченное распределение случайной величины Т:

Нормирующий множитель g определяется из условия равенства единице площади кривой распределенияf ^*(t) в пределах 0≤ t ≤ ∞.

или

 

С целью приведения интеграла в (2.13) к нормированной форме, для которой имеются таблицы значений, в выражении  можно сделать замену переменной t на и:

Тогда  и

 

где Φ (u) - нормированная функция Лапласа.

Таблица значений этой функции приведена в Приложении 1.

Таким образом, поскольку для определения значения  для верхнего предела следует положить t = ∞, т.е. , то из (2.14), (2.15) следует:

 

Пример 2.3:  Значение .

Нормирующий множитель

0

f(t)

t

T01

А

В

T02

0

f(t)

t

T01

А

В

T02

Рис. 2.3.Плотность распределения случайной величины t по нормальному закону

t1

t2

 

Вероятность безотказной работы за время t

Интенсивность отказов, учитывая, что

будет

В (2.16)...(2.18) значения  и σ соответствуют полному, т.e. не усеченному распределению .

Для усеченного распределения значения математического ожидания времени отказа T₀ и среднего квадратического отклонения σ выражаются в следующем виде:

;                                               (2.19)

Здесь

Для большинства случаев следует учитывать усеченность распределения случайной величины , если  В противном случае в приведенных выше формулах можно положить  

Пример 2.3а. Наработка до отказа имеет нормальное распределение с T₀= 2500 ч, σ = 500 ч. Требуется определить: вероятность безотказной работы  через t=1500 ч; наработку  при которой  = 0, 8.

Решение:

1) по условию , поэтому следует использовать не усеченное распределение ;

2) согласно (2.18)

 

Здесь , определена по табл. Приложения 1;

3) в соответствии с (2.17) и условием задачи

 

Отсюда

Значение обратной функции Лапласа определяется из табл. Приложения 1:

 

 

Пример 2.4. При нормальном распределении наработки до отказа

T₀= 2500 ч, σ = 1600 ч.

Определить вероятность безотказной работы через t₁= 1500 ч, среднее время T₀ безотказной работы, среднее квадратическое отклонение σ ^* .

Решение. По условию задачи Поэтому необходимо использовать усеченное распределение.

1) согласно (2.16) и табл. Приложения 1

 

2) Согласно (2.17) и табл. Приложения 1

 

3) Из (2.21):

 

4) Из (2.19) и (2.20)

 

 

Нормальное распределение широко используется на практике (погрешности бортового радиооборудования, наработка до отказа ряда изделий и т.д.).

В технических характеристиках радиосистем зачастую указывается среднеквадратическое отклонение метрологических параметров, при котором подразумевается нормальное распределение.

При малом числе испытаний прибегают к распределению Стьюдента.

 

Задание 3. Для распределения по нормальному закону в каждом варианте заданы следующие значения среднего времени безотказной работы и среднее квадратическое отклонение  (Табл.1) . Определить, в каком виде следует рассматривать нормальный закон на временно́ м интервале от 0 до ∞. Для заданного преподавателем варианта, в случае усеченного нормального распределения найти значения Определить вероятность безотказной работы через промежуток времени t₁.

Таблица 1.

Варианты заданий для расчета распределения по нормальному закону

Варианты	T0, ч.	σ *, ч.	t1, ч.	Варианты	T0, ч.	σ * ч.	t1, ч.
1	700	380	680	16	1450	670	1100
2	1000	400	860	17	1290	620	990
3	1200	500	940	18	1300	780	890
4	1600	600	1400	19	1600	880	1100
5	1700	700	1600	20	1380	740	990
6	900	120	970	21	1960	850	1560
7	800	450	640	22	2100	890	1740
8	950	420	820	23	2300	950	1860
9	790	410	720	24	2450	1200	2100
10	1550	690	1100	25	2580	1500	2210
11	2200	890	1750	26	2800	1200	2430
12	3200	490	2840	27	3100	1600	2560
13	2700	760	2100	28	3280	1860	2380
14	2100	950	1800	29	1500	640	1020
15	1900	1000	1500	30	1800	920	1290

При выполнении расчетов использовать табл. Приложения 1.

                                                                     

Распределение Релея

К распределению Релея относится погрешность определения местоположения на экране индикатора кругового обзора. Если по каждой оси координат погрешности y₁, y₂ распределены по нормальному закону то случайная величина

                                          (2.22)

будет распределена по релеевскому закону. Распределение Релея широко используется в статистической теории связи.

Плотность вероятности случайной величины распределения Релея имеет вид:

где μ – наиболее вероятное значение случайной величины, называемое модой распределения.

Вероятность безотказной работы

Интенсивность отказов

 

Математическое ожидание случайной величины

Дисперсия

Зависимости f(t), λ (t), p(t) для распределения Релея приведены на рис. 2.4.

 

Рис. 2.4.Показатели надежности при распределении Релея: a – λ (t) и  f(t); б – p(t)

fmax(t)

λ (t), f(t)

t

0

p(t),

t

0

1

a

б

μ

 

 

 

Плотность вероятности

 

 

Функция распределения

 

Зависимость дисперсии от значения  (2.38) показывает, что с возрастанием моды функция плотности вероятности становится более пологой (рис. 2.5).

Как сказано выше, распределению Релея соответствует погрешность определения навигационных параметров на плоскости, когда погрешности в направлениях осей координат независимы и распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями

x

0, 1

0, 2

0, 3

0, 4

0, 5

0, 4

0, 6

0, 8

0, 2

0

1, 0

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2, 0

2, 2

2, 45

2, 6

2, 8

0, 6

0, 7

0, 8

0, 9

1, 0

f(x)

μ 2= 0.5

μ 2= 2.0

μ 2= 1.0

Рис. 2.5.Плотность вероятности при различных значениях μ 2 распределения Релея

x

0, 1

0, 2

0, 3

0, 4

0, 5

0, 4

0, 6

0, 8

0, 2

0

1, 0

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2, 0

2, 2

2, 45

2, 6

2, 8

0, 6

0, 7

0, 8

0, 9

1, 0

f(x)

μ 2= 0.5

μ 2= 2.0

μ 2= 1.0

Рис. 2.5.Плотность вероятности при различных значениях μ 2 распределения Релея

x

0, 1

0, 2

0, 3

0, 4

0, 5

0, 4

0, 6

0, 8

0, 2

0

1, 0

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2, 0

2, 2

2, 45

2, 6

2, 8

0, 6

0, 7

0, 8

0, 9

1, 0

f(x)

μ 2= 0.5

μ 2= 2.0

μ 2= 1.0

Рис. 2.5.Плотность вероятности при различных значениях μ 2 распределения Релея

Другим примером релеевского закона служит распределение огибающей шумового напряжения на выходе узкополосного фильтра при прохождении через него гауссовского шума. Такое напряжение имеет вид синусоиды со случайной амплитудой, фаза которого распределена равномерно от 0 до 360^о.

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла (иначе — распределение Вейбулла-Гнеденко) в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь шведского инженера Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887—1979).

 

Функция распределения Вейбулла:

Плотность вероятности (частота отказа) при распределении Вейбулла имеет вид

где а и b –положительные постоянные величины. В теории надежности величина имеет размерность времени, b – безразмерная величина.

Вероятность безотказной работы

 

а интенсивность отказов

 

Выражение для интенсивности отказов может быть определено и дифференцированием показателя экспоненты в (2.30), поскольку этот показатель

Среднее время безотказной работы определяется как математическое ожидание от плотности вероятности

 

где гамма-функция от аргумента

 

Среднее квадратическое отклонение

 

где коэффициент

                    (2.34

 

Значения гамма-функции для вычисления и находят по таблицам.

При получим  и распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное, а при – в распределение Релея.

Характерные для распределения Вейбулла зависимости при различных значениях параметра приведены на рис. 2.6.

Пример 2.5. Известно, что случайная наработка до отказа имеет распределение Вейбулла, где

Найти  

Решение. Из (2.30):

 

Пример 2.6. Для распределения Вейбулла   Найти наработку до  

Решение.

Из(2.31) ;

, или

t = ∙ 3000 = 566 ч.

p(t)

f(t)

b> 1

b=1

b< 1

t

λ (t)

t

t

0

0

0

b> 1

b=1

b< 1

b> 1

b=1

b< 1

1

Рис.2.6. Характеристики надежности, соответствующие распределению Вейбулла

 

 

Объектами применения распределения Вейбулла являются подшипники качения, электромагнитные реле и некоторые типы полупроводниковых приборов.

 

 

Распределе́ ние Ве́ йбулла (иначе — распределение Вейбулла-Гнеденко) в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь шведского инженера Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887—1979).

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: