Параметр потока отказов для системы

 функционирования с полным восстановлением

 

Для схемы функционирования с полным восстановлением изделий в момент отказа существуют различные формы представления параметра потока отказов ω (t).

В практике многолетней эксплуатации авиационной техники наработка отдельных изделий существенно различается. Самолеты и даже авиадвигатели на одном самолете имеют различные наработки. В процессе эксплуатации происходит ремонт и замена объектов авиационного и электрорадиооборудования.

Различие в наработках объясняется разными сроками поступления изделий на эксплуатацию, случайными моментами отказов и замен, регулированием сроков регламентных и плановых ремонтных работ и т.п.

В соответствии с отмеченной схемой функционирования на рис. 4.6 приведены плотности вероятности) однотипных изделий с различной наработкой.

По оси абсцисс откладывается время t наработки лидирующих изделий, т.е. изделий, наработка которых максимальна. Здесь условно показано, что все одновременно работающие в процессах функционирования изделия по наработке последовательно отличаются друг от друга на время Δ t _i.

Соответственно начало зависимости плотности вероятности отказа каждого i-го изделия сдвинуто на Δ t. относительно соседних изделий.

f(t)

1

t

2

3

j

1

2

3

j

Δ tз

tx

tx1

Рис. 4.6. Плотности распределения изделий c распределенной наработкой

 

В каждый рассматриваемый момент наработки t для совокупности работающих изделий получается среднее значение плотности:

 

где — плотность вероятности отказа i-го изделия в момент t.

На основании этого можно сделать предположение, что при достаточно большом удалении наработки t от начала координат значение  стремится к постоянной величине.

Как и в предыдущем случае, определим параметр потока отказов как предел отношения числа отказов на малом интервале наработки Δ t → 0 к общей наработке большого числа N(t)→ ∞ изделий на этом интервале времени Δ t:

 

Функционирует СНС из 24 спутников. В среднем один раз в 5 лет происходит случайный отказ одного спутника. Найдем параметр потока отказов. Суммарная наработка: 24·365·5·24=8760·5·24=1051200 ч, Параметр потока отказов:

 

В рассматриваемом случае с самого начала (t ≥ 0) параметр потока является средним параметром для всей совокупности одновременно работающих изделий в любой момент t. Поэтому в обозначении этого параметра ставится индекс с: Таким образом, средний параметр потока отказов в момент t есть число отказов, приходящееся на единицу времени суммарной наработки большого числа изделий на бесконечно малом интервале наработки (сравните с определением интенсивности отказов: интенсивность отказов есть число отказов в единицу времени, приходящееся на одно исправное изделие в момент времени t).

Рассмотрим физическую связь среднего параметра потока отказовс интенсивностью отказов (рис. 4.7).

0

λ (t)

1 2 3 4 ….

Δ t

t

tx

1

2

3

4

 

Рис. 4.7. Совмещение интенсивностей отказов изделийс распределенной наработкой

 

Здесь для упрощения принято, что графики λ _i(t) каждого соседнегоизделия сдвинуты на время Δ t, т.е. их наработки отличаются на Δ t. Цифрами 1, 2,... обозначены номера изделий.

Для момента, например, t _xсреднее значение интенсивности отказов запишется так:

 

— число изделий, работающих в момент t_x.

Значения  определяются из i-йзависимости в момент .(i=1, 2,... .

 

 

Последнее соотношение можно записать для любого N(t):

 

 

 

Сравнив это соотношение с (4.24), можно увидеть, что , т.е. для рассматриваемой схемы параметр потока отказов есть среднее значение интенсивности отказов изделий. В дальнейшем под аргументом t будет пониматься время работы лидирующих изделий.

Связь среднего параметра потока отказов с характеристиками надежности невосстанавливаемых изделий. Математическое ожидание числа отказов n₁(t)за время работы одного невосстанавливаемого изделия равно вероятности отказа этого изделия:

n₁(t) = q₁(t).(4.26)

 

Поскольку изделие не восстанавливаемое, n₁(t) ≤ 1. Соотношение (4.26) следует из определения вероятности отказа:

    Отсюда полное число отказов n(t) = N₀·q(t).

    Положив N₀ = 1, получим (4.26).

     Для всехN(t)изделий, работавших в момент времени t, число отказов на интервале Δ t:

где –плотность вероятности отказа i-го изделия в момент t (рис. 4.7).

Число работоспособных изделий в момент t в соответствии с соотношениями (4.26) и (4.27), где q _i(t) = 1 – p _i(t):

С учетом (4.27) и (4.28) выражение (4.25) можно переписать в следующем виде:

 

 

При N(t) → ∞, Δ t→ ∞ имеем:

 

 

 

Наработка изделия  к моменту времени t определяется выражением

Поэтому средний параметр потока отказов для рассматриваемой схемы функционирования невосстанавливаемыхизделий в соответствии с (4.28)...(4.30) имеет следующее математическое выражение:

 

При t = 0 оказывается q(0)= 0 и = 0. Неопределенность (4.31) можно раскрыть, используя правило Лопиталя.Согласно ему, начальное значение параметра потока отказов равно начальному значению интенсивности отказов изделия:

При t → ∞ из (4.31) следует:

 

т.е. средний параметр потока отказов с возрастанием времени процесса функционирования асимптотически стремится к установившемуся значению, равному обратной величине средней наработки до отказа.

Для изделий с постоянной интенсивностью отказов λ (t) = λ, для всех t

(0 ≤ t≤ ∞ )из (4.31) имеет место

 

т.е. параметр потока отказов в этом случае равен интенсивности отказов на всем диапазоне изменения времени 0 < t < ∞.

Средний параметр потока отказов как вероятность отказа за единицу времени

 

тогда среднее время наработки изделий

 

 

Среднее число отказов. Математическое ожидание числа отказов за время t равно

где N₀ – число процессов функционирования изделий, взятых под наблюдение. Для установившегося процесса, т.е. при t → ∞: , или

 

 

Где  среднее время безотказной работы.

Для  изделий, которые после отказа мгновенно заменяются на новые, среднее число отказов за время t будет

 

или

где = N₀t – суммарная наработка изделий во всех N₀ процессах функционирования.

Если рассматривать один случайно взятый процесс функционирования и принять (N₀= 1), то среднее число отказов в нем, полагая время ремонта t_р = 0

 

 

Итак, среднее число отказов в полностью восстанавливаемом процессе функционирования равно длительности этого процесса, поделенной на среднее время безотказной работы изделия.

Средняя наработка на отказ. Из (4.31) определяется средняя наработка на отказ в восстанавливаемом процессе функционирования:

Поскольку

то средняя наработка на отказ будет величиной, обратной  или

 

 

Как видим, средняя наработка на отказ является функцией времени и характеризуется средним числом отказов на интервале , примыкающем к моменту времениt. При t → ∞ следует, что в установившемся процессе средняя наработка на отказ равна среднему времени безотказной работы изделия:

 

 

Статистическое выражение для средней наработки на отказ в момент t на интервале Δ t в соответствии с (4.24)

 

имеет вид:

 

При  → ∞ и

 

Таким образом, статистическая средняя наработка на отказ есть суммарная наработка большого числа (N₀→ ∞ ) процессов функционирования на малом (Δ t→ 0)интервале времени, приходящаяся на один отказ на этом интервале Δ t.

Для стационарного процесса это определение справедливо для любого момента времени во всем диапазоне его изменения (0 ≤ t  ≤ ∞ ).

Если стационарный случайный процесс является эргодическим, все характеристики такого стационарного процесса можно получить не только по множеству реализаций на малом интервале времени, но и по одной i-ой реализации на большом отрезке времени процесса, начиная с некоторого момента . В последнем случае оказывается справедлива формула

 

 

где  – наработка процесса функционирования, когда процесс можно считать стационарным, t₁< t; ф

.

Разность (t– t₁) можно уменьшать, увеличивая число испытываемых процессов функционирования:

 

 

где t _i = (t– t₁) — наработка i-гo процесса после рассматриваемого момента t₁.

 

Таким образом, формулы (4.39), (4.40), (4.41) и (4.42) для стационарного процесса дают одинаковый результат. Во всех случаях этот результат равен среднему времени Т₀безотказной работы изделия.

 

Усредненная наработка на отказ. Усредненная по всему интервалу0... tнаработка на отказ определяется отношением суммарной наработки к числу отказов

 

или интегрированием наработки на интервале от нуля до t

Эта наработка является средней по всему периоду эксплуатации с момента появления первого образца изделия и до рассматриваемого текущего момента наработки. При этом " возраст" (наработка) каждого из изделий не принимается во внимание, поскольку не рассматривается деградация изделий.

 

Средняя вероятность отказа изделий. При распределенной наработке эксплуатируемых изделий (рис. 4.6) важно иметь представление о средней вероятности появления отказа в парке этих изделий на планируемое время их использования. Этим определяются возможные варианты решений руководителя эксплуатационного предприятия, объемы планируемого резерва изделий.

Если к планируемому моменту t наработки лидирующего изделия в эксплуатации планируется использовать N(t)изделий с распределенной наработкой от t = 0 до t, то средняя вероятность появления отказа изделия к моменту t численно равна сумме площадей всех N(t) кривых f(x) в пределах интервала наработки 0 – t, поделенной на число изделий N(t):

 

 

где q _i(t) - вероятность отказа i-го изделия за его наработку в пределах наработки лидирующего изделия.

В случае равномерной плотности распределения наработки изделий сумма в числителе (4.45) представляет собой сумму арифметической прогрессии, определяемую выражением (при условии, что в число N(t)входит и изделие с t₀ = 0):

 

где q(t₀) – вероятность отказа изделия, имеющего минимальную наработку t₀;

 − вероятность отказа изделия, имеющего максимальную наработку.

–математическое ожидание числа отказов в рассматриваемом парке изделий к моменту t.

Если t₀= 0, то из (4.45) и (4.46) получим выражение

 

q_c(t) = 0, 5q(t).                                   (4.47)

 

Следовательно, при равномерном распределении наработки средняя вероятность отказа равна половине вероятности отказа изделия, имеющего максимальную наработку.

Если при равномерной плотности распределения наработки отсутствует изделие с близкой к нулю наработкой (например, ввиду прекращения поступления на эксплуатацию новых изделий), то средняя вероятность отказа изделия определяется зависимостью

 

q_c(t) = 0, 5[ q(t₀) + q(t)]                                  (4.48)

 

Если распределение наработки нельзя признать равномерным, то средняя вероятность отказа определяется непосредственно по (4.45).

Пример 4.4. Парку изделий планируется равномерно распределенная наработка в пределах t = 0...1000 ч. Интенсивность отказов изделия

λ = 0, 005(1/ч). Определить среднюю вероятность отказа к моменту t = 1000 ч.

Решение. В соответствии с (4.64)

 

q_c(t = 1000) =0, 5(1 – е ^{– 0, 005·1000}) = 0, 5 – 0, 0034 ≈ 0, 5.

 

Возьмем λ = 0, 0005 1/ч. Тогда

 

q_c(t = 1000) =0, 5(1 – е ^{– 0, 0005·1000}) = 0, 5(1 – 0, 6) = 0, 2.

 

Если планируется использование изделий до момента t₀при условии, что они уже наработали безотказно время , то в (4.65) следует использовать условные вероятности, исходя из соотношения (2.18).

 

 

При этом, если t − планируемая наработка лидирующего изделия, то из (2.18) и (4.65) имеем

где  исходная вероятность безотказной работы соответственно лидирующего изделия и изделия с минимальной наработкой; p(t), p(t_0b) − вероятность безотказной работы до планируемой наработки соответственно лидирующего изделия и изделия с максимальной наработкой.

Зависимости (4.25), (4.38) и (4.45) позволяют определить среднее значение параметров надежности по парку однотипных изделий с распределенной наработкой. Поэтому среднее значение параметра потока отказов можно выразить также в виде первообразной функции

 

|где — плотность распределения наработки изделия для момента τ; — интенсивность отказов.

В случае равномерной плотности распределения Отсюда имеем

Таким образом, если известна функция λ (t), то можно просто вычислить значение и по (4.49), так как в процессе эксплуатации для многих типов изделий ведется учет их наработки и, следовательно, легко получить плотность распределения .

 

Контрольные вопросы

 

1. Какими параметрами характеризуется схема надежности восстанавливаемых деградирующих изделий?

2. Как определить среднее число отказов (восстановлений) изделий с полным восстановлением?

3. Какой величиной характеризуется  среднее число отказов за единицу времени?

5. Как определить среднюю наработку на отказ и среднее число отказов?

6. Как определить среднюю вероятность отказапри равномерно распределенной наработке?

ГЛАВА 5

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: