Тема 1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

 

 

ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

 

 

Статически- неопределимые системы, сложное напряженное

состояние, сопротивление усталости

 

 

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий, самостоятельной подготовке к зачету и экзамену по курсу «Сопротивление материалов» для студентов заочников

 

Под редакцией проф., к.т.н. Н.А.Крамского

 

Москва 2013

 

Разработано в соответствии с Государственным образовательным стандартом ВПО 2009г. для специальностей

 

 

на основе рабочей программы дисциплин «Сопротивление материалов» и «Механика твердого тела»

 

 

Рецензенты:

Профессор кафедры «Сопротивление материалов» МГМУ «МАМИ»

к.т.н. Осипов Н.Л.

 

 

доцент кафедры «Сопротивление материалов» МГМУ «МАМИ»

к.т.н. Чабунин И.С.

 

 

Работа подготовлена на кафедре «Сопротивление материалов»

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Теория и задачи. Статически-неопределимые системы, сложное напряженное состояние, сопротивление усталости: методические указания к выполнению РГР, самостоятельной подготовке к зачету и экзамену по курсу «Сопротивление материалов» и «Механика твердого тела» для студентов заочного отделения

Щербаков В.И., Рыбакова М.Р., Стародубец Н.А.  – М.:Университет машиностроения «МАМИ», 2013. -116 с.

 

 

Методические указания включают краткие теоретические сведения по основным разделам второй части курса сопротивления материалов, а также примеры решения типовых  задач расчетно – графических работ, выполняемых студентами заочной формы обучения

 

© кафедра «Сопротивление материалов» Университет машиностроения, 2013.

©Щербаков В.И.., Рыбакова М.Р., Стародубец Н.А., ред.Крамской Н.А.,2013.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Тема 1. Статически – неопределимые системы……………....4

Степень статической неопределимости . Построение эпюр M_X , Q_Y , N_Z  в статически определимых рамах, определение перемещений

Задача 1.1……………………………………………………….….6

Задача 1.2… ………………………………………………….…11

Задача1.3...……………..……………………………………… 14

Метод сил для решения статически неопределимых рам и балок…………………………………………………………………..18

Пример расчета один раз статически неопределимой балки и определение перемещений…………………………………………..20

Задача 1.4…………………………………………………………24

Задача 1.5. Два раза статически неопределимая балка………29

Задача 1.6. Решение один раз статически неопределимой рамы……………………………………………………………….….39

Задача 1.7. Решение симметричной рамы….….…….……....43

Задача 1.8. Решение кососимметричной рамы…………..…...49

2. Тема 2. Анализ напряженного состояния в точке….. ……..51

Эквивалентное напряжение. Теории прочности….…….…....56

Косой изгиб……………..……………………………………….58

3. Тема 3. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии

Задача 3.1………………………………….……………..……...63

Задача 3.2. Расчет ломаного бруса…………………….….….. 67

Задача 3.3. Определение коэффициента запаса тонкостенной трубки…………………………….…………………………….……75

Задача 3.4. Определение перемещений в ломаном брусе…...80

4. Тема 4. Расчет вала на статическую прочность и сопротивление усталости………………………………………….…………………85

4.4. Пример решения вала с насаженными на него двумя шестернями……………………………………….………………….91

5. Приложение 1……………………..……………….……......107

6. Приложение 2…………………………………………….…114

7. ЛИТЕРАТУРА…………………………….………………..115

 

Статически определимая стержневая система

Статически определимой называется геометрически неизменяе-мая стержневая система, в которой реакции всех связей (как внеш-них, так и внутренних) при произвольной статической нагрузке могут быть определены из уравнений равновесия всей системы или отдельных ее частей. Примеры таких систем показаны на рис. 1.4.

 

 

Рис. 1.4

 

Метод сил

Метод сил применяется для раскрытия статической неопреде-лимости систем. В этом методе неизвестными являются обобщенные силы – реакции внешних связей и внутренние усилия от внутренних связей. Процедура метода сил включает понятия основной и эквивалентных систем, составление и решение канонических уравнений.

Порядок раскрытия статической неопределимости систем методом сил. Порядок расчета состоит из следующих шагов:

1) определение степени статической неопределимости;

2) выбор основной системы (О.С.);

3) построение эквивалентной системы (Э.С.);

4) составление системы канонических уравнений;

5) вычисление единичных и грузовых коэффициентов системы канонических уравнений;

6) решение системы канонических уравнений;

7) построение эпюр внутренних силовых факторов для рассчи-тываемой системы;

8) проверка правильности раскрытия статической неопредели-мости.

Основная система

 

Рис. 1.13

 

Система, полученная из исходной системы путем снятия внешних нагрузок и освобождения от «лишних» связей, называется основной системой. Эта система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой. Для каждой статически неопределимой системы можно выбрать несколько вариантов основной системы. Например,  для статически неопределимой балки, показанной на рис. 1.5,а могут быть предложены три основные системы, представленные на рис. 1.13.  

 

 

Эквивалентная система

Рис. 1.14

 

Основная система с приложенными внешними нагрузками и реакциями «лишних» связей называется эквивалентной системой. Неизвестные реакции «лишних» связей обозначаются Х_1, Х₂ и т.д., где числовой индекс обозначает номер неизвестной.

Для балки (см. рис. 1.5,а), рассмотренной в предыдущих вопросах, соответственно выбранным основным системам (см. рис. 1.13) эквивалентные системы показаны на рис. 1.14.

 

Канонические уравнения метода сил В общем случае, при n > 1 (где n - количество «лишних» неизвестных) система канонических уравнений метода сил имеет вид:

Каждое уравнение этой системы выражает условие равенства нулю перемещения по направлению соответствующей удаленной связи. Направление удаленной связи (i) определяется по первому индексу коэффициентов δ_ij, ∆_iF. Число уравнений равно степени статической неопределимости (n) системы.

Коэффициенты системы канонических уравнений имеют следующие названия:

δ_ij - единичный коэффициент;

∆_ij – грузовой коэффициент.

Каждый из коэффициентов представляет собой перемещение конкретного сечения стержня в определенном направлении. Для их вычисления применяют метод Мора. При этом строят эпюры внутренних силовых факторов при поочередном нагружении основной системы единичными нагрузками (Х ´ _i =1) и заданными нагрузками (F ).

Каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы имеет вид:

 

δ₁₁Х₁+ ∆_1F=0.

 

Пример расчета статической неопределимости балки методом сил

Рассмотрим балку (рис. 1.15,а), для которой раскроем стати-ческую неопределимость и построим эпюры изгибающих моментов М_х и поперечных сил Q _y. Примем исходные данные:

F = 2кН; l = 1м; материал упругий; поперечное сечение постоянное по длине балки с жесткостью Е J_x .

Решение.

1. Определяем степень статической неопределимости S заданной системы

 

Рис. 1.15

 

S = n – k = 4 – 3 = 1,

где n – число реакций связей, n = 4;

k – количество уравнений равновесия статики, которые можем записать для данной системы,  k = 3. Таким образом, балка один раз статически неопределима.

2. Выбираем основную систему (О.С.) (рис. 1.15,б).

Для получения О.С. заданную систему освобождаем от нагрузки F  и одной связи – шарнирно-подвижной опоры В.

3. Строим эквивалентную систему (Э.С.).

Для этого О.С. нагружаем заданной нагрузкой F и неизвестной силой Х₁ в поперечном сечении В.

Эквивалентная система показана на рис. 1.15,в.

4. Составляем каноническое уравнение.

Для данной системы, один раз статически неопределимой, каноническое уравнение имеет вид:

 

δ₁₁Х₁+ ∆_1F=0.

 

Нагружаем О.С. поочередно силой Х ' ₁ =1 (рис. 1.15,г) и внешней нагрузкой F (рис. 1.15,е).

5. Строим единичную М₁ (рис. 1.15,д) и грузовую М _F (рис. 1.15,ж) эпюры.

6. Вычисляем единичный и грузовой коэффициенты канонического уравнения.

Перемножая эпюру М₁  саму на себя, получим:

 

.

 

Перемножая  эпюры  М _F    и  _,  найдем:

 

.

 

7.  Решаем каноническое уравнение:

 

8. Строим эпюры внутренних силовых факторов (Q _y и М_х).

Показываем расчетную схему (рис. 1.15,з), для которой строим эпюру поперечных сил Q_y (рис. 1.15,и) и эпюру изгибающих моментов  М_х (рис. 1.15,к).

9. Проверяем правильность раскрытия статической неопреде-лимости  (деформационная проверка).

Берем новую О.С., например, показанную на рис. 1.15,л. Прикладываем единичную нагрузку М ' =1 на месте снятой связи. Строим единичную эпюру  .

Перемножаем эпюры  М_х  и  М '' _х

 

,

где П – обозначение операции проверки.

Полученный результат – ноль означает, что угол поворота в сечении А равен нулю, т.е. построенная эпюра  М_х правильна.

 

ЗАДАЧА 1.6.

Для показанной на рис. 1.29 рамы (З.С.) построить эпюры изгибающих моментов М_Х и поперечных Q_Y сил. Определить для узла С горизонтальное перемещение f _гор.

 

Э.С.

О.С.

 

Рис. 1. 29

Решение

Определяем степень статической неопределимости рамы. В  опорах возникают четыре опорные реакции. Тогда степень стати-ческой неопределимости S равна:

S = 4 – 3 = 1.

Решаем задачу методом сил. Выбираем основную систему (О.С.), отбрасывая опору В и снимая все нагрузки.

Загружаем (О.С.) заданными нагрузками и «лишней» неизве-стной Х₁  , приложенной вместо опоры В. Получаем эквивалентную систему (Э.С.).

 

Каноническое  уравнение имеет вид:

 

.

Для определения коэффициентов уравнения  и  строим эпюры изгибающих моментов от Х₁ = 1 (Эп. М₁) и заданных нагрузок  (Эп. M_F)  рис. 1.30.

 

Построение эпюры изгибающих моментов от заданных сил.

 

Участок ВС  (0 ≤ Z ₁ ≤ l ):

М_Х = Fl .

 

 

Рис. 1. 30

Участок СА ( 0 ≤ Z ₂ ≤ l):

 

По найденным значениям M_X строим эпюру изгибающих мо-ментов (Эп. M_F).

Перемножаем эпюру от М₁ саму на себя и находим коэффициент :

=  .

Перемножаем эпюру от заданных нагрузок (Эп. M_F) на эпюру от единичной силы (Эп. M ₁) и находим коэффициент : 

= .

Определяем значение «лишней» неизвестной Х₁:

.

Рис. 1. 31

Прикладываем в эквивалентной системе силу Х₁ с учетом знака и строим эпюры изгибающих моментов М_Х  и поперечных сил Q_Y.

 

Участок СВ (0 ≤ Z₁ ≤ l):

 

M_X = Fl – 1,5 F · Z ₁ ;

т. В Z ₁ = 0, M_X = Fl; т.С Z ₂ = l, M_X = -0,5 Fl.

 

Участок СА (0 ≤ Z ₂ ≤ l):

 

M_X = Fl – 1,5 Fl + F · Z ₂ ;

т. С Z₂ = 0, M_X = - 0,5Fl; т. A Z₂ = l, M_X = 0,5Fl.

Соответствующие эпюры М_Х и Q_Y показаны на рис. 1.31.

Проверка решения. Перемножаем построенную эпюру М_Х на единичную эпюру (Эп. М₁), показанные на    рис. 1.32 .

 

Рис. 1.32

 

EJ_X П =  =

= .

 

Определение перемещения узла С в горизонтальном направлении - f _гор .  К основной системе в узле С рамы в заданном направлении приложим силу F ¹ = 1.

Построим эпюру изгибающих моментов . Методом Мора, используя правило Верещагина, вычисляем перемещение f _гор .

 

 =  =

= .

 

 

Знак минус в полученном выражении означает, что перемещение узла  С рамы происходит в противоположном направлении к  принятому направлению = 1.

 

ЗАДАЧА 1.7.

Для, показанной на рис. 1.33 рамы построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, а также подобрать размеры прямоугольного сечения с размерами h и b  (h=2 b ).

Дано: F = 1,5 ql , q =25кН/м, l =0,6м.

 

 

Рис. 1.33

Решение

Рама имеет две опоры – жесткие заделки. В каждой из них возникают  три реакции – момент, горизонтальная и вертикальная силы. Таким образом получаем шесть реакций. Вычитая три урав-нения статики, устанавливаем, что рама  три раза статически неоп-ределима S = 3.

Однако рама, вместе с приложенными нагрузками, обладает симметрией относительно вертикальной оси. В этом случае если разрезать раму при выборе основной системы по оси симметрии, то вместе разреза будут возникать только две «лишние» неизвестные Х₁ и Х₂, а кососимметричные неизвестные Х₃ равны нулю. Таким образом получаем, что данная рама с приложенными к ней нагрузками два раза статически неопределима. На рис. 1.34 показана основная система (О.С.) – рама разрезана по оси симметрии и эквивалентная система (Э.С.), когда к основной системе приложены лишние неизвестные Х₁, Х₂ и заданные нагрузки - сосредоточенная сила F и распределенная нагрузка q. 

   

Рис. 1.34

 

 

Записываем систему канонических уравнений метода сил:

 

 

Для определения коэффициентов канонических уравнений строим эпюры изгибающих моментов от Х₁ =1, Х₂ =1 и заданных нагрузок, которые  обозначены М₁,  М₂,  М _F  и показаны на рис. 1.35. 

Рис. 1.35

 

Перемножаем эпюру М₁  самое на себя:

;

Перемножаем эпюру М₁ на эпюру М₂:

;

Перемножаем эпюру М₂ самое на себя:

;

Перемножаем эпюру М₁  на эпюру М _F :

 

 

Перемножаем эпюру М₂ на эпюру М _F :

 

=

=2( .

 

Подставляем полученные значения коэффициентов в кано-нические уравнения, решаем систему и находим значения «лишних» неизвестных Х₁ и Х₂.

 

 

; .

 

Прикладываем Х₁ и Х₂ с учетом знаков к эквивалентной системе и строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 1.36).

 

Рис. 1.36

  

Участок  АВ ( 0 ≤ z ₁ ≤ ):

;

т. A ; т. В ; .

   

Q_y = - q · z ₁;

 

т. А z ₁ = 0; Q_y = 0; т. В z ₁ = l /2; Q_y =   .

 

Участок ВС ( 0 ≤ z ₂ ≤ l ):

;

 

т. В z ₂ = 0; ;

т. С z₂ = l; .

 

Рис. 1.37

Участок СД ( l ≤ z ₃ ≤ 2l ):

 

 

т. С  z₃ = l; ;

т. D z₃ = 2l; .

 

 

Выполним проверку правильности решения задачи. Перемножим полученную эпюру изгибающих моментов  М_Х  на эпюры от  М₁ и  М₂.

 

 

=

 

 

 =                                  

+ = 0.

 

Задача решена верно.

 

Определим размеры прямоугольного сечения рамы.

.

Приравнивая  = 100МПа; = ql ² ; q =25кН/м;       l =0,6м, и   зная W_X = (b·h ²)/12 и h = 2b,

 получим:  .    b =4·10^{-2 м,} h = 8·10^-2м.

 

ЗАДАЧА 1.8.

Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 1.38.      

 

Рис. 1.38

 

Данная рама имеет геометрическую ось симметрии и нагружена– кососимметричными силами F. Поэтому при ее разрезании, по оси симметрии,   как показано на рисунке, все симметричные силовые факторы равны нулю. Таким образом, задача один раз статически неопределима.

Каноническое уравнение метода сил:

 

.

Для вычисления коэффициентов этого уравнения строим эпюры изгибающих моментов от «лишней» неизвестной Х₁ = 1 и внешних сил - силы F . Эпюры М₁  и  М _F   даны на рис. 1.39.

Вычисляем значения коэффициентов этого уравнения.

Перемножаем эпюру М₁ самое на себя:

 

.

Рис. 1.39

 

 

Перемножаем эпюру М _F  на эпюру М₁:

.

 

Тогда        .

Рис. 1.40

Строим эпюры изгибающих моментов  М_Х   и поперечных сил  Q_Y  от заданной силы  F и подсчитанной «лишней» неизвестной Х₁ (рис. 1.40).

 

Проверка правильности решения задачи. Перемножаем эпюру М_Х   на эпюру М₁.

EJ_X П₁ = =

= 0.

Задача решена верно.

 

Объемная деформация

Наряду с линейной и угловой деформациями рассматривают и объемную е , т.е. относительное изменение объема в точке:

е = = .

Относительное изменение объема равно сумме линейных де-формаций по трем взаимно перпендикулярным осям.

С поворотом осей величина е не меняется.

Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния записывается (в главных напряжениях):

 

 = ,

=

= .

Относительное изменение объема равно:

 

е = /Е.

Из этой формулы следует, что изменение объема не происходит (е = 0) в двух случаях:

если 1 - 2µ = 0, т.е. при µ = 0,5;

если .

При растяжении ; . Поэтому растяжение сопровождается увеличением объема е > 0.

При сжатии ,   получим е < 0. Следовательно, при сжатии стержня его объем уменьшается.

Чистый сдвиг ; . Таким образом имеем, что при чистом сдвиге объем тела не меняется.

 

Эквивалентное напряжение

Напряженное состояние в точке может быть задано главными напряжениями. В общем случае все они не равны нулю. Для расчета на прочность оно заменяется эквивалентным (равнопрочным, т.е. имеющим такой же запас прочности) одноосным растяжением, которое и рассчитывается на прочность (рис.2.4).

Состояние А равноопасно состоянию В

Рис. 2.4

 

Теории прочности

Переход от сложного напряженного состояния к эквивалент- ному осуществляется по теориям (гипотезам) прочности.

В сопротивлении материалов изучаются следующие теории прочности:

1) теория наибольших нормальных напряжений

=   ;                                                 (2.4)

2) теория наибольших линейных деформаций

=  - µ (  + ) ;                          (2.5)

3) теория наибольших касательных напряжений

=  -  ;                                       (2.6)

4) теория удельной потенциальной энергии деформации изменения формы

 

 = (1/ ) ;   (2.7)

 

5) теория Мора

 =   - k ,  где k =   .                (2.8)

Здесь ,  предельные напряжения на растяжение и сжатие. В машиностроительных конструкциях часто встречаются детали, работающие на изгиб и кручение одновременно. В этом случае выделенный из детали элемент, находится под действием нормальных и касательных напряжений (рис. 2.5).

 

 

Рис. 2.5

При расчете пластичных материалов, одинаково сопротивля-ющихся растяжению и сжатию (обычные стали), в основном используют третью и четвертую теории прочности, а материалов с различными свойствами на растяжение и сжатие (закаленная сталь, чугун и др.) – теорию прочности Мора. 

Для такого частного случая двухосного напряженного состояния, принимая в формуле (2.2) , , , получают расчетные формулы (2.6) –(2.8) в следующем виде:

 

Теория 3       = ;                                         (2.9)

Теория 4 .  =   ;                                      (2.10)

Теория 5   = 0.5 (1-k)  + 0.5 (1+k) .        (2.11)

 

Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид нагружения бруса, при котором плоскость действия нагружающего момента М не совпа-дает ни с одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения (рис. 2.6).

 

 

 Рис. 2.6

Ядро сечения

Ядром сечения называется область в окрестности центра тяжести  сечения, обладающая следующим свойством. Если приложить силу F внутри или на границе ядра сечения, то во всем сечении напряжения будут одного знака.

Рис. 2.11

На рис. 2.11 показаны эпюры нормальных напряжений в сечении бруса, если сила приложена а) - на контуре ядра сечения, б) - внутри, г)  вне ядра сечения и в) - в центре тяжести сечения бруса.

ЗАДАЧА 3.1.

Элемент, показанный на рис. 3.1,а, находится под действием напряжений , , . Требуется найти величину главных напряжений и положение площадок, по которым они действуют.

 

Решение.

Для рассматриваемого элемента одна из главных площадок (плоскость хоу) известна. Требуется определить положение двух других главных площадок и значения главных нормальных напряжений, действующих на этих площадках. При подстановке значений напряжений в формулы нам потребуются следующие правила  знаков. Растягивающее нормальное напряжение  считается положительным, сжимающее – отрицательным. Касательное напряжение  положительно, если оно стремится повернуть элемент по часовой стрелке относительно оси, индекса которой нет в его обозначении (в нашем случае относительно оси z).

Рис. 3.1

Положение главной площадки к оси х определяется углом , значение которого вычисляем по формуле (2.3):

.

Откуда 

.

При > 0 элемент с главными площадками повернут отно-сительно исходного элемента против хода часовой стрелки,

при < 0 – в противоположном направлении.

В нашем случае элемент с главными площадками изображен пунктиром на рис. 3.1,б.

Значения главных напряжений, действующих по найденным гла-вным площадкам, определяются по формуле (2.2):

 

.

Вычисления по этой формуле приводят к следующим результа-там:

,

.

 

Эти же главные напряжения можно также получить, используя формулу для определения нормальных напряжений в площадках наклоненных к оси х  под углом α

 

,

в которую следует поочередно подставить кроме заданных напря-жений ,   и    значения углов:

 ; .

При     имеем:

22*sin .

При     имеем:

.

Учитывая принятое соотношение между главными напряжениями

 ≥  ≥ , получаем:

;  ; .

Далее следует показать найденные напряжения на элементе (см. рис. 3.1,б). При первом варианте определения главных напряжений надо большее из найденных напряжений  показывать на главных площадках, ориентированных к тем угловым точкам исходного элемента, к которым сходятся касательные напряжения. В случае использования второго варианта расчета трудностей с рас-становкой главных напряжений нет. 

Инвариантность суммы нормальных напряжений, действующих во взаимно перпендикулярных площадках двух разных по углу поворота элементов, проверяется по формуле:

 = const .

В нашей задаче    

52+ 25 +0 = 64.3 +12.7 + 0 = 77,

что подтверждает правильность вычислений.

 

Значение максимального касательного напряжения в плоскости, параллельной плоскости хоу, вычислим по формуле:

.

Это же значение  можно получить через главные напряжения, лежащие в плоскости, параллельной плоскости хоу. В рассматриваемом примере такими являются

 = 64.3 МПа и =12.7 МПа.

Тогда найдем

= (64.3 – 12.7)/2 = 25.8МПа.

 

Площадки, по которым действуют эти напряжения, наклонены к главным площадкам на угол . Нормали к площадкам с      составят с осью х угол:

;

 (повернуть против хода часовой стрелки);

(повернуть по ходу часовой стрелки).

 

При необходимости определения максимальных касательных напряжений без ограничения плоскости их расположения они нахо-дятся по формуле:

 

справедливой для любого вида напряженного состояния. В нашем примере

.

Это напряжение действует в площадке, равно наклоненной к площадкам  (максимального) и  (минимального) из главных напряжений.

ЗАДАЧА 3.2.

Ломаный брус (рис. 3.2) загружен силами  = 2кН, = 1кН, равномерно  распределенной нагрузкой интенсивностью q = 1 кН/м и моментом Т =1 кНм. Размеры бруса  a    = 1 м, с = 1 м.

Требуется подобрать:

на участке АВ – размер диаметра круглого сплошного сечения;

на участке ВС - размеры h и b ( h = 2 b ) прямоугольного се-чения. Материал бруса - сталь , = 160 МПа.

При расчетах использовать теорию прочности максимальных касательных напряжений.

Построение эпюр изгибающих и крутящего   моментов.    В сечениях бруса под действием приложенных внешних сил и моментов возникают изгибающие и крутящий моменты, поперечные и нормальная силы. При расчете на проч-ность таких брусьев влиянием поперечных и нормальных сил обычно пренебрегают. Поэтому для рассматриваемого примера эпюры поперечных и нормальных сил не строим.

Приступая к решению задачи, прежде всего, необходимо на каждом участке бруса (см. рис. 3.2,а) показать скользящую систему координат xyz   в сечениях А и В (ось z должна быть направлена вдоль оси бруса).

Далее, делая обход со свободного конца бруса по его контуру (переходя от одного участка к следующему участку бруса, наблюдатель не должен пересекать ось z ), записываем выражения изгибающих и крутящих моментов для текущих сечений каждого участка бруса.

Участок АМ:

(плоскость zy )   = 0; (плоскость zx ) = q  ; = Т.  

Участок МВ:

= = q (0.4 a )( -0.2 a ); = Т.

Участок ВЕ:

=  (0,6a); = T + q( 0,4 a) ; = - q(0,4a)(0,8a).     

Участок ЕС :

=  (0,6a); = T+q (0,4a)

= - q(0,4a)(0,8a).

 

Рис. 3.2

По полученным уравнениям, задаваясь значениями координаты z ,   подсчитываем величины ординат , ,     в начале и  конце каждого участка и строим соответствующие эпюры (рис. 3.2,б). Напоминаем, что эпюры изгибающих моментов строим со стороны сжатых волокон бруса, а эпюры крутящих моментов можно строить в любой плоскости, но обязательно следует указывать знаки.

 

Выявление наиболее нагруженных сечений участков бруса.

На каждом участке опасное сечение или несколько таких сечений, если есть сомнение, устанавливают путем анализа эпюр изгибающих и крутящих моментов. В рассматриваемом примере из построенных эпюр (см. рис. 3.2,б) следует, что на участке бруса АВ таким сечением является сечение В, а на участке ВС - сечение Е. Для проведения дальнейших расчетов рекомендуем опасные сечения изображать отдельно и в них показывать действующие изгибающие и крутящий моменты, а также соответствующие им эпюры нормальных и касательных напряжений.

 

Расчет диаметра круглого поперечного сечения бруса – на участке АВ.

На рис. 3.3,а изображено опасное сечение В. Показаны изгибающие моменты = 1,2 кНм,  = 0,32 кНм и крутящий момент   = 1 кНм.

Для бруса круглого или кольцевого поперечного сечения любая диаметральная ось является главной, поэтому при действии двух изгибающих моментов он не испытывает косого изгиба. Моменты могут быть приведены к суммарному

 .

Из эпюр нормальных   и касательных   напряжений (рис. 3.3,б) следует, что наиболее опасными точками в рассматриваемом сечении будут точки 1 и 2. Материал бруса испытывает напряженное состояние растяжения - сжатия и сдвига, т.е. находится в условиях сложного напряженного состояния. Оценку прочности в этом случае необходимо проводить с применением одной из теорий прочности.

 Эквивалентное напряжение для такого случая двухосного напряженного состояния по теории максимальных касательных напряжений подсчитывается (2.9):

_{= .}

Зная, что для круглого сечения полярный момент сопротивления   (   - момент сопротивления сечения при изгибе), формулу (2.9), можно записать в виде:

,                   (3.1)

 

 

Рис. 3.3

где    и    - крутящий и изгибающий моменты.

Подбор безопасных размеров сечения (проектный расчет) проводится следующим образом. Для опасной точки вычисляют значение эквивалентного напряжения, в которое входит и неизвестная величина момента сопротивления сечения , выраженная через размеры сечения. Приравнивая эквивалентное напряжение допускаемому

,                                        (3.2)

вычисляют величину , а, следовательно, и безопасные размеры сечения.

Вернемся к рассматриваемому примеру. Из условия задачи следует, что материал бруса пластичный материал – сталь, одинаково сопротивляющаяся растяжению – сжатию. По теории прочности максимальных касательных напряжений эквивалентное напряжение для самой опасной точки 1 сечения определяется по формуле (3.1):

,

где было принято .

Учитывая (3.2), определим безопасную величину диаметра круг-лого сечения 

Округляя найденное значение в миллиметрах до ближайшего числа из стандартного ряда (см. приложение 2 , с.114) принимаем     

D = 48 мм.

 

Расчет размеров прямоугольного поперечного сечения бруса – на участке ВС.

Рассматривая участок ВС бруса прямоугольного сечения, необходимо показать изгибающие и крутящий моменты, действующие в опасном сечении Е, а также соответствующие им эпюры напряжений (рис. 3.4).

= 1,2 кНм ; = 1,2 кНм;    = 0,32 кНм.

Опасными точками сечения могут быть точки 1, 2. 3, т.к. согласно эпюрам, в этих точках напряжения достигают своих экстремальных значений.

В точке 1 складываются нормальные напряжения     от двух изгибающих моментов ,    и возникает одноосное напря-женное состояние:

,

 

Рис. 3.4

где  ,  - моменты сопротивления сечения на изгиб относительно осей х и у.

Учитывая, что h = 2 b , получим:

.

В точке 2 возникают нормальные напряжения  от момента  и касательные  напряжения от крутящего момента :

;  .

Здесь -  момент сопротивления сечения на кручение                        , где   - коэффициент, определяемый по таблицам в зависимости от отношения h / b (см., например, [1], стр. 125, табл. 2.1). Так, для   h / b  = 2,   = 0.246.

Напряженное состояние в данной точке двухосное (растяжение и сдвиг). Эквивалентное напряжение по теории прочности максимальных касательных напряжений следует находить по формуле (2.9):

Аналогично вычисляем нормальные и касательные напряжения для точки 3: ; ,

где  - коэффициент, определяемый так же, как и коэффициент  

Для h / b = 2   = 0.796.

Эквивалентное напряжение для этой точки:

После вычисления значений , ,  следует вы-брать наибольшее из них, приравнять его допускаемому   напряже-нию  = 160МПа (3.2) и определить размеры сечения b и h .

В рассматриваемом примере

.

 

Откуда b = 32.3 мм.

Используя приложение 2 (с.114), принимаем b =35 мм, h = 70 мм.

Пример. Для показанного на рис. 3.5 стального пространствен-ного ломаного бруса, имеющего круглое поперечное сечение диаметром d =0,05 м, используя четвертую теорию прочности, найти допускаемое значение силы F. В расчетах принять l = 0,5 м, [ ] = 160 МПа.

 

Рис. 3.5

 

Решение

 Брус статически определимый. На рис. 3.6 построены эпюры изгибающих  М_Х , М_У  и крутящих моментов  Т_К.

 

 

Рис. 3.6

 

Из анализа эпюр следует, что опасное сечение в заделке. В этом сечении значения изгибающих и крутящих моментов равны:

M_X = Fl;   M_Y = Fl; Т_К = Fl.

При расчете удобно пользоваться эквивалентным изгибающим моментом М_ЭКВ,  выражение которого определяется по формуле (энергетическая теория прочности):

.

Используя условие прочности:

,

Получим:

= 1,66 Fl .

 

Зная W _И = , имеем:

 

.

Откуда, подставляя заданные значения l = 0,5 м, d = 5·10^{-2 м,} [ , находим допускаемое значение силы F_ДОП = 2,36 кН.   

 

ЗАДАЧА 3.3.

Тонкостенная длинная замкнутая трубка (рис. 3.7,а) толщиной стенки  = 2 мм и средним диаметром D = 40 мм находится под действием внутреннего давления p  = 5 МПа и моментов М = 50 Нм,  Т = 50 Нм. Требуется определить коэффициент запаса трубки. Материал трубки – сталь У-8 незакаленная  = 250 МПа, = 430 МПа.

 

Определение напряжений в поперечных и продольных сечениях трубки. Решение задачи следует начинать с определения нормальных и касательных напряжений, возникающих в попе-речных и продольных сечениях трубки под действием прило-женных к ней внешних нагрузок. При этом следует рассматривать сечения, расположенные на достаточном удалении от концов трубки, где возникает однородное по ее продольной оси напряженное состояние. Для рассматриваемой трубки таким сечением является сечение 1-1.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения в этом сечении отдельно от М , Т , а также внутреннего давления р .

От действия внешнего момента М в поперечных сечениях трубки возникает изгибающий момент  = М . При этом максимальные  и минимальные   нормальные напряжения будут в точках С и В поперечного сечения трубки (рис. 3.7,б), и их следует определять по формулам:

; ,  где    - момент сопротивле-ния поперечного сечения трубки при изгибе.

Тогда                 .

Внешний  (скручивающий) момент Т вызывает в поперечных сечениях трубки крутящий момент    = Т.

Касательные напряжения      равномерно распределены по толщине стенки (рис. 3.7,с), и их следует подсчитывать по формуле:  ,

где    - момент сопротивления сечения трубки при кручении.

Величину необходимо определять как для тонкостенного кольца: .  Тогда:

.

Рис.3.7

Под действием внутреннего давления р     в продольных и поперечных сечениях трубки возникают нормальные напряжения  и    (рис. 3.7,д).

Напряжение     определим из формулы Лапласа:

+ =   ,

где       и       - радиусы кривизны поверхности трубки по направлениям действия напряжений      и  .

Принимая =D/2 ; ∞, находим:

.

Напряжение   установим следующим образом.

Действующее на крышку трубки давление p вызывает растя-жение трубки в осевом направлении силой .

Величину напряжения      получим, разделив значение этой силы на площадь поперечного сечения трубки A = ::

 

.

После определения напряжений в стенках трубки от каждого внешнего силового фактора следует провести анализ возникающего напряженного состояния в точках рассматриваемого поперечного сечения 1–1 (см. рис. 3.7,с).  

 

Анализ напряженного состояния материала трубки

В рассматриваемом поперечном сечении трубки 1-1 касатель-ные  и нормальные ,      напряжения одинаковы во всех точках, а нормальные напряжения  от изгибающего момента достигают экстремальных значений в точках С и В сечения. Значит опасными точками могут быть точки С и В (рис. 3.7,е).

Точка С.

Нормальные напряжения:

- по оси трубки = 25+20 = 45МПа.

- в окружном направлении = 50МПа.

Касательные напряжения:  = 10МПа.

Точка В.

Нормальные напряжения:   

- по оси трубки    = 25-20 = 5МПа;

- в окружном направлении  = 50МПа.

Касательные напряжения:  = 10МПа. 

Напряженное состояние рассматриваемых элементов точек – двухосное, т.к. напряжения в радиальном направлении можно принять  .

Сравнение полученных величин напряжений показывает, что наиболее опасной точкой поперечного сечения трубки является точка С. Максимальное и минимальное нормальные напряжения в главных площадках для этой точки находятся по формуле 2.2 (см. решение задачи № 3.1 c.62):

 

=(47.5± 10.3)МПа,

или  

= 57.8МПа, = 37.2МПа.

Главные напряжения для рассматриваемого элемента записыва-ются в алгебраическом порядке ( ) следующим образом:

= 57,8МПа,  = 37,2МПа ,  = 0.

Учитывая заданный материал трубки ( ), находим эквивалентное напряжение для рассматриваемой точки по теории прочности Мора (2.8):

·0 = 57,8МПа.

 

Определение коэффициента запаса

Из выше проведенных расчетов следует, что наиболее опасной точкой поперечного сечения трубки является точка С. В ней  

 = 57,8МПа.

Коэффициент запаса по текучести в этой точке определим по следующей формуле: 

= 4,33.

Если нельзя сразу указать опасную точку сечения, то следует провести расчет коэффициента запаса для каждой из точек С и В отдельно и выбрать  из них наименьший.

 

ЗАДАЧА 3.4.

Для показанного на рис. 3.8 пространственного ломаного бруса, имеющего круглое поперечное сечение и загруженного силой F = 1кН, подобрать диаметр d  сечения и найти угол поворота сечения А относительно главной центральной оси х.

Дано:  l = 1 м,  = 160 МПа, E = 2·10⁵ МПа, G=0,8 ·10⁵ МПа.

 

Рис. 3.8

Решение

Построим эпюры изгибающих и крутящих моментов, возника-ющих в сечениях бруса от приложенной нагрузки.

 

Рис. 3.9,а

 

Начинаем обход со свободного конца бруса.

Участок АВ ( 0 ≤ z ₁ ≤ l ):

рассматриваемая отсеченная часть бруса показана на рис. 3.9,б;

 

Рис. 3.9,б

 

Участок ВС ( 0 ≤ z ₂ ≤ l ):

отсеченная часть бруса дана на рис. 3.9,в;

переносим силу F  из точки А в узел В. Тогда на стержень ВС будут действовать сила F  и момент  Fl ,  приложенные в начальном сечении  В этого стержня;.

 

 

Рис. 3.9,в

 

M_X = F · z ₂;

т. В z₂ = 0, M_X = 0; т. С z₂ = l, M_X = Fl .

Т_К = - Fl .

 

Участок CD ( 0 ≤ z₃ ≤ 2l ):

отсеченная часть бруса изображена на рис. 3.9,г;

аналогично вышерассмотренному участку переносим силу F и момент Fl   из узла В в узел С – начальное сечение стержня СD.

На участке CD будут действовать изгибающий момент Fl, крутящий момент Fl  и поперечная сила F :

M_X = Fl - F · z ₃;

т.С z ₃ = 0, M_X = Fl; т. D z ₃ = l, M_X = - Fl ;

Т_К = - Fl. 

Полученные выражения и значения для М_Х, М_У и Т_К позволяют построить эпюры (рис. 3.9,а).

Анализ построенных эпюр показывает, что опасными сечениями бруса являются узловые сечения С стержней ВС и CD, а также сечение D стержня DC, где действуют наибольшие значения изгибающих и крутящего моментов и равные Fl.  

Подбираем размер диаметра d поперечного сечения бруса.

Рис. 3.9,г

На рис. 3.10 показаны общая расчетная схема этих сечений с действующими М_Х и Т_К, а также элемент напряженного состояния наиболее опасной точки сечения – т. 1. В  этой точке будут действовать одновременно нормальные и касательные напряжения. Элемент находится в плоском наряженном состоянии. Поэтому для оценки прочности воспользуемся одной из теорий прочности. По теории прочности максимальных касательных напряжений, применяемой для материалов, у которых пределы текучести материала при растяжении и сжатии одинаковы,  эквивалентное напряжение подсчитывается по формуле (2.9):

 

 .

Для круглого поперечного сечения напряжения равны:

 , .

Зная,  что W_P = 2 W_X = 0,2 d 3 и  введя эквивалентный изгибающий момент 

,

Запишем выражение для   в виде

.

 

Рис. 3.10

 

Откуда .

После подстановки числовых значений, найдем d  = 4,5·10^{-2 м.}  

Определим угол поворота сечения А относительно оси х. для этого приложим в сечении А относительно этой оси момент =1.

Эпюры изгибающих и крутящих моментов в брусе от этого момента показаны на рис. 3.9.

 

Вычисляем интеграл Мора:

 

=

= =

= =

= = - 0,04 рад

 

Тема 4.  РАСЧЕТ ВАЛА НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ УСТАЛОСТИ

 

В данной задаче студент должен решить вопросы, которые составляют следующие три раздела:

- проектировочный расчет вала на статическую прочность;

- конструирование вала;

- проверочный расчет вала на усталостную прочность.

 

Расчет диаметра вала

Для заданной конструкции вала (см. рис. 4.1,а) наибольшие значения эквивалентного изгибающего момента могут возникать в сечениях А и С. Если построить эпюры напряжений в опасном сече-нии (рис. 4.2), то элемент опасной точки К будет находиться в усло-виях плоского напряженного состояния (рис. 4.2,в). Условие прочности должно быть записано на основе одной из гипотез (теорий) прочности. В соответствии с условием задачи следует использовать гипотезу прочности максимальных касательных напряжений, что было учтено при записи формулы (4.2).

Условие прочности запишем в виде

 

,                                               (4.3)

где [ ] –допускаемое напряжение для материала вала, назнача-емое по табл. П.1 (см. приложение );

W _И – момент сопротивления изгибу.

Для вала круглого сплошного поперечного сечения , тогда из (4.3) получим  минимально допустимое значение диаметра вала  

.                                                 (4.4)

Рис. 4.1

              

Рис. 4.3                                        Рис. 4.4

Диаметр D ₂ в месте установки шестерни 2 (см. схему вала) следует округлить до ближайшего большего числа из стандартного ряда (ГОСТ 6636-86), включающего в себя следующие размеры: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 36, 38. 40, 42, 45, 48, 50, 52, 53, 55, 60, 63, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95,, 100 мм и далее через 10 мм.

Значение диаметра D ₁ в месте установки подшипников нужно округлить до ближайшего числа, оканчивающегося на 0 или 5 (согласование со стандартным рядом посадочных диаметров подшипников [ 8 ]).

 

Конструирование вала

Конструирование участков вала ведут с учетом найденных значений D ₁ и D ₂  на основе рекомендаций [5, 8], часть из которых приведена на схеме вала [9].

Из условий унификации, подшипники должны быть одинако-выми, поэтому диаметры опорных ступеней вала (сечений А и В ) равны D ₁. Если окажется, что D ₁ ≥ (D ₂ - 5) мм, то диаметр ступени под шестерню 2 следует принять равным D ₂ = (D ₁ + 5) мм. Радиусы r галтельных переходов назначаются r = (0,1…0,2)·d  (рис. 4.3). Основные размеры шпоночных соединений выбираются из стандарта табл. П.4  (см. приложение).  

При установлении вида обработки и чистоты поверхности необходимо иметь в виду следующее:

- все посадочные поверхности под подшипники шлифуют ( );

- шпоночные пазы изготовляют фрезерованием;

- радиусные (галтельные) переходы и посадочные поверхности под шестерни обрабатывают тонким точением ( );

- свободные поверхности вала имеют шероховатость ( );

- подшипники и зубчатые колеса монтируют на валу по посадкам с натягом  и  соответственно;

- между зубчатым колесом 1 и левым подшипником (опора А) стоит распорная втулка для силового замыкания в осевом направле-нии, имеющая свободную (с зазором) посадку на валу.

 

Разработанный эскиз вала вычерчивается в масштабе в строгом соответствии с существующими правилами черчения.

Выбор расчетных сечений

Устанавливают тип и число концентраторов напряжений и выбирают расчетные сечения.

 

Пример решения вала с насаженными на него двумя шестернями

Рассмотрим расчет вала, схема которого показана на рис. 4.5,а, а конструкция – на рис. 4.5,б.

Рис. 4.5

 

Исходные данные:

F _{1 X} = 12,3 кН, F _{1 Y} = 4,47 кН – силы в зацеплении прямозубой шестерни 1 , соответственно окружная и радиальная;

F _{2 X} = 6,15 кН, F _{2 X} = 2,28 кН, F _{2 Z} = 1,08 кН –силы в зацеплении косозубой шестерни 2, соответственно окружная , радиальная и осевая;

l ₁ = 100 мм, l ₂ = 165 мм – линейные размеры;

R₁ = 100 мм, R₂ = 200 мм – радиусы начальных окружностей;

Сталь 45 – материал вала.

Вал вращается в подшипниках А и В и работает в области многоцикловой усталости (N₀ > 10⁷ циклов) в установившемся режиме.

Необходимо:

1) построить эпюры изгибающих моментов М_Х, М_У;

2)  построить эпюру суммарных изгибающих моментов М_И;

3)  построить эпюру крутящих моментов Т_К;

4)  построить эпюру эквивалентных изгибающих моментов М_ЭКВ, рассчитанных по гипотезе прочности максимальных касательных напряжений;

5)  подобрать диаметры вала из условия статической прочности;

6)  назначить геометрические размеры;

 7)  выполнить проверочный расчет вала на усталостную прочность.

 

 

4.4.1. Проектировочный расчет вала на статическую прочность (вопросы 1 - 5)  

Построение эпюр изгибающих моментов М_Х, М_У. Составим расчетную схему вала в виде двухопорной балки, представленной на рис. 4.6,а. После переноса на вал всех сил, действующих на шестерни, появляются два скручивающих момента в сечениях Д и С:

 

Т₁ = F _{1 X} ·R₁= 12,3·01 = 1,23 кНм;

 

Т₂ = F _{2 X}·R₂ = 6,15·0,2 = 1,23 кНм,

 

а также и изгибающий момент в сечении С

 

M = F _{2 Z}·R₂ = 1,08·0,2 = 0,216 кНм.

 

Опору А выбираем шарнирно – подвижной, а опору В - шарнирно – неподвижной. Из рис. 4.6,а следует, что вал работает на совместное действие сжатия, кручения и изгиба в вертикальной (Z0Y) и горизонтальной (Z0X) плоскостях. Влиянием сжатия и поперечных сил на нагруженность вала пренебрегаем. Кручение и изгиб рас-смотрим отдельно, используя принцип независимости действия сил.

Изгиб в вертикальной плоскости  Z0Y  (рис. 4.6,б).

Определим реакции опор Y_A и Y_B из уравнений равновесия:

∑M_B = 0; - F _{1 Y} ·0,43 + Y_A ·0,33 – F _{2 Y} · 0,165 + M = 0,

 

откуда  = 6.31 кН,

∑М_А = 0;   - Y_B ·0,33 + M – F _{2 Y} ·0,165 = 0,

 

откуда Y_B =  = 0,44 кН.

Проверка:∑Y =- F _{1 Y} + Y_A – F _{2 Y} + Y_B = - 4,47+ 6,31- 2,28 + 0,44 = 0.

 

Найдем изгибающие моменты М_Х в характерных сечениях вала (в сечениях А, С, D и В).

 

М_Х(А) = - F _{1 Y} ·0,1 = - 4,47 ·0,1 = - 0,447 кНм;

 

М_Х(С)_ЛЕВ = - F _{1 Y} · 0,265 +Y_A · 0,165= - 4,47 ·0,265 +

+ 6,31· 0,165  = - 0,143 кНм.

М_Х(С)_ПРАВ = Y_B · 0,165 = 0,44 · 0,165 = 0,073 кНм;

 

M_X(D) = M_X(B) = 0.

 

По полученным значениям строим эпюру М_Х (рис. 4.6, в).

 

Аналогично рассматриваем изгиб вала в горизонтальной плоско-сти Z0X (рис. 4.6,г).

 

 Определение суммарных изгибающих моментов М_И  и построе-ние их эпюры. Так как вал имеет круглое поперечное сечение, то изгибающие моменты М_Х и М_У можно свести к суммарному изги-бающему моменту М_И :

.

В сечениях А, С, D и В значения М_И будут соответственно равны:

 

 = 1,31 кНм;

 = 1,13 кНм;

= 1,122 кНм;

 

М_И(D) = М_И(В) = 0.

 

По полученным данным построим эпюру суммарных изгибаю-щих моментов М_И (рис. 4.6,е). На участке АС эпюра имеет нелиней-ный характер (пунктирная кривая выпуклостью вниз). Для упроще-ния вычислений эпюру на этом участке принимают линейной (спло-шная линия). При этом погрешность идет в сторону увеличения запаса прочности.

Построение эпюры крутящих моментов Т_К (рис. 4.6,ж). Два скручивающих момента Т₁ и Т₂ (см. рис. 4.6,а) вызывают кручение на участке АС крутящим моментом:

 

Т_К = Т₁ = Т₂ = 1,23 кНм.

Построение эпюры эквивалентных изгибающих моментов М_ЭКВ (рис. 4.6,з). Для бруса круглого поперечного сечения эквивалентные изгибающие моменты по теории прочности максимальных касатель-ных напряжений подсчитывают по следующей формуле:

 

.

 

Найдем значения М_ЭКВ в характерных сечениях вала:

 

 = 1,23 кНм;

 = 1,79 кНм;

 = 1,67 кНм;

= 1,122 кНм.

 

Участки эпюры, соответствующие интервалам вала DA и АС, нелинейны (пунктирные кривые с выпуклостью вниз). Как и в случае с эпюрой М_И, эти участки принимаем линейными (сплошные линии), а погрешность ведет к увеличению запаса прочности.

 

Подбор диаметров вала D ₁ и D ₂ (см. рис. 4.5,б) из условия стати-ческой прочности. Из эпюры М_ЭКВ видно, что наибольшие значения эквивалентного изгибающего момента соответствуют сечениям А и С. Минимально допустимое значение диаметра вала в сечении А:

 

 

Рис. 4.6

 = 0,0645 м.

 

Здесь [ ] – допускаемое напряжение для вала, которое принято равным 70 МПа (табл. П.1, см. приложение). При этом учитывалось, что изменение напряжений во вращающемся вале происходит по симметричному циклу, а материал – углеродистая сталь марки 45 ( =900 МПа, см. табл. П.2).

Аналогично найдем минимально допустимое значение диаметра вала в сечении С:

 

 = 0,0625 м.

 

 

Округлив полученное значение в миллиметрах D ₁ до ближайше-го большего числа, оканчивающегося на 0 или 5, получим D ₁  = 65 мм – диаметр сечений ступеней вала под подшипники.

Так как D ₂ < D ₁ , то диаметр сечения ступени вала под шестерню 2 в соответствии с рекомендацией (см. п. 4.2) принимаем равным

 

D₂ = D₁ + 5 = 65 + 5 = 70 мм.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Нормальные линейные размеры в диапазоне от 15 до 250 мм ряда Rа 40 (выдержка из ГОСТ 6636-86): 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 60, 63, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120 мм и далее через 10 мм.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 12-е изд., М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. -592 с.

2. Сборник задач по сопротивлению материалов/ Под ред. А.С.Вольмира. –М.: Наука, 1984. – 408 с.

 

3. Миролюбов И.Н., Алмаметов Ф.З., Курицын Н.А. и др. Сопротивление материалов: Пособие по решению задач. – 6-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Изд-во «ЛАНЬ», 2004. – 512 с.

 

4. Алмаметов Ф.З., Арсеньев С.И., Курицын Н.А. и др. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов: Учебное пособие. -3-е изд., стер. –СПб.: Изд-во «Лань», 2005. -368 с.

 

5. Серенсен С.В., и др. Валы и оси. Конструирование и расчет. 2-е изд., перераб. –М.: Машиностроение, 1970. -320с.

 

6. Стародубец Н.А., Рыбакова М.Р., Щербаков В.И. Сопротивление материалов. Теория и задачи. Растяжение, кручение, геометрические характеристики плоских сечений, изгиб. Методические указания к выполнению расчетно – графических заданий, самостоятельной подготовке к зачету и экзамену по курсу «Сопротивление материалов» для студентов- заочников/

Под ред. Н.А. Крамского.- М., МГТУ «МАМИ», 2011. -83с.

7. Щербаков В.И., Боков Р.В., Порядков В.И.  Расчеты на устойчивость, сопротивление усталости и динамические нагрузки:.

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по курсу «Сопротивление материалов». М.: МАМИ, 2011.- 60с.  

8. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Конструирование узлов и деталей машин. –М.:Машиностроение, -1985. -564с.

 

.

 

Учебное издание

 

Щербаков Владимир Иванович

Рыбакова Маргарита Романовна

Стародубец Николай Александрович

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Теория и задачи.

Статически неопределимые системы, сложное напряженное состояние, сопротивление усталости.

Методические указания к выполнению расчетно – графических заданий, самостоятельной подготовке к зачету и экзамену по курсу «Сопротивление материалов» для студентов заочников

 

Под редакцией Крамского Николая Алексеевича

 

 

По тематическому плану внутривузовских изданий учебной литературы на 2013 г.

 

Подписано в печать         Формат 60 90 1/16. Бумага 80 г/м²

Гарнитура «Таймс». Ризография. Усл. печ.л. 5,0

 Тираж 200 экз. заказ №

 

----------------------------------------------------------------------------------

МГМУ «МАМИ»      107023, г. Москва, Б.Семеновская ул., 38

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

 

 

ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

 

 

Статически- неопределимые системы, сложное напряженное

состояние, сопротивление усталости

 

 

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий, самостоятельной подготовке к зачету и экзамену по курсу «Сопротивление материалов» для студентов заочников

 

Под редакцией проф., к.т.н. Н.А.Крамского

 

Москва 2013

 

Разработано в соответствии с Государственным образовательным стандартом ВПО 2009г. для специальностей

 

 

на основе рабочей программы дисциплин «Сопротивление материалов» и «Механика твердого тела»

 

 

Рецензенты:

Профессор кафедры «Сопротивление материалов» МГМУ «МАМИ»

к.т.н. Осипов Н.Л.

 

 

доцент кафедры «Сопротивление материалов» МГМУ «МАМИ»

к.т.н. Чабунин И.С.

 

 

Работа подготовлена на кафедре «Сопротивление материалов»

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. Теория и задачи. Статически-неопределимые системы, сложное напряженное состояние, сопротивление усталости: методические указания к выполнению РГР, самостоятельной подготовке к зачету и экзамену по курсу «Сопротивление материалов» и «Механика твердого тела» для студентов заочного отделения

Щербаков В.И., Рыбакова М.Р., Стародубец Н.А.  – М.:Университет машиностроения «МАМИ», 2013. -116 с.

 

 

Методические указания включают краткие теоретические сведения по основным разделам второй части курса сопротивления материалов, а также примеры решения типовых  задач расчетно – графических работ, выполняемых студентами заочной формы обучения

 

© кафедра «Сопротивление материалов» Университет машиностроения, 2013.

©Щербаков В.И.., Рыбакова М.Р., Стародубец Н.А., ред.Крамской Н.А.,2013.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Тема 1. Статически – неопределимые системы……………....4

Степень статической неопределимости . Построение эпюр M_X , Q_Y , N_Z  в статически определимых рамах, определение перемещений

Задача 1.1……………………………………………………….….6

Задача 1.2… ………………………………………………….…11

Задача1.3...……………..……………………………………… 14

Метод сил для решения статически неопределимых рам и балок…………………………………………………………………..18

Пример расчета один раз статически неопределимой балки и определение перемещений…………………………………………..20

Задача 1.4…………………………………………………………24

Задача 1.5. Два раза статически неопределимая балка………29

Задача 1.6. Решение один раз статически неопределимой рамы……………………………………………………………….….39

Задача 1.7. Решение симметричной рамы….….…….……....43

Задача 1.8. Решение кососимметричной рамы…………..…...49

2. Тема 2. Анализ напряженного состояния в точке….. ……..51

Эквивалентное напряжение. Теории прочности….…….…....56

Косой изгиб……………..……………………………………….58

3. Тема 3. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии

Задача 3.1………………………………….……………..……...63

Задача 3.2. Расчет ломаного бруса…………………….….….. 67

Задача 3.3. Определение коэффициента запаса тонкостенной трубки…………………………….…………………………….……75

Задача 3.4. Определение перемещений в ломаном брусе…...80

4. Тема 4. Расчет вала на статическую прочность и сопротивление усталости………………………………………….…………………85

4.4. Пример решения вала с насаженными на него двумя шестернями……………………………………….………………….91

5. Приложение 1……………………..……………….……......107

6. Приложение 2…………………………………………….…114

7. ЛИТЕРАТУРА…………………………….………………..115

 

Тема 1. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

 

Стержневой системой называется конструкция, состоящая из жестко связанных каким-либо образом между собой брусьев (стержней).

Стержневая система называется плоской, если оси всех брусьев (стержней) располагаются в одной плоскости. В этой же плоскости действуют и внешние нагрузки, включая реакции опор.

Фермой называется  стержневая система, элементы которой в основном работают на растяжение или сжатие. Для ферм характерно шарнирное соединение стержней между собой и приложение нагрузок к узлам (рис. 1.1).

 

     

Рамой называется стержневая система, элементы которой главным образом работают на изгиб. Для рамы характерно жесткое соединение стержней между собой и произвольное приложение нагрузки (рис. 1.2).

Кинематической связью называется ограничение перемещения (линейного или углового) какого-либо поперечного сечения бруса (стержня).   Связи разделяют на внешние и внутренние. Внешние связи ограничивают перемещения отдельных сечений стержней относительно опорной поверхности. Эти связи создаются различными типами опор. Внутренние связи исключают взаимные перемещения концевых сечений стержней за счет соединения стержней узлами.

 

Типы опор. Опорные устройства бывают следующими:

- шарнирно-подвижная опора (рис. 1.3,а);

- шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.3,б);

-заделка (рис. 1.3,в).

На рис. 1.3 показаны: R –полная реакция шарнирно –подвижной опоры; Y,Z – составляющие силовой реакции в шарнирно –неподви-жной опоре и заделке; М –момент в заделке.

 

Рис. 1.3

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться: