Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Задача 3. Довести співвідношення
Розв ’ язання. Нехай незалежними змінними будуть параметри і . Тоді та (1) З іншого боку, основне рівняння термодинаміки (3.13) можна записати у вигляді . (2) Оскільки ми вважаємо: розписуючи повні диференціали і підставляючи їх в (2), знайдемо: (3) Порівнюючи коефіцієнти в рівностях (1) і (3) при , отримуємо потрібний результат.
Задача 4. Показати, що теплоємність газу Ван-дер-Ваальса не залежить від об’єму. Розв ’ язання. За визначенням маємо (1) Треба довести
Розглянемо співвідношення (3.19):
Диференціюючи його за при V = const, отримаємо (2) Оскільки для 1 моля газу Ван-дер-Ваальса то для нього . Підставляючи цей результат в (2), знаходимо , тому й , що й потрібно було довести.
Задача 5. Визначити рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса в змінних . Розв ’ язання. Диференціальне рівняння адіабати (2.13) можна записати як (1) Використовуючи формулу (3.21) для , перепишемо (1) у вигляді
або (після очевидних скорочень) (2) З рівняння Ван-дер-Ваальса для 1 моля маємо (3) Тоді з урахуванням (3) і після розділення змінних рівняння (2) набере вигляду (4) Інтегруючи (4), після алгебраїчних перетворень знаходимо
Якщо вважати , результат спрощується і рівняння адіабати набирає вигляду
Відзначимо, що в наближенні, коли це рівняння перетворюється на рівняння адіабати ідеального газу.
Задача 6. Яку роботу здійснює один моль газу Ван-дер-Ваальса при адіабатному процесі, коли його об’єм міняється від до ? Початкова температура дорівнює . Вважати Розв ’ язання. З першого начала термодинаміки для адіабатного процесу маємо або в розгорненому вигляді: (1) Беручи до уваги результати задачі 2 цього розділу, елементарну роботу , що здійснюється одним молем газу Ван-дер-Ваальса, можна записати як (2) Інтегруючи (2), знаходимо шукану роботу
де кінцева температура. Значення знайдемо з рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса (див. попередню задачу), згідно з яким , звідки
Задача 7. Два ідеальних гази з фіксованими об’ємами і постійними теплоємностями і знаходяться в початкових станах з температурами і відповідно. Вони адіабатно ізольовані один від одного. Яку роботу можна утворити, використовуючи перший газ у ролі джерела тепла, а другий у ролі поглинача до тих пір, доки не встановиться їх однакова температура ? Знайти вираз для . Розв’язання. Спочатку визначимо вираз для . Через адіабатну ізольованість газів зміна їх ентропії в цілому (при рівноважних процесах утворення шуканої роботи) дорівнюватиме нулю: (1) де і – зміна ентропій першого і другого газів відповідно від свого початкового стану до стану з температурою . З формули (3.4) і з урахуванням знаходимо (2) Підставляючи (2) в (1) і інтегруючи, отримаємо
звідки
Потрібну роботу можна отримати з закону збереження енергії як повне зменшення внутрішньої енергії газів. Дійсно, оскільки , внутрішня енергія , віддана першим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме , а внутрішня енергія , отримана другим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме
Отже,
Задача 8. Використовуючи властивості якобіанів (1.4), (1.6), довести співвідношення
Розв’язання. Ліву частину цієї рівності можна зобразити у вигляді Розглядаючи внутрішню енергію як функцію і , запишемо
Порівнюючи з формулою (3.13) знаходимо, що і Отже, маємо
Використовуючи результат задачі 1 цього розділу, остаточно отримуємо
що й потрібно було довести.
Задача 9. Довести, що для системи, внутрішня енергія якої не залежить від об’єму , сам об’єм залежить лише від відношення . Розв ’ язання. Згідно з (3.19), враховуючи умову маємо (1) Вважатимемо об’єм функцією і . Тоді
Підставляючи цю похідну в (1), знаходимо: Використовуючи результати задачі 2 з розділу 1, для трійки змінних можна записати
звідки одразу отримуємо (через те, що )
Аналогічно, розглядаючи як функцію і , переконуємося, що
З двох останніх рівностей випливає, що в умовах задачі об’єм є строго функцією .
Задача 10. Для ізотермічного і адіабатного модулів пружності довести співвідношення
Розв ’ язання. За визначенням (0.27) і (0.28) маємо і Отже,
Мовою якобіанів цю рівність можна представити у вигляді (1) З іншого боку, відношення на підставі результатів задачі 1 цього розділу дорівнює
або, використовуючи якобіани, (2) Порівнюючи праві частини в (1) і (2), переконуємося в шуканій рівності
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 201; Нарушение авторского права страницы