Закон Гаусса в дифференциальной и интегральной формах. Переход

Этот закон получен экспериментально и устанавливает связь между векторным полем Е и вели­чиной порождающего его заряда. Рас­смотрим некоторый объем V , ограниченный замкнутой поверхностью S (рис), если внутри объема V за­ключен суммарный электри­ческий заряд, то его ве­личина, деленная на элек­трическую постоянную ва­куума ε₀, численно совпадает с потоком векторного по­ля Е через поверхность S. Математически закон Гаусса в вакууме записывается как

Если рассматриваются точечные заряды, то величина q, может быть найдена алгебраическим суммированием. Если же заряд распределен непрерывно, то Q. определя­ется интегрированием плотности заряда р по объему V:

Закон Гаусса, выражаемый формулой, связы­вает поток вектора электрического поля с суммарным зарядом, заключенным внутри объема. Поэтому данная формулировка носит название закона Гаусса в инте­гральной форме. Пользуясь методами векторного ана­лиза, можно получить другую форму записи данного закона.

Поскольку объем V произволен, последнее равенство возможно лишь при тождественном совпадении подын­тегральных выражений. Таким образом,

Соотношение (1.13) носит название закона Гаусса в дифференциальной форме. Физически это соотношение в соответствии с определением понятия дивергенции означает, что источниками силовых линий электрическо­го поля могут являться лишь электрические заряды.

 

3. Закон неразрывности магнитных силовых линий

Экспериментально было обнаружено, что силовые линии вектора магнитной индукции В независимо от то­го, создается ли поле постоянными магнитами или катушками с током, образуют в пространстве замкнутые линии (рис. 1.4).

Для математического описания этого факта удобно, как это делается в векторном анализе, воспользоваться представлением силовых линий магнитного поля в виде

воображаемых линий тока несжимаемой жидкости. Расположим внутри области существования магнитного поля произвольный объем, ограниченный поверхностью S. Из замкнутости линий тока следует, что поток втекаю щей жидкости в точности равен потоку, вытекающему из объема. Таким образом,

Проводя операции, аналогичные изложенным в пре­дыдущем параграфе, будем иметь соотношение, спра­ведливое для бесконечно малой окрестности выбранной точки пространства:

Формулы служат математическими вы­ражениями закона неразрывности магнитных силовых линий в интегральной и дифференциальной форме соот­ветственно.

Эквивалентная формулировка рассмотренного зако­на состоит в том, что векторное поле В нигде не имеет источников. Другими словами, в природе реально не существует никаких магнитных зарядов, а следователь­но, и магнитные токи не имеют прямого физического смысла.

4.  Закон полного тока (Закон Ампера)

В начале XIX века датский физик X. Эрстед устано­вил важнейший для теории электромагнетизма экспери­ментальный факт, который заключается в том, что про­текание электрического тока по проводникам приводит к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля. Открытие Эрстеда позволило вы­дающемуся французскому учено­му Амперу сформулировать за­кон, носящий в настоящее время название закона полного тока.

Рассмотрим в пространстве воображаемый контур L , ограни­чивающий поверхность 5. Зада­дим на данном контуре направле­ние обхода так, чтобы движение вдоль контура с конца вектора элементарной площадки dS на­блюдалось в направлении против часовой стрелки (рис). Предположим далее, что поверхность S про­низывается некоторой системой токов, которая может носить как дискретный характер (например, система отдельных проводников), так и быть непрерывно распре­деленной (примером может служить электронный по­ток). Не указывая пока физической природы этих токов, для определенности полагать, что они распределены в пространстве непрерывно с некоторой плотность J_Σ. Тогда полный ток, пронизывающий контур, найдётся в виде

 

Закон полного тока гласит, что циркуляция по контуру L вектора напряженности магнитного поля, вы­званного протеканием тока I., равна полному току, т.е.

Соотношение формулирует закон полного то­ка в интегральной форме. Для того чтобы найти диффе­ренциальную форму этого закона, т. е. связать плот­ность полного тока в данной точке с напряженностью магнитного поля, следует воспользоваться известной из векторного анализа теоремой Стокса, которая гласит, что для любого векторного поля А справедливо равен­ство

откуда из-за произвольности выбранного контура получим

Формула является законом полного тока в диф­ференциальной форме.

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: