Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения, плотность распределения системы двух случайных величин

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится рассматривать две, три и большее число случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин. Условимся обозначать систему нескольких случайных величин (X, Y, Z, ..., W). При изучении системы случайных величин недостаточно изучить отдельные составляющие системы случайных величин; необходимо учитывать еще и связи, зависимость между ними.

В дальнейшем мы будем рассматривать систему двух случайных величин (X, Y). При этом удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы, а именно, систему двух случайных величин (X, Y) можно рассматривать как случайную точку на плоскости xOy с координатами X и Y или как случайный вектор на плоскости со случайными составляющими X и Y.

Пусть X и Y – случайные величины дискретного типа. Тогда закон распределения системы (X, Y) может быть представлен в виде таблицы распределения системы дискретных случайных величин.

 

Таблица 3.1.1

X\Y			· · ·
			· · ·
			· · ·
·	·	·	· · ·	·
			· · ·

 

Здесь .

Все возможные события , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n образуют полную группу попарно несовместных событий, поэтому .

Определение 3.1.1 . Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств , т. е.

                                          (3.1.1)

Геометрически функция распределения системы двух случайных величин (X, Y) представляет собой вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке (x, y) (рис. 3.1.1).

Данная геометрическая интерпретация позволяет наглядно проиллюстрировать следующие свойства функции распределения системы двух случайных величин.

Свойство 1. Если один из аргументов стремится к , то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу, т. е.

 

 или

 

Доказательство легко провести, отодвигая одну из границ квадранта на рис. 3.1.1 в ; при этом в пределе квадрант превращается в полуплоскость (рис. 3.1.2, 3.1.3).

 

           

Рис. 3.1.2                             Рис. 3.1.3

 

Вероятность же попадания случайной точки в такую полуплоскость есть функция распределения одной из величин, входящих в систему.

Свойство 2. Если оба аргумента стремятся к , то функция распределения системы стремится к единице, т. е.  или .

Доказательство. Действительно, при  квадрант на рис. 3.1.1 с вершиной (x, y) обращается во всю координатную плоскость xOy; попадание же случайной точки в нее является достоверным событием.

Свойство 3. При стремлении одного или обоих аргументов к  функция распределения стремится к нулю, т.е.  или .

Доказательство. Действительно, отодвигая ту или иную границу квадранта (или обе границы) в минус бесконечность, убеждаемся, что происходит вырождение квадрата, и поэтому вероятность попадания случайной точки в квадрат в пределе равна нулю.

Свойство 4. Функция распределения F(x, y) является неубывающей функцией по каждому аргументу, т.е. для : ; для : .

Доказывается аналогично на основе геометрической интерпретации функции распределения системы двух случайных величин.

Функция распределения системы двух случайных величин является универсальной характеристикой (законом) системы двух случайных величин, так как применяется для описания систем как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Система двух случайных величин непрерывного типа характеризуется плотностью вероятности распределения системы двух случайных величин.

Определение 3.1.2. Система двух случайных величин (X, Y) называется непрерывной, если существует кусочно-непрерывная неотрицательная функция  и такая, что для любых x, yÎR имеет место равенство

.                             (3.1.2)

Функция f(x,y) называется плотностью вероятности системы двух случайных величин или, иначе, совместной плотностью случайных величин X и Y.

Плотность вероятности обладает следующими свойствами

Свойство 1 . В точках непрерывности f(x,y) справедливо равенство

.                                        (3.1.3)

Свойство 2. Для любой области  имеем

.                             (3.1.4)

Свойство 3 (условие нормировки).

.                           (3.1.5)

Свойство 4. Каждая компонента непрерывной системы двух случайных величин имеет плотность вероятности, которая вычисляется по одной из формул:

, .                    (3.1.6)

Доказательство свойства 3. На основании формул (3.1.2) и свойства 2 для F(x,y) имеем

.

Доказательство свойства 4. С одной стороны, . С другой стороны, .

Примеры наиболее важных систем двух случайных величин

1. Равномерное распределение в области D системы двух случайных величин (X, Y)

Система двух случайных величин (X, Y) называется равномерно распределенной в области D, если совместная плотность f(x,y) случайных величин X и Y имеет вид

.

Постоянная С может быть определена из условия нормировки (3.1.5): , откуда . Здесь S(D) – площадь области D. Поэтому

.                                 (3.1.7)

2. Нормальное распределение вектора (X, Y.)

Случайный вектор (X, Y) называется распределенным по нормальному закону (закону Гаусса), если

.           (3.1.8)

Это распределение имеет пять параметров: . Можно показать, что , , r – коэффициент корреляции, выражающий связь между компонентами X и Y случайного вектора (X, Y).

3.2. Условные законы распределения.
Зависимые и независимые случайные величины

Если известно распределение системы двух случайных величин (например, совместная плотность X и Y – f(x,y)), легко получить распределение каждой из величин, входящей в систему (например, с помощью формулы (3.1.6)). Если теперь перейти к обратной задаче: по известным законам распределения отдельных компонент системы X и Y, найти закон распределения системы - эта задача в общем случае неразрешима. Дело в том, что законы распределения каждой из случайных величин, входящих в систему, характеризуют каждую из случайных величин в отдельности, но ничего не говорят о том, как они связаны между собой; совместный закон распределения X и Y (закон распределения системы (X, Y)) должен содержать все сведения о компонентах системы, в том числе и о характере связей между ними. Это приводит к необходимости введения условных законов распределения.

Определение 3.2.1 . Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения этой случайной величины.

Пусть (X, Y) является системой дискретного типа и закон распределения ее представлен табл. 3.1.1.

Пусть в результате испытания случайная величина Y приняла значение ; при этом X примет одно из своих возможных значений  с вероятностями  соответственно. Обозначим условную вероятность того, что X примет, например, значение x_i при условии, что , через P ( x_i / y_j ); она, вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности P ( x_i ).

Условным распределением компоненты X системы при  называется совокупность условных вероятностей:

.                     (3.2.1)

Аналогично определяется условное распределение компоненты Y системы (X,Y).

Используя теорему умножения двух случайных событий, соответствующих данной ситуации, условный закон распределения X при условии, что  может быть найден по формулам:

.

Вероятность (безусловная) вычисляется по формуле .

Аналогично находят условные законы распределения компоненты Y системы (X,Y) двух случайных величин непрерывного типа. Тогда условной плотностью  компоненты X при данном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения системы (X,Y) к плотности  компоненты Y:

.                    (3.2.2)

Различие между условной плотностью  и безусловной плотностью  состоит в том, что функция  определяет распределение X при условии, что Y принимает значения Y = y, а функция  определяет распределения X независимо от того, какие значения принимает Y.

Аналогично определяется условная плотность компоненты Y при данном значении X = x:

.                                   (3.2.3)

Формулы (3.2.2) и (3.2.3) можно записать в виде

   .                (3.2.4)

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

; .

 

Задача 3.2.1. Система двух случайных величин (X,Y) определена следующей таблицей распределения:

Таблица 3.2.1

X\Y
	0,15	0,30
	0,06	0,10
	0,25	0,03
	0,04	0,07

Найти условный закон распределения компоненты Х при условии, что компонента Y приняла значение y₂=6.

Решение. Условный закон распределения компоненты X при условии, что , определяется совокупностью вероятностей: . Принимая во внимание, что , имеем: 

Задача 3.2.2. Система (X,Y) имеет равномерное распределение внутри круга . Найти условные законы распределения компонент X и Y.

Решение. Совместная плотность равномерного распределения внутри круга  имеет вид . Найдем сначала условную плотность составляющей X при , при Y = y, |y|<R; имеем             

.

Так как f(x,y)=0 при , то при . Окончательно

                  (3.2.5)

Аналогично, условная плотность компоненты Y имеет вид

.                (3.2.6)

Ранее мы считали две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая случайная величина. Отсюда следует, что условные законы распределения независимых случайных величин равны их безусловным законам. Например, в случае когда система (X,Y) является системой непрерывного типа, это приводит к равенствам , , и, следовательно, в силу формул (3.2.2) и (3.2.3), имеем

                                              .                                           (3.2.7)

Условие (3.2.7) (и это можно строго доказать) является необходимым и достаточным условием того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми.

3.3. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Законы распределения системы случайных величин являются ее исчерпывающими вероятностными характеристиками. Однако в случае, если закон распределения системы неизвестен (или не может быть построен), используют числовые характеристики системы.

Определение 3.3.1. Начальным моментом порядка k+s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й степени X на s-ю степень Y:

                                            .                                         (3.3.1)

Формулы для начальных моментов  имеют следующий вид:

- для системы (X,Y) дискретного типа

                                           ;                                        (3.3.2)

- для системы (X,Y) непрерывного типа:

                                        .                                     (3.3.3)

На практике наиболее употребительными являются начальные моменты первого порядка: , , которые являются математическими ожиданиями компонент системы (X,Y).

Точку  называют центром рассеивания системы на плоскости.

Определение 3.3.2. Центральным моментом  порядка k+s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степеней соответствующих центрированных величин:

.                          (3.3.4)

Формулы для вычисления моментов  имеют следующий вид:

- для системы (X,Y) дискретного типа

;                             (3.3.5)

- для системы (X,Y) непрерывного типа

.                               (3.3.6)

Наибольшее применение имеют центральные моменты второго порядка. Два из них представляют собой известные ранее дисперсии величин X и Y:

                                 ,

.

Особую роль играет второй смешанный центральный момент , который называется корреляционным моментом. Он обозначается:

                                    .                                 (3.3.7)

Формулы для вычисления корреляционного момента имеют вид:

- для системы (X,Y) дискретного типа

                                    ;                                  (3.3.8)

- для системы (X,Y) непрерывного типа

                             .                           (3.3.9)

Корреляционный момент  характеризует, помимо рассеяния системы (X,Y) относительно точки рассеивания, степень связи между компонентами X и Y.

Определение 3.3.3. Случайные величины X и Y называются некоррелированными, если = 0.

Связь между некоррелированностью и независимостью выражается следующей теоремой.

Теорема 3.3.1. Если случайные величины X и Y независимы, то они некоррелированны.

Доказательство. Пусть X, Y - независимые случайные величины. Тогда, используя теорему о математическом ожидании произведения независимых случайных величин, имеем . Но, очевидно,  (и аналогично . Тогда .

Обратная теорема не имеет места, т. е. из некоррелированности случайных величин X и Y, вообще говоря, не вытекает их независимость.

Пример 3.3.1. Пусть система (X, Y) имеет равномерное распределение внутри круга , причем . Тогда

= 0.

Следовательно, случайные величины X и Y некоррелированны. Но, с другой стороны, эти случайные величины являются зависимыми (см. задачу 3.2.2).

Пример 3.3.2. Показать, что в случае нормального распределения системы (X,Y) из некоррелированности вытекает их независимость.

Действительно, в случае нормального распределения плотность распределения системы имеет вид

.

Если компоненты X и Y некоррелированные, то r = 0 и имеет место равенство

,

что и означает независимость случайных величин X и Y.

Для оценки степени связи обычно используют безразмерное отношение

                                                   ,                                             (3.3.10)

которое называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y.

Можно показать, что , поэтому . Если , то говорят, что между X и Y существует положительная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины, другая имеет тенденцию к возрастанию. Если , то говорят, что между X и Y существует отрицательная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины другая имеет тенденцию к  убыванию. Если , это означает, что случайные величины X и Y некоррелированны.

Если между случайными величинами X и Y существует линейная зависимость, то . Действительно, пусть . В этом случае

;

.

Тогда

.

Информацию о связи между компонентами X и Y системы (X,Y) несет корреляционная матрица , которая имеет вид

.

Матрица К является симметричной вследствие равенства .

Кроме корреляционного момента и коэффициента корреляции , взаимная связь двух случайных величин может быть описана с помощью линий регрессии .

Действительно, при каждом значении Х = х величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеяние своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается также в изменении средних значений Y при переходе от одного значения X к другому. Эту зависимость и описывает кривая регрессии

.                                     (3.3.11)

Аналогично, зависимость X от Y, которая сказывается в изменении средних значений X при переходе от одного значения Y = y к другому, описывается кривой регрессии 

.                                       (3.3.12)

Наиболее простым случаем будет тот, когда обе функции (3.3.11) и (3.3.12) линейны, так что обе линии регрессии будут прямыми линиями; они называются прямыми регрессии. В этом случае будем говорить о линейной корреляции между случайными величинами X и Y.

Выведем уравнения прямых регрессии. Пусть MX = m_x, MY = m_y, D_x = , D_y = , K_xy – корреляционный момент случайных величин X и Y. Будем искать уравнение прямой регрессии Y на X в виде , где параметры A и B подлежат определению.

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего равенства и учитывая, что , имеем, что . Далее

, откуда .

Таким образом, в случае линейной корреляции уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

.

Аналогично уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид

.

Если учесть, что , то уравнения прямых регрессии могут быть переписаны в симметричной форме:

;                                     (3.3.13)

.                             (3.3.14)

Из уравнений прямых регрессии (3.3.13) и (3.3.14) видно, что обе прямые проходят через точку (m_x,m_y). Угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно:

,             .

Так как , прямая регрессии Y на X имеет меньший угол наклона к оси Ох, чем прямая регрессии X на Y. Чем ближе  к 1, тем меньше угол между этими прямыми; при = 1 прямые регрессии сливаются. При  прямые регрессии имеют уравнения  и , так что обе они параллельны соответствующим осям координат. В этом случае величины X и Y являются некоррелируемыми; для них , , т. е. условные математические ожидания совпадают с безусловными.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют системой двух случайных величин? Какова геометрическая интерпретация системы двух случайных величин?

2. Дайте определение функции распределения системы двух случайных величин и укажите ее свойства.

3. Дайте определение плотности распределения вероятности системы двух случайных величин и укажите ее свойства.

4. Как определить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в заданную область D?

5. Что называется условным законом распределения системы?

6. Какие случайные величины называют зависимыми? независимыми?

7. Какие вы знаете числовые характеристики системы двух случайных величин?

8. Что называется корреляционным моментом, коэффициентом корреляции?

9. Какие случайные величины называются коррелированными?

10. Следует ли из некоррелированности случайных величин их независимость и наоборот?

11. Напишите формулу для плотности распределения системы двух случайных величин, равномерно распределенной в области.

12. Напишите формулу для плотности нормально распределенной системы двух зависимых случайных величин; независимых случайных величин.

13. Совпадают ли понятия некоррелированности и независимости случайных величин для нормально распределенной системы?

14. Что называют корреляционной матрицей?

15. Дайте определение прямых регрессии и напишите их уравнения.

 

 

Задачи

1. Таблица закона распределения системы двух случайных величин имеет вид

X \ Y	1	2	3
1	1/18	1/12	1/36
2	1/9	1/6	1/18
3	1/6	1/4	1/12

Найти математические ожидания дисперсии случайных величин X и Y, а также корреляционный момент .

Ответ:

2. Производится два выстрела по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна p. Рассматриваются две случайные величины: X - число попаданий в цель, Y - число промахов. Построить таблицу распределения для системы (X, Y) и определить ее числовые характеристики

Ответ:

X \ Y	0	1	2
0	0	0
1	0		0
2		0	0

 

3. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Требуется: а) определить коэффициент А; б) вычислить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в квадрат ; в) найти и ; г) найти  и .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

4. Плотность распределения системы двух случайных величин (X, Y) задана выражением

.

Установить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми. Найти плотности распределения компонентов X и Y и их числовые характеристики, а также .

Ответ: X и Y - независимы;

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: