Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

⇐ ПредыдущаяСтр 21 из 22Следующая ⇒

Как известно, дисперсия является мерой рассеяния случайной величины. Сравнение дисперсий генеральных совокупностей поэтому может означать сравнение точности соответствующих им приборов или методов исследования с целью выбора того инструмента или метода, которые обеспечивают наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. меньшую дисперсию. Пусть генеральные совокупности X и Y распределены по нормальному закону. Пусть из этих совокупностей извлечены две независимые выборки с объемами соответственно и по ним найдены «исправленные» дисперсии . Требуется по «исправленным» дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий . Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные дисперсии отличаются друг от друга, и возникает вопрос, значимо или незначимо они отличаются.

Если в результате исследования выяснится, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии равны, различие «исправленных» дисперсий не является значимым и объясняется случайными причинами. Если же нулевая гипотеза отвергнута, то наличие «исправленных» дисперсий значимо, не может быть объяснено случайными причинами и является следствием того, что генеральные дисперсии совокупностей X и Y различны. В качестве критерия возьмем случайную величину , являющуюся отношением большей «исправленной» дисперсии к меньшей, т.е.

. (7.11.1)

Величина (7.11.1) при справедливости нулевой гипотезы представляет собой распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы , где – объем выборки с большей «исправленной» дисперсией; – объем выборки с меньшей дисперсией. Критическая область определяется видом конкурирующей гипотезы.

Правосторонняя критическая область

Пусть при нулевой гипотезе конкурирующей является гипотеза . В этом случае речь идет об односторонней (правосторонней) критической области, которая находится исходя из требования, чтобы

_кр , (7.11.2)

где – принятый уровень значимости.

По выборочным данным и величине (7.11.1) находим наблюдаемое значение критерия _наб, _кр находят по заданному уровню значимости и числам степеней свободы по табл. 9 приложения критических точек распределения Фишера-Снедекора приложения.

Двусторонняя критическая область

Пусть нулевая гипотеза при конкурирующей гипотезе . В этом случае, если обозначить через левую границу критической области, а через – правую, то двусторонняя критическая область определяется из следующих равенств:

. (7.11.3)

Правую критическую точку _кр отыскивают по уровню значимости и числам степеней свободы по табл. 9 критических точек распределения Фишера-Снедекора приложения.

Таблица не содержит левых критических точек, однако их можно и не отыскивать, т.к. нахождение правой критической точки _кр из второго равенства (7.11.3) обеспечивает попадание критерия в левую часть критической области. После нахождения правой критической точки _кр. найдем наблюдаемое значение критерия _наб. Если _наб> _кр – нулевую гипотезу отвергают; если _наб< _кр – нет основания отвергать ее.

Задача 7.11.1 По двум независимым выборкам объема нормальных генеральных совокупностей найдены «исправленные» дисперсии соответственно При уровне значимости = 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Решение. Подставив значения в формулу (7.11.1) для критерия, найдем наблюдаемое значение критерия _наб . По табл. 9 приложения критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости = 0,025 и числам степеней свободы найдем _кр = 3,59. Так как _наб _кр - нулевая гипотеза принимается, т.е. гипотезу о равенстве генеральных дисперсий можно считать согласующейся с результатами наблюдений.

7.12. Сравнение наблюдаемой относительной частоты
с гипотетической вероятностью наступления события

Пусть произведено достаточно большое число испытаний n, в каждом из которых некоторое событие наступает с вероятностью р, которое неизвестно. Требуется по относительной частоте проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетической вероятности , т.е. . Так как вероятность оценивается по относительной частоте, то требуется установить значимо или незначимо отличается относительная частота от гипотетической вероятности. В качестве критерия возьмем следующую случайную величину:

. (7.12.1)

Известно, что при случайная величина сходится по вероятности к . Нетрудно показать, что при больших n случайную величину К можно считать приближенно распределенной по нормальному закону . Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Двусторонняя критическая область

Пусть при конкурирующей гипотезе . Задаем уровень значимости ; двусторонняя критическая область определяется из условия, чтобы вероятность попадания критерия в эту область (в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна a). Левую и правую критические точки выбираем из условий

P (K<k_лев.кр)=a/2, P (K>k_пр.кр)=a/2.

В силу симметрии закона распределения К критические точки k_лев.кри k_пр.крсимметричны относительно точки z=0 и обозначаются соответственно -k_кри k_кр(рис. 7.12.1); поэтому задача сводится к нахождению k_кр.

Рис. 7.12.1

Так как P (0<K<k_кр)=Ф (k_кр) и P (0<K<k_кр)+P (K>k_кр)=1/2,

P (0<K<k_кр)=Ф (k_кр), P (K> k_кр)=a/2, то

Ф (k_кр)=(1-a)/2. (7.12.2)

Из равенства (7.12.2) по табл. 4 приложения определяется k_кр. Таким образом, критическая область определяется неравенствами: К<- k_кр, K> k_кр.

По формуле (7.12.1) и данным задачи определяем K_наб. Если |K_наб | < k_кр, нулевая гипотиза принимается; если же | K_наб | > k_кр, – принимается Н_0.

Правосторонняя критическая область

Пусть Н₀: р=р₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: р > р₀. В этом случае критическая область определяется из условия: P (K> k_кр)=a.

Так как P (0<K<k_кр) + P (K>k_кр) = 1/2, то

Ф (k_кр)=1/2-a. (7.12.3)

находим из формулы (7.12.3) по табл. 4 приложения. Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством (рис. 7.12.2).

Рис. 7.12.2

Если K_наб> k_кр – нулевая гипотеза отвергается.

Если K_наб< k_кр – нулевая гипотеза принимается.

Левосторонняя критическая область

Пусть при нулевой гипотезе конкурирующая имеет вид . В этом случае речь идет о левосторонней критической области, определяемой равенством P (K< k_кр) = a. (рис. 7.12.3)

Рис. 7.12.3

В силу симметричности распределения K относительно , заключаем, что k’_кр симметрична такой k_кр>0, что P (K > k_кр) = a., т.е. . Следовательно, находим сначала вспомогательную точку по равенству , а затем полагаем k’_кр = –k_кр.

Если – нулевая гипотеза отвергается.

Если – нулевая гипотеза принимается.

Задача 7.12.1. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота . При уровне значимости a=0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение. Находим сначала по табл. 4 приложения критическую точку для двусторонней критической области из равенства (6.4.2).

Находим по формуле (7.12.1) наблюдаемые значения критерия :

Очевидно, . Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Вопросы для самопроверки

1. Чем отличается выборочная совокупность от генеральной совокупности распределения?

2. Что называется эмпирической функцией распределения?

3. Что такое гистограмма?

4. Сформулируйте понятие точечной оценки параметра закона распределения случайной величины?

5. Какая оценка называется несмещенной? состоятельной? эффективной?

6. Какая оценка для математического ожидания обладает свойствами несмещенности и состоятельности в случае n независимых равноточных измерений?

7. Какая оценка для дисперсии распределения обладает свойствами несмещенности и состоятельности в случае n независимых равноточных измерений?

8. Что называется доверительным интервалом для точечной оценки параметра распределения?

9. Как находится доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону с известным s? неизвестным s?

10. В чем состоит идея метода моментов для нахождения оценок параметров распределения?

11. В чем состоит идея метода наибольшего правдоподобия для нахождения оценок параметров распределения?

12. Найти функцию правдоподобия для случайной величины дискретного типа и для случайной величины непрерывного типа.

13. В чем состоит различие задания выборочных данных системы случайных величин в случае несгруппированных и сгруппированных данных?

14. Написать уравнение прямых линий регрессии Y на X и X на Y по выборочным данным.

15. Какой вид имеет оценка для коэффициента корреляции двух случайных величин?

16. Сформулируйте задачу статистической проверки гипотез. Приведите примеры.

17. Что такое критерий и критическая область в методе статистической проверки гипотез?

18. Какими могут быть критические области и как они находятся?

19. В чем сущность, идея метода проверки гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции? Какой критерий используется?

20. В чем сущность метода проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия К. Пирсона (критерия c²) в случае полностью определенного гипотетического распределения?

21. В чем сущность метода проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности с помощью критерия c²в случае, когда гипотетическое распределение содержит некоторое количество неизвестных параметров?

22. Как производится сравнение генеральных средних двух распределенных по нормальному закону случайных величин методом статистических гипотез? Какой критерий при этом используется?

23. Как производится сравнение генеральных средних двух произвольно распределенных случайных величин в случае больших независимых выборок методом статистических гипотез?

24. Как производится сравнение генеральных средних двух нормально распределенных случайных величин в случае малых независимых выборок методом статистических гипотез? Какой критерий при этом используется?

25. Как производится сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей методом статистических гипотез? Какой критерий используется?

26. Как производится сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью события методом статистических гипотез?

Задачи

1. Найти эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной статистическим рядом:

Х	2	5	7	8
	1	3	2	4

Ответ:

2. Построить гистограмму относительных частот выборки, представленной в виде интервального статистического распределения

I	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
n_i	2	4	8	12	16	10	3

3. Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 школьников в возрасте 14 лет.

Х (рост)	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
n_i	10	14	26	28	12	8	2

Найти выборочное среднее и несмещенную выборочную дисперсию роста обследованных школьников.

Ответ: .

4. В течение продолжительного срока при анализе данного материала на содержание железа установлено стандартное отклонение 0,12%. Найти с доверительной вероятностью 0,95 доверительный интервал для истинного содержания железа в образце, если по результатам 6 анализов среднее содержание железа составило 32,56 %.

Ответ: I = (32,46; 32,66).

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10.

X	-2	1	2	3	4	5
n_i	2	1	2	2	2	1

Оценить с доверительной вероятностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочному среднему с помощью доверительного интервала

Ответ: = (0,3;3,7).

6. Сырье, поступающее на завод из карьера, содержит два полезных компонента - минералы A и В. Результаты анализов десяти образцов сырья, поступившего в разное время из разных мест карьера, приведены в таблице, где Х и Y - соответственно процентное содержание минералов А и В в образцах.

Номер образца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Х	67	54	72	64	39	22	58	43	46	34
Y	24	15	23	19	16	11	20	16	17	13

Найти выборочный коэффициент корреляции и уравнения прямых регрессии Y на Х и Х на Y. Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при .

Ответ:

является значимым.

7. Часы, выставленные в витринах часовых мастерских, показывают случайное время. Некто наблюдал показания 500 часов и получил следующие результаты:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	41	34	54	39	49	45	41	33	37	41	47	39

где - номер промежутка от -го часа до -го, , а - число часов, показания которых принадлежали -му промежутку.

Согласуются ли эти данные при уровне значимости a = 0,05 с гипотезой о том, что показания часов равномерно распределены на интервале (0, 12)?

Ответ: согласуются.

8. Распределение числового признака X в выборке определяется следующей таблицей:

I	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2
n_i	2	8	35	43	22	15	5

При уровне значимости = 0,01 проверить гипотезу о нормальности распределения Х в генеральной совокупности.

9. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны m = 60, n = 50, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние . Генеральные дисперсии известны . При уровне значимости a = 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Ответ: нулевая гипотеза отвергается. Z_наб = -12,5; Z_кр = 2,58.

10. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны m =5, n=6, извлеченных из нормальных совокупностей Х и Y, найдены выборочные средние и «исправленные» выборочные дисперсии . При уровне значимости a = 0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Ответ: нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. T_наб = 0,88; t_кр = 2,26.

11. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны m = 10, n = 18, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены «исправленные» выборочные дисперсии и . При уровне значимости a = 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Ответ: _наб = 3, _кр = 2,5. Нулевая гипотеза отвергается.

12. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота . По уровню значимости a = 0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Ответ: наб. = -1,23, кр. = 1,96. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

13. По 20-ти равноточным измерениям физической величины, имеющей нормальный закон распределения, найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение =1,42. Найти точность измерений с надежностью 0,95.

Ответ: .

8. Варианты контрольной paбoты № 1
по теории вероятностей

ВАРИАНТ 1

Задача 1. Три контролера проверяют стандартность однотипных деталей. Один из них успевает проверить вдвое больше, чем остальные (поровну) вместе. Вероятности допустить ошибку у них соответственно равны 0,5; 0,1; 0,2. Пропущенная деталь оказалась с браком. Какова вероятность, что ее пропустил первый контролер?

Задача 2. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Случайная величина X – разность между числом попаданий и числом промахов. Составить закон распределения случайной величины X и вычислить числовые характеристики.

Задача 3. Известно, что 3/5 рабочих никелевого завода имеет среднее образование. Для некоторого обследования наудачу выбирается 1500 человек. Найти вероятность того, что 920 человек из них имеют среднее образование.

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 5. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s нормального распределения случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (a,b); a= 7, s= 2, a=3, b=10.

Задача 6. Дисперсия каждой из 400 независимых случайных величин не превышает 0,25. Какой величины не должен превышать модуль разности средней арифметической этих случайных величин и средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,99.

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	-1	1	2
-3	0,1	0,15	0,05
1	0,2	0,25	0,25

ВАРИАНТ 2

Задача 1. В ящике находятся изделия, которые изготовили на трех станках, причем 20 изготовлены на первом станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках отличного качества соответственно равны 0,7; 0,85; 0,9. Извлеченное наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?

Задача 2. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле – 0,3. Случайная величина X - число израсходованных патронов. Составить закон распределения вероятностей случайной величины X, найти числовые характеристики этой случайной величины.

Задача 3. На проверку всхожести зерна берут 500 зерен. Установлено, что количество всхожих семян составляет 3/4 всего количества зерен. Найти вероятность того, что из взятых 500 зерен 400 окажутся всхожими.

Задача 4. Случайная величина X задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 5. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины X. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал a= 8, s= 4, a=4, b=9.

Задача 6. Имеется 3200 независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены. Какой должна быть нижняя граница этих дисперсий, чтобы отклонение средней арифметической данных случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превышало по абсолютной величине 0,25 с вероятностью, большей 0,96.

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (Х, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	1	3
-2	0,1	0,1
1	0,2	0,3
2	0,1	0,2

ВАРИАНТ 3

Задача 1. В первом ящике 120 изделий, из них 10 с браком, во втором ящике 50 изделий, из них 5 бракованных. Из 1-го ящика переложили во второй одно изделие. Какова вероятность того, что взятое из второго ящика изделие не имеет брака?

Задача 2. Производится серия из пяти выстрелов. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения числа попаданий в цель и вычислить числовые характеристики этого распределения.

Задача 3. Найти вероятность того, что при 100 независимых испытаниях частота появления события дает отклонение от его вероятности при отдельном испытании р = 0,6 не более, чем на 0,03.

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 5. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (a,b) а=9, s =5, a =5, b = 14.

Задача 6. Дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 5. Найти число n таких величин, при которых вероятность отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий по модулю не более, чем на 0,4 превышает 0,85.

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	-2	1	3
-1	0,15	0,1	0,35
1	0,15	0,2	0,05

ВАРИАНТ 4

Задача 1. Известно, что 96% изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, отвечает стандарту.

Задача 2. Монета подбрасывается 5 раз. Случайная величина X – число выпавших гербов. Составить закон распределения этой случайной величины и вычислить числовые характеристики (монету считать “правильной”).

Задача 3. В цехе работают 400 автоматов, каждый из которых в течение смены может потребовать внимания настройщика с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что 90 автоматов потребуют внимания настройщика в течение смены.

Задача 4. Случайная величина X задана функцией распределения F (х). Найти плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 6. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Произведено 100 независимых опытов, по которым вычислено . Вместо неизвестного значения математического ожидания а принято . Определить максимальную величину ошибки, допускаемую при этом, с вероятностью не менее 0,8.

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	-2	-1	0
1	0,1	0,05	0,15
3	0,2	0,25	0,25

ВАРИАНТ 5

Задача 1. Исследование больного вызвало предположение о возможности одного из 3-х заболеваний: Н₁, Н₂, Н₃ с вероятностями Р(Н₁)=5/12, Р(Н₂)=1/3, Р(Н₃)=1/4. Для уточнения диагноза был произведен анализ, который при первом заболевании может дать положительный ответ с вероятностью 0,8, при втором - с вероятностью 3/8, при третьем – с вероятностью 1/6. Анализ дал положительный результат. Какова после этого вероятность первого заболевания?

Задача 2. Производится 4 выстрела по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле одна и та же и равна 0,6. Составить закон распределения числа промахов и вычислить числовые характеристики.

Задача 3. Собрание в 100 человек принимает решение голосованием. Вероятность того, что каждый участник собрания принимает правильное решение равна 0,6. Какова вероятность, что решение собрания, вынесенное большинством голосов, будет правильным?

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 6. Дисперсия случайной величины X равна 2,5. По результатам 200 независимых опытов вычислена средняя арифметическая , которой заменили неизвестное значение М (Х)= а. Какое наименьшее значение вероятности того, что эта замена приведет к ошибке менее чем 0,25?

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	1	2	3
0	0,15	0,1	0,25
1	0,15	0,2	0,15

ВАРИАНТ 6

Задача 1. Литье в болванках поступает из 3-х заготовительных цехов: 60 штук из первого цеха, а из второго и третьего цехов соответственно в 5 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал из первого цеха имеет 10% брака, второго – 20%, третьего – 25%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка оказалась без дефектов.

Задача 2. Группа из 5 самолетов производит бомбометание по цели. Вероятность попадания в цель у каждого одна и та же и равна p=0,7. Составить закон распределения числа промахов и найти числовые характеристики этого распределения.

Задача 3. На сигнал определенного уровня приемник реагирует в 7 случаях из 10. Произведено 150 испытаний. Какова надежность, что отклонение относительной частоты от вероятности события при единичном испытании не превосходит 0,03?

Задача 4. Случайная величина X задана функцией распределения F (х). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 6. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превышает 5. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает 0,4.

Задача 7. Дана двумерная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	- 1	0
-1	0,05	0,15
2	0,15	0,15
3	0,2	0,3

ВАРИАНТ 7

Задача 1. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое меньше второго. Вероятность изготовить бракованную деталь на первом автомате равна 0,06, на втором 0,09. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?

Задача 2. Подбрасываются две игральные кости. Составить закон распределения суммы очков и вычислить числовые характеристики этого распределения.

Задача 3. Вероятность рождения мальчика 0,515. Чему равна вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика ?

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 6. Дисперсия случайной величины Х равна 4. Сколько требуется произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от ее математического ожидания менее чем на 0,5?

Задача 7. Дана двумерная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	- 2	3
-1	0,05	0,1
1	0,25	0,15
2	0,15	0,3

ВАРИАНТ 8

Задача 1. Из 1000 ламп 640 и 80 принадлежат соответственно первой и второй партиям, остальные – из третьей партии. В первой партии обнаружено 6% бракованных ламп, во второй – 5%, в третьей – 4%. Наудачу выбирают одну лампу. Определить вероятность того, что выбранная лампа годная.

Задача 2. На пути движения автомобиля четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомобилю дальнейшее движение. Составить закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки, а также математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 3. В страховом обществе застраховано 10000 лиц одного возраста одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица р=0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января 12 рублей страховых, и в случае его смерти родственники получают от общества 1000 руб. Чему равна вероятность того, что:

а) общество потерпит убытки;

б) общество получит прибыль, не меньшую 40000 руб.?

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F (x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 6. На поле 1500 Га для определения средней урожайности с каждого гектара взята проба с 1м². Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более, чем на 0,1 ц, если по каждому гектару поля дисперсия её не превышает 5.

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	-2	0
-2	0,25	0,15
-1	0,3	0,1
3	0,15	0,05

ВАРИАНТ 9

Задача 1. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой составляет 20%, второй – 45%, третьей – 35%. В продукции первой фабрики - 5% нестандартных изделий, в продукции второй - 2%, в продукции третьей - 1%. Наудачу взятое изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно произведено на второй фабрике.

Задача 2. Двое баскетболистов бросают мяч в корзину. Вероятности попадания у них соответственно равны 0,5; 0,6. Составить закон распределения числа промахов при однократном бросании каждого и вычислить числовые характеристики распределения.

Задача 3. Проверено 3000 лампочек. Доля брака в этой партии равна 0,15. Какова вероятность того, что отклонение выборочно установленной частоты брака от доли брака во всей партии не превышает по абсолютной величине 0,01?

Задача 4. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задача 5. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s нормального распределения случайной величины X. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (a,b); a=4, s=5, a=2, b=11.

Задача 6. С какой вероятностью можно утверждать, что отклонение среднего арифметического 1500 независимых случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0,6, если известно, что дисперсия каждой из величин не превышает 3.

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (X.Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	-2	-1	0
3	0,1	0,15	0,05
4	0,15	0,25	0,3

ВАРИАНТ 10

Задача 1. На сборке три ящика с радиолампами. В первом - 15 стандартных и 5 с браком, во втором - 10 стандартных и 2 с браком, в третьем - 20 и 5 соответственно. Вытащенная наугад лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она взята из первого ящика?

Задача 2. На сборку поступило 15 деталей, среди которых 3 детали с дефектами. Случайным образом берут 4 детали. Составить закон распределения числа бракованных деталей, попавших в эту группу и вычислить числовые характеристики этого распределения.

Задача 3. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК равна 0,15. Определить вероятность того, что среди 250 случайно отобранных деталей непроверенных окажется от 40 до 60 деталей.

Задача 6. Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин не превышает 4. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю окажется меньше 0,3.

Задача 7. Дана двумерная дискретная случайная величина (X, Y). Найти ее корреляционную матрицу.

X\Y	1	2
-1	0,1	0,1
2	0,2	0,2
3	0,3	0,1

9. Варианты контрольной работы № 2
по случайным процессам и математической статистике

ВАРИАНТ 1

Задача 1. Экосистема. Рассмотрим простейшую модель прохождения частиц фосфора в экосистеме пастбища, состоящей из почвы, травяного покрова, скота и внешнего окружения. Вероятности перехода из почвы – в почву, травяной покров и во внешнее окружение равны 3/5, 3/10, 1/10 соответственно; из травяного покрова в траву, почву и скот – 2/5,1/10,1/2; от скота в почву, скот и во внешнее окружение – 3/4,1/5,1/20. Внешнее окружение является поглощающим состоянием; попадающий в него фосфор в нем и остается. Пусть в настоящее время с равной вероятностью фосфор находится в почве или траве. Считая процесс прохождения фосфора в экосистеме марковским, найти вероятность того, что через два периода времени, частицы фосфора все еще будут находится в почве. Построить соответствующий ориентированный граф.

Задача 2. В парикмахерской три мастера, каждый из которых тратит на обслуживание одного клиента в среднем 15 мин. Клиенты образуют простейший поток со средним числом поступлений 12 чел./ч. Если все мастера заняты, клиенты становятся в очередь; в очереди может быть не более трех человек; остальные покидают парикмахерскую. Считая время обслуживания показательным, найти финальные вероятности, а также показатели эффективности работы данной СМО.

Задача 3. Дано распределение времени простоя одного фрезерного станка за смену (Х, мин.)

Х, мин.	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Кол-во станков	10	15	8	5	2

Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Задача 4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью g, зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s: =85,16; n=150; s=6; g=0,94.

Задача 5. С помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0,01 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности Х, если известны ее эмпирические и теоретические частоты:

	3	16	18	9	4
	5	15	15	11	4

Задача 6. Методами корреляционного анализа исследовать зависимость между выпуском продукции X (тыс.шт.) и себестоимостью одного изделия Y (тыс.руб.) на основе следующих данных. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при заданном уровне значимости a=0,05. Построить линейные уравнения регрессии.

X	40	50	60	70	80	90	100
Y	20	25	28	30	35	40	45

ВАРИАНТ 2

Задача 1. Маркетинг. Исследование рынка выявило характер поведения потребителей относительно трех сортов кофе – А, В, С. Анализ показал, что из покупателей, предпочитающих в некотором месяце сорт А, в следующем месяце 60% покупают снова кофе А, 30% переключаются на сорт В и 10% переходят к сорту С. Для сортов В и С проценты переключения потребительского спроса: 50% от В к А, 30% от В к В, 20% от В к С; 40% от С к А; 40% от С к В и 20% от С к С. Построить матрицу переходных вероятностей и граф состояний потребительского спроса. Какова вероятность того, что покупатель через 2 месяца будет пить тот же сорт кофе, который он потребляет сейчас, при условии, что в настоящее время потребитель с равной вероятностью пьет любой сорт кофе.

Задача 2. Железнодорожная сортировочная горка, на которую подается простейший поток составов с интенсивностью 4 состава в час, представляет собой трехканальную СМО с отказами. Время обслуживания состава на горке имеет показательное распределение со средним значением 20 мин. Найти финальные вероятности состояний СМО и основные показатели эффективности ее работы.

Задача 3. Имеются выборочные данные о дневной сборке хлопка (Х, кг).

Х, кг	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45
Число сборщиков	8	18	42	20	12

Задача 5. С помощью критерия Пирсона на уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности Х, если известны ее эмпирические и теоретические частоты:

	9	19	26	34	17	2
	12	23	31	24	14	3

Задача 6. Методами корреляционного анализа исследовать зависимость между выпуском продукции X (тыс.шт.) и себестоимостью одного изделия Y (тыс.руб.) на основе следующих данных. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при заданном a=0,05. Построить линейные уравнения регрессии.

X	1,2	3,0	4,3	1,0	4,0	1,7
Y	24,5	30,0	35,0	18,7	42,4	18,0

ВАРИАНТ 3

Задача 1. Финансы. Счета торговой фирмы за купленные товары должны быть оплачены в течение трех месяцев. Пусть вероятности оплаты в течение первого, второго и третьего месяца равны 0,3; 0,4; 0,5 соответственно. В случае неуплаты по счету в течение трех месяцев может сохраняться положительный баланс в пользу покупателя, после чего счет является безнадежным. Считая процесс марковским, найти вероятность того, что положительный баланс в пользу покупателя, появившегося впервые в первом месяце, сохранится еще через три месяца. Построить соответствующий граф состояний.

Задача 2. Фирма по недвижимости представляет собой двухканальную простейшую СМО с отказами. На ее вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью 4 заявки в час. Время обслуживания – показательное со средним временем обслуживания одной заявки 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 4 тыс.руб. Содержания одного канала обходится 2 тыс.руб./ч. Требуется решить: выгодно или нет в экономическом отношении увеличение каналов СМО с двух до трех?

Задача 3. Затраты времени на сборку прибора у 70-ти сборщиков цеха имеют следующее распределение:

Время, мин.	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
Число сборщиков	12	13	25	11	9

Задача 5. С помощью критерия Пирсона на уровне значимости a =0,01 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности Х, если известны ее эмпирические и теоретические частоты:

	5	17	13	9	6
	6	13	19	9	3

Х	0,9	2,2	3,5	4,8	6,1
Y	0,3	0,8	0,9	1,4	2

ВАРИАНТ 4

Задача 1. Прогноз погоды. Многолетние наблюдения за летней погодой в одном южном регионе показали, что вероятность дождливого дня равна 0,66, если в предшествующий день был дождливым и лишь 0,25, если накануне дождя не было. Вероятность отсутствия дождя равна 0,75, если его не было в предшествующий день, и лишь 0,34, если накануне шел дождь. Считая эту систему прогноза цепью Маркова с памятью в один день, найти вероятность того, что нынешняя погода (скажем, дождь) сохранится еще три дня. Построить соответствующий ориентированный граф состояний.

Задача 2. Сколько врачей необходимо иметь в травматологическом пункте, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, больной, нуждающийся в скорой помощи, незамедлительно был осмотрен, если на оказание помощи одному больному затрачивается 10 мин. Интенсивность потока больных – 10 больных в час. Считать поток больных простейшим, а время обслуживания показательным. Построить граф состояний, найти финальные вероятности состояний.

Задача 3. В таблице представлены статистические данные о пробеге 70 грузовых автомобилей до отказа подшипников крестовины карданного вала (в тыс. км).

Пробег автом. (в тыс. км)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
Кол-во автомобилей	23	24	11	9	3

	2	14	16	7	4
	4	12	15	9	3

Задача 6. Методами корреляционного анализа исследовать зависимость между выпуском продукции Х (тыс.шт.) и себестоимостью одного изделия Y (тыс.руб.) на основе следующих данных. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при заданном уровне значимости a=0,05. Построить линейные уравнения регрессии.

X	7	8	10	12	13	14
Y	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7

ВАРИАНТ 5

Задача 1. Энергетика. Потребление электроэнергии летом тесно связано с температурой воздуха. Поэтому производители электроэнергии должны учитывать вероятность установления жаркой, умеренно теплой или холодной погоды. Многолетние наблюдения за летней погодой в некотором регионе показали: вероятности перехода от жаркой погоды к жаркой, умеренной и холодной равны 1/3, 1/2, 1/6 соответственно; от умеренной к жаркой, умеренной и холодной 1/2, 1/3, 1/6; от холодной к жаркой, умеренной и холодной 1/3, 1/3, 1/3 соответственно. Считая процесс марковским, найти вероятность того, что в ближайшие 2 дня сохранится сегодняшняя погода при условии, что сегодня с равной вероятностью может быть жарко, умеренно тепло или холодно. Построить соответствующий ориентированный граф.

Задача 2. На коммутатор, имеющий три внешние линии связи, поступает в среднем в час 60 требований на связь. Средняя продолжительность разговоров 3 мин. Пусть время обслуживания показательное. Определить: а) вероятность отказа абоненту; б) среднее число занятых линий.

Задача 3. ОТК завода было проверено 5 партий по 100 изделий в каждой партии. Число обнаруженных бракованных изделий в партиях приведено таблице.

Номер партии	1	2	3	4	5
Число браков изделий	4	2	3	6	1

	6	18	14	10	2
	7	13	20	8	2

Х	10	15	20	25	30
Y	5	10	15	20	24

ВАРИАНТ 6

Задача 1. Экология. Дирекция предприятия утверждает, что вероятность выноса в море в течение одного дня частицы ртути, обнаруженной в стоках этого предприятия, 0,9. Если же эта частица оказывается на месте по прошествии нескольких дней, то вероятность ее выноса к морю остается равной 0,9. Частицы, вынесенные в море, обратно не возвращаются. Считая процесс марковским, найти вероятность того, что частица ртути освобожденная в процессе производства, будет находиться в сточных водах еще неделю. Построить соответствующий ориентированный граф.

Задача 2. Сколько необходимо иметь мест на станции технического обслуживания автомобилей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, автомобиль, нуждающийся в ремонте, обеспечивался местом для ремонта, если считать поток заявок простейшим, а время обслуживания - подчиняющимся показательному закону? Среднее время ремонта – одни сутки. В течение суток на станцию поступают в среднем 5 автомобилей. Найти финальные вероятности и вероятность отказа.

Задача 3. Дано распределение месячной зарплаты рабочих:

Месяч. зарплата	10000	11000	12000	13000	14000
Число рабочих	11	7	5	4	2

	4	10	15	10	6
	5	11	17	9	3

X	2	3	4	5	6
Y	1,9	1,7	1,8	1,6	1,4

ВАРИАНТ 7

Задача 1. Водоснабжение. Снабжение водой города осуществляется из некоторого естественного резервуара. Наблюдения в течение многих лет показали, что если резервуар был полон в начале лета, то он оказывался полным к началу следующего лета с вероятностью 0,8 независимо от состояния его наполнения в предшествующие годы. Если же резервуар к началу лета был незаполненным, то вероятность того, что к началу следующего лета он окажется полным, равна лишь 0,4. Считая процесс марковским, найти вероятность того, что резервуар будет полон к началу лета 2005 года, если известно, что заполнение его наблюдалось в 2000 году. Построить соответствующий ориентированный граф.

Задача 2. В пункте приема химической чистки работают две приемщицы. В среднем за 48 часовую рабочую неделю в приемный пункт обращаются 480 клиентов. Среднее время обслуживания клиента 5 мин. Считая поток клиентов простейшим, а время обслуживания показательным, найти: а) финальные вероятности состояний; б) вероятность простоя химчистки.

Задача 3. Имеются данные о распределении рабочих по числу обслуживаемых станков.

Кол-во обсл. станков	6	7	8	9	10
Число рабочих	22	33	89	40	16

	5	10	20	25	11	4
	6	14	28	18	6	3

X	34,2	29,1	23,2	40,3	31,1	18,0
Y	1,2	5,2	2,9	4,0	3,1	4,8

ВАРИАНТ 8

Задача 1. Социология. Социологи исследуют перемещения между различными профессиональными группами, различающимися по степени квалификации (условно обозначаемыми как высшая, средняя и низшая) при переходе от одного поколения к другому. Вероятность для следующего поколения перейти из высшей профессиональной группы в высшую, среднюю и низшую равны 0,45; 0,48; 0,07 соответственно; из средней в высшую, среднюю и низшую 0,05; 0,7; 0,25; из низшей – в высшую, среднюю и низшую 0,01; 0,5; 0,49 соответственно. Считая процесс марковским, найти вероятность для внука человека, относящегося к группе средней квалификации, находиться в группе высшей квалификации. Построить соответствующий ориентированный граф.

Задача 2. Имеется двухканальная СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход 400 руб. Содержание каждого канала обходится 200 руб/ч. Решить: выгодно или не выгодно в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех?

Задача 3. В таблице дан интервальный ряд распределения рабочих автотранспортного предприятия по стажу работы:

Стаж в годах	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
Число рабочих	160	210	100	70	20

	7	16	24	30	16	4
	10	20	30	22	12	3

X	3,2	2,2	4,0	3,2	4,8	4,8
Y	24,0	19,9	33,3	24,6	40,1	28,0

ВАРИАНТ 9

Задача 1. Реклама. Две компании А и В производят и продают в данном городе очень хорошее пиво. Ежегодно рынок этого города может поглотить 400 тыс.л пива. В настоящее время на долю компании А приходится 25% объема продажи пива, а на долю компании В – остальная часть. Компания А решает начать активную рекламную деятельность. В результате ежегодный объем продажи пива компанией А может возрасти на 100 тыс.л с вероятностью 0,6 и уменьшиться на столько же с вероятностью 0,4. Такой прогноз верен для тех лет, когда объем продажи в предшествующем году был отличен от нуля. Если же объем продажи падает до нуля, компания прекращает свою деятельность в этом городе.

Считая процесс марковским, найти вероятность того, что компания А будет продавать 300 тыс.л пива через два года после начала рекламной компании. Построить соответствующий ориентированный граф.

Задача 2. Автозаправочная станция (АЗС) имеет две колонки для заправки автомобилей бензином. Площадка возле нее допускает одновременное ожидание не более 4 автомобилей. Поток автомобилей, прибывающих на АЗС, – простейший с интенсивностью 1 автомобиль в 3 минуты. Время обслуживания автомобиля – показательное со средним значением 5 мин. Найти финальные вероятности состояний АЗС и показатели эффективности ее работы как СМО.

Задача 3. Дано распределение расхода материала на изготовление одного изделия:

Расход материала, см	240-250	250-260	260-270	270-280	280-290
Число изделий	4	6	5	3	2

	3	5	11	17	4
	4	9	15	9	3

X	2	3	4	5	6	7
Y	14	15	16	20	24	26

ВАРИАНТ 10

Задача 1. Генетика и демография. Пусть в некотором обществе у каждого мужчины имеется только один сын. И пусть рослый отец имеет сына высокого роста с вероятностью 0,6, сына среднего роста с вероятностью 0,2 и низкого сына с вероятностью 0,2. Отец среднего роста имеет сына высокого роста, среднего или низкого с вероятностями 0,1, 0,7, 0,2 соответственно. Низкорослый отец имеет сына высокого, среднего или низкого роста с вероятностями 0,4, 0,2, 0,4 соответственно. Считая процесс марковским, найти вероятность того, что правнук высокого мужчины будет низкого роста. Построить соответствующий ориентированный граф.

Задача 2. Железнодорожная касса имеет две кассы, в каждой из которых продаются билеты в два пункта А и В. Потоки пассажиров, приобретающих билеты в А и В – простейшие с интенсивностью 0,45 пас./мин. Время обслуживания пассажира – показательное со средним временем обслуживания 2 мин. Поступило предложение: с целью уменьшения очередей (в интересах пассажиров) сделать обе кассы специализированными - в первой продавать билеты только в А, а во второй - только в В.

Проверить разумность этого предложения с точки зрения показателей эффективности данной СМО.

Задача 3. Имеются выборочные данные по одному из цехов о дневной выработке

Х (детали)	31-33	33-35	35-37	37-39	39-41
Число рабочих	11	15	28	14	12

	5	34	25	13	5
	7	21	24	15	15

X	3	4	5	6	7
Y	10	8	7	5	2

Приложение

Закон распределения Пуассона Таблица П1

l m
l m	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
о	0,904837	0,818731	0,740818	0,670320	0,606531	0,548812
i	090484	163746	222245	268128	303265	329287
2	004524	016375	033337	053626	075816	098786
3	000151	001092	003334	007150	012636	019757
4	000004	000055	000250	000715	001580	002964
5		000002	000015	000057	000158	000356
6			000001	000004	000013	000036
7					000001	000003
l m
l m	0,7	0,8	0,9	1,0	2	3
0	0,496585	0,449329	0,406570	0,367879	0,135335	0,049787
1	347610	359463	365913	367879	'270671	149361
2	121663	143785	164661	183940	270671	224042
3	028388	038343	049398	061313	180447	224042
4	004968	007669	011115	015328	090224	168031
5	000696	001227	002001	003066	036089	100819
6	000081	000164	000300	000511	012030	050409
7	000008	000019	000039	000073	003437	021604
8	000001	000002	000004	000009	000859	008102
9				000001	000191	002701
10					000038	000810
11					000007	000221
12					000001	000055
13						000013
14						000003
15						000001
l m
l m	4	5	6	7	8	9
0	0,018316	0,006738	0,002479	0,000912	0,000335	0,000123
1	073263	033690	014873	006383	002684	601111
2	146525	084224	044618	022341	010735	004998
3	195367	140374	089235	052129	028626	014994
4	195367	175467	133853	091226	057252	033737
5	156293	175467	160623	127717	091604	060727
6	104196	146223	160623	149003	122138	091090
7	059540	104445	137677	149003	139587	117116
8	029770	065278	103258	130377	139587	131756
9	013231	036266	068838	101405	124077	131756
10	005292	018138	041303	070983	099262	118580
11	001925	008242	022529	045171	072190	097020
12	000642	003434	011264	026350	048127	072765
13	000197	001321	005199	014188	029616	050376
14	000056	000472	002228	007094	016924	032384
15	000015	000157	000891	003311	009026	019431
16	000004	000049	000334	001448	004513	010930
17	000001	000014	000118	000596	002124	005786
18		000004	000039	000232	000944	002893
19		000001	000012	000085	000397	001370
20			000004	000030	000159	000617
21			000001	000010	000061	000264
22				000003	000022	000108
23				000001	000008	000042
24					000003	000016
25					000001	000006
26						0'00002
27						000001

Таблица П2

⇐ Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 202122 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 604; Нарушение авторского права страницы