Экологический аспект проблемы

Введение

Предисловие

 

Испарение и конденсация частиц представляют собой наиболее существенный фактор, изменяющий спектр размеров аэродисперсной системы. В особенности это касается жидких частиц. Это проблема очень актуальна как в различных технологических приложениях, так и в окружающей нас природе. Достаточно сказать, что круговорот воды в природе происходит через фазы испарения и объемной конденсации. Дисперсный состав аэрозольных частиц при испарении оказывается определяющей характеристикой системы в целом. Именно распределение по размерам ответственно за радиационный баланс солнечного излучения, достигающего поверхности земли и определяющего все земные процессы. В карбюраторных и дизельных двигателях распределение по размерам частиц топлива определяет скорость их горения, а значит и процесс работы двигателя. Конденсационные туманы не только паров воды образуются при сгорании различных топлив, при этом образуется множество ядер конденсации, которые могут служить центрами конденсации для других паров, в том числе и воды. Конденсация пересыщенных паров воды на ионах, которые образуются при радиоактивном распаде различных элементарных частиц, служит индикацией этих элементарных частиц в камерах Вильсона.

Этот беглый обзор может служить убедительным доказательством актуальности проблемы.

 

Экологический аспект проблемы

 

Осознание важности экологических проблем, связанных с влиянием жизнедеятельности человека на атмосферу и гидросферу Земли, является одним из наиболее серьезных стимулов к изучению процессов, управляющих поведением дисперсных систем в целом и аэрозолей в частности. Сейчас уже понятно, что мы живем в эпоху серьезного кризиса технократических идей, подразумевающих неограниченное воздействие человека на среду обитания. Прагматично-потребительское отношение к природе оказывается настолько недальновидным, что во многих случаях речь идет буквально о выживании человечества в преобразованном им природном мире. Особенно показательными в этом отношении становятся различного рода техногенные аварии и катастрофы, участившиеся в последнее время.

Экология - далеко не единственная сфера, где имеют дело с дисперсными системами. Можно назвать массу природных объектов и множество технологических процессов, которые связаны с присутствием и применением аэрозолей:

· межзвездные и допланетные облака;

· вулканические выбросы;

· атмосферные процессы формирования и выпадения осадков;

· двухфазные течения, используемые в технологических процессах и установках;

· дисперсные среды для нужд пищевой и автомобильной промышленности, медицины и сельского хозяйства.

Это разнообразие физических проблем и технических приложений, а также целая совокупность необычных физических и химических свойств фактически позволяют отнести дисперсные системы к отдельному агрегатному состоянию вещества, которому внимание стало уделяться лишь в последнее время.

Очень важной причиной повышающегося интереса к аэрозолям является разнообразие и фундаментальный характер задач, которые возникают в физике дисперсных систем. Физическая кинетика, оптика, физика атмосферы, многофазная газодинамика, теория турбулентности - все эти разделы механики и физики необходимы для квалифицированного физика-аэрозолыцика и широко используются в классических работах Максвелла, Томсона, Айткена, Смолуховского, Эйнштейна, Колмогорова, Чандрасекара, Френкеля, Зельдовича и работах современных исследователей по физике дисперсных систем. Значительный прогресс в моделировании процессов формирования и динамики переноса аэрозольных примесей достигнут в последнее время, благодаря применению быстродействующих ЭВМ и использованию методологии численного эксперимента.

 

О дисперсных системах

 

Дисперсные системы - системы, представляющие собой механическую смесь частиц дисперсной фазы со средой-носителем. Такие системы являются широко распространенным объектом в природе и повседневной деятельности человека. Образование облаков и выпадение осадков, формирование аэрозольной компоненты земной атмосферы, эволюция допланетного роя и частиц межзвездной пыли, миграция дефектов в твердых телах, двухфазные течения в физических и промышленных установках, перенос в атмосфере различного рода промышленных и радиоактивных загрязнений - все это далеко не полный круг явлений, в которых решающую роль играют процессы, происходящие с дисперсными системами.

Обычно дисперсные системы подразделяют, исходя из агрегатного состояния частиц дисперсной фазы и среды-носителя. Ряд дисперсных систем получил отдельные названия:

· аэрозоли (взвесь твердых или жидких частиц в газовой среде, обычно в воздухе);

· эмульсии (жидкие частицы, обычно стабилизированные защитными оболочками, в жидкой среде)

· коллоиды (взвесь твердых частиц в жидкой среде);

· астрозоли (твердые или жидкие частицы в вакууме)

 

Кроме того, существуют дисперсные системы без устоявшихся названий: ансамбли газовых пузырьков в твердом теле или жидкости, ансамбли жидких капель в твердом теле и т. д.

Дисперсные системы обладают многими необычными физическими свойствами, которые требуют отдельного изучения и сказываются на практике. Так, отдельно взятая молекула вещества в газовом состоянии имеет одни свойства, в сплошном состоянии – другие свойства, а в состоянии аэрозоли (дисперсная фаза) уже совсем другие свойства, которые являются плавным переходом от газообразной к твёрдой фазе. Можно назвать своеобразную газодинамику, обусловленную различным движением среды-носителя и частиц дисперсной фазы; необычные оптические свойства, вызванные сравнимостью размеров частиц с длинами волн света и влиянием формы частиц; повышенную способность к взаимодействиям, вызванную чрезвычайно развитой поверхностью частиц. Особое место среди дисперсных систем занимают аэрозоли.

 

Атмосферные аэрозоли

 

Обычно классификация атмосферных аэрозолей проводится на основе их разделения по способам создания, материалам и характерным размерам частиц. При этом к аэрозолям обычно относят частицы со скоростями осаждения не больше, чем у капелек воды диаметром 100 мкм (крупные дождевые капли и осадки тем самым относят к отдельному классу).

Пыли состоят из твердых частиц, диспергированных в результате механического измельчения твердых тел (взрывы, горные работы и т. д.) или высыхания капелек с растворенными веществами или частицами (солевые частицы над океаном). В обыденном понятии пылью называют осадок твердых частиц на различных поверхностях, который легко переходит во взвешенное состояние. Материалы пыли самые различные, а размеры также колеблются в широких пределах - от субмикронных (0, 01 мкм) до микроскопических (100 мкм).

Дымы образуются при горении или возгонке летучих веществ, а также в результате химических и фотохимических реакций. Размеры дымовых частиц - от субмикронных до 5 мкм.

Туманы состоят из капелек жидкости, образующихся при конденсации пара или распылении жидкости. Сюда также включаются капли с растворенными веществами или содержащимися в них частицами. Природные туманы обычно состоят из капелек с диаметром до 10 мкм и более.

Капельки, а также частицы различных атмосферных загрязнений и пыли иногда называют дымкой, которая, на самом деле представляет собой комбинацию из трех названных выше основных классов аэрозолей. Систему, образующуюся в результате взаимодействия природного тумана с газообразными загрязнениями, называют смогом. Размеры частиц дымки и смога обычно - 1 мкм.

Промышленные аэрозоли, образующиеся при получении и обработке горючих материалов, способны за счет развитой поверхности к более интенсивному воспламенению, чем исходные вещества. При скоплении мелкодисперсной пыли таких материалов в замкнутых помещениях и наличии источников воспламенения может произойти взрыв.

В целом использование технологических процессов и работа производств, связанных с выходом аэрозолей в рабочие помещения или атмосферу, требует тщательной оценки экологической опасности и применения различных средств очистки. Особая чистота внутри помещений требуется при работе с радиоактивными материалами и в микроэлектронике. Допустимое содержание аэрозолей регламентируется при этом соответствующими нормативными документами. Ряд средств очистки и принципы их работы описаны в изданиях (Спурный и др., 1964; Грин, Лейн, 1972; Петрянов-Соколов, Сутугин, 1989).

Частицы атмосферных аэрозолей играют важную роль в процессах конденсации водяного пара и тем самым в формировании осадков. В метеорологии их просто называют ядрами конденсации, независимо от физических и химических свойств, а классификацию проводят по характерным размерам:

· частицы Айткена - r< 0, 1 мкм;

· большие частицы - r = 0, 1 + 1 мкм;

· гигантские частицы - r > 1 мкм.

Источники атмосферных аэрозолей принято делить на:

· естественные (вулканические извержения, конденсация водяного пара в атмосфере, выветривание пород, разбрызгивание капелек воды над океаном, космическая пыль)

Для иллюстрации приведем некоторые цифры (Хргиан, 1986). За счет космической пыли на Землю поступает в год (1, 4-2, 0)·10⁷ т вещества при общей массе атмосферы 5·10¹⁵ т. При пылевых бурях концентрация пыли в пустынных районах может достигать 300 мкг/м³, в Подмосковье до 30 мкг/м³, в районах Урала свыше 5 мкг/м³. За счет разбрызгивания капелек воды при ветре со скоростью порядка 12 м/с над океаном образуется до 500 мкг/м³ солевых частиц - вполне ощутимые количества.

· антропогенные - источники, обусловленные жизнедеятельностью человека (промышленные выбросы из дымовых труб, токсичные выбросы от автомобилей, пожары, взрывы, выветривание почвы в результате земледелия и открытой добычи ископаемых).

Это дает поступление (3-4)·10⁸ т аэрозолей в атмосферу за год. Концентрация аэрозольного смога, обусловленная фотохимическими реакциями с выхлопными газами, в промышленных центрах достигает 200 мкг/м³ (Хргиан, 1986), что вполне сравнимо с последствиями пылевых бурь. Промышленные и аварийные выбросы вредных веществ в атмосферу представляют собой непосредственную опасность для окружающей среды и населения. Во-первых, процессы переноса примесей в атмосфере настолько динамичны, что последствия таких выбросов сказываются практически сразу. Во-вторых, при выбросах в атмосферу загрязняется приземный слой воздуха и подстилающая поверхность (почва, водоемы, растительность), что приводит к непосредственному воздействию на окружающую среду и представляет собой последующую угрозу поступления вредных веществ в организм человека и животных.

Мощные или регулярные выбросы в атмосферу могут иметь и глобальные последствия. Поступление в атмосферу окисей серы, азота и хлора приводит к образованию водяных капель, содержащих кислоту, и к выпадению кислотных осадков. Выбросы окисей углерода сказываются на теплообмене в нижних слоях атмосферы и способствуют глобальному потеплению климата. Проведенный в 40-60-х годах воздушные ядерные взрывы на десятилетия изменили баланс радиоактивных веществ в атмосфере и вызвали выпадения радиоактивных осадков (Юнге, 1965; Стыро, 1968; Грин, Лейн, 1972; Кароль, 1972). Широкое применение хлор-(бром)-содержащих фреонов, а также выброс соединений азота повлияли на состав аэрозолей в тропосфере и озонового слоя земной атмосферы (Петрянов-Соколов, Сутугин, 1989; Владимиров и др., 1991). Выбросы радиоактивных веществ в результате Кыштымской и Чернобыльской аварий надолго нарушили нормальную жизнедеятельность в районах этих аварий (Владимиров и др., 1991; Кабакчи, Путилов, 1995). Из этих примеров видно, что экологическая опасность различного рода газообразных и аэрозольных выбросов в атмосферу заключается не только в непосредственном влиянии вредных выбрасываемых веществ на здоровье человека, но и имеет глобальный аспект, связанный с долговременными процессами изменения химического и дисперсного состава загрязнений, переносом веществ в тропосфере и стратосфере, влиянием загрязнений на массовые балансы веществ и температурные режимы в атмосфере.

Однако не следует полагать, что аэрозоли наносят только вред и должны применяться лишь с известными мерами предосторожности. Они широко используются в технологических процессах пищевой промышленности, применяются в медицине, служат для борьбы с сельскохозяйственными вредителями, являются необходимым элементом в физических установках и промышленных процессах, используются для изготовления материалов со многими полезными свойствами [33]. Интересную историю имеет деятельность, связанная с применением аэрозолей для активного воздействия на облачные процессы (засев облаков) и борьбы с засухой. В основе этой идеи лежало желание использовать неустойчивость и огромные запасы энергии атмосферных облачных систем путем засева облаков искусственными ядрами конденсации. Однако после постоянного применения засева облаков в течение нескольких лет этот метод перестал приносить результаты и даже наблюдалась обратная картина с повышением длительности засушливых периодов.

 

Гамма-распределение.

Закон распределения имеет вид:

,                                       (1.18)

он обеспечивает экстремум функции распределения при r_extr = b^-1 и убывание функции - медленное при уменьшении радиуса и экспоненциально быстрое при r > r _extr. Однако теоретическое исследования в области сухих аэрозолей и экспериментальные данные подтверждают, что при r < r _extr функция распределения также убывает по экспоненте. Лучшее приближение к экспериментальным данным можно получить, если в качестве аргумента взять обратный радиус или какую-либо другую отрицательную степень.

Такие распределения, известные как гамма - распределения, удобны для машинных расчетов, однако представляют всего лишь удобную аппроксимацию экспериментальных данных и не имеют под собой никакой теоретической основы.

Можно легко получить выражение для определения первого момента гамма - распределения. Если принять, что

,                                 (1.19)

то легко взять интеграл вида

,    (1.20)

где Г - соответствующее значение γ -функции:

                             (1.21)

в точке . Это очень удобное свойство позволяет выбирать функцию  таким образом, чтобы удовлетворить экспериментально найденным среднему значению, моде, ширине и кривизне, или любым трем моментам, выбрав соответствующим образом b, β и λ .

 

Непрерывный режим.

Неустановившаяся диффузия молекул вида A к поверхности частицы радиуса :

                        (2.11)

где c(r, t) – концентрация молекул А, а - молярный поток (количество молей падающих на единицу площади в единицу времени) в любом радиальном положении r. Это уравнение - просто выражение массового баланса в бесконечно малой сферической ячейке, вокруг частицы. Молярный поток молекул A дается согласно закону Фика (Бирд и др., 1960),

                (2.12)

где  - молекулярная фракция частиц A,  - радиальный поток воздуха в положении r, и  - коэффициент диффузии молекул А в воздухе. Так как выделенных направлений нет,  во всех r. Принимая во внимание предположение, применимое в большинстве атмосферных состояний - ,  (2.12) может быть переписана как

                                 (2.13)

 

Теперь, комбинируя (2.11) и (2.13), получим:

                                 (2.14)

Если  - концентрация молекул А вдали от частицы, а - концентрация паровой фазы на поверхности частицы, и частица первоначально находится в атмосфере частиц А с концентрацией, равной , начальные, и граничные условия для (11.4) записываются так:

                              (2.15)

                                        (2.16)

                                        (2.17)

решение (2.14) в граничных условиях (2.5) - (2.17), будет выглядеть так:

(2.18)

Временная зависимость концентрации в любом радиальном положении r дается третьим членом на правой стороне (2.18). Отметим, что для больших значений t, значение верхнего предела интегрирования приближается к нулю и профиль концентрации приближается к установившемуся состоянию, задаваемому

                           (2.19)

Полный поток молекул А (молей в секунду) к частице обозначен Jc, индекс c показывает, что режим непрерывный (continuum), и задаётся, как:

                                 (2.20)

или, используя (2.19) и (2.13), как

                              (2.21)

Если , поток молекул A - к частице, а если  - наоборот. Вышеупомянутый результат был впервые получен Максвеллом (1877), и (11.11) часто называется потоком Максвела.

Массовый баланс на растущей или испаряющейся частице:

                                   (2.22)

где  - плотность частицы и  молекулярный вес A. Объединяя (2.21) с (2.22) получим,

                         (2.23)

Когда  и  постоянны, (2.23) можно проинтегрировать, что даст:

                            (2.24)

Использование независимого от времени установившегося профиля, заданного (2.19), для вычисления размера частицы во времени (11.24) может казаться противоречивым. Использование установившегося диффузионного потока, для вычисления темпа роста частицы подразумевает, что профиль концентрации пара около частицы достигает установившейся величины прежде, чем произойдёт заметное изменение величины молекулы. Так как рост действительно происходит в сотни раз медленнее чем диффузия, профиль около частицы фактически всегда остается в ее стационарном значении.

 

Переходный режим.

Установившийся поток молекул пара к сфере, когда частица является достаточно большой по сравнению со средней длинной свободного пробега молекул пара, задаётся уравнением Максвелла (2.20). Так как это уравнение основано на решении уравнения переноса в непрерывном режиме, оно перестаёт действовать, когда средняя длина свободного пробега молекул пара становится сопоставимым диаметру частицы. В другом случае, выражение, основанное на кинетической теории газов (2.27) также не справедливо в этом случае, где . Когда , явления, как говорят, лежат в переходном режиме.

Распределение концентрации диффузионных молекул и фонового газа в переходном режиме строго описывается уравнением Больцмана. К сожалению, не существует общего решения уравнения Больцмана, справедливого для всего диапазона чисел Кнудсена. Как следствие, большинство исследований явлений переноса избегает решать непосредственно уравнение Больцмана и ограничивают себя подходом, основанным на так называемомметоде подгонки потоков. Подгонка потоков предполагает, что кинетические эффекты ограничены областью , а вне этой области имеет место непрерывный режим.

 Расстояние  имеет порядок средней длины свободного пробега . Предполагают, что в пределах этой внутренней области применима простая кинетическая теория газов.

• Теория Фукса Соответствие непрерывных и свободномолекулярных потоков молекулы относится ко времени Николая Альбертовича Фукса, который предложил, что подгонкой двух потоков в , можно получить граничное условие к уравнению диффузии. Предположим, коэффициент прилипания равен единице,

(2.29)

Тогда решая стационарное уравнение переноса для разбавленной системы,

                             (2.30)

используя как граничные условия (11.27) и , получаем решение:

                       (2.31)

где поправочный коэффициент :

                (2.32)

Связав бинарную диффузию и среднюю длину свободного пробега, используя , и , получим:

 

         (2.33)

 

Заметим, что определение средней длины свободного пробега  подразумевает, что для a= 1,

                                          (2.34)

и отношение Фукса (2.33) преобразуется, используя (2.34),

                 (2.35)

Значение , используемого в выражениях выше не было определено в теории и должно быть выбрано опытным путем или оценено в соответствии с независимой теорией. Несколько выборов для  были предложены: самое простое, самим Фуксом, =0. Другие предложения по этой теме высказаны Дэвисом, в 1983 году: , .

• Подход Фукса и Сутугина. Фукс и Сутугин в 1971 году последовали решению уравнения Больцмана, данного Сахни в 1966 году, для , где - отношение молекулярного веса диффундирующего вещества и воздуха, для создания следующей интерполяционной формулы переходного режима.

                                (2.36)

Уравнение (2.36) основано на результатах для  и поэтому непосредственно применимо, чтобы описать молекулы в более тяжелом фоновом газе. Средняя длина свободного пробега, включенная в определение числа Кнудсена в (2.36): .

• Подход Дахнеке. Дахнеке(Dahneke) в 1983 использовал поток, соответствующий подходу Фукса, но, предполагая что -  и , получил,

                                (2.37)

где . Средняя длина свободного пробега свободного пробега, включенного в определение числа Кнудсена в (2.37):

• Подход Лоялки. Лоялка в 1983 построил улучшенные интерполяционные формулы для переходного режима, решая линеаризованное уравнения Больцмана с помощью БГК модели (Bhatnagar, Gross, Krook - 1954):

           (2.38)

Средняя длина свободного пробега, используемая Лоялкой: , коэффициент скачка концентрации имел значение . Виллиамс и Лоялка в 1991 году указали, что (2.38) не работает вблизи свободно - молекулярного режима.

 

Подведение итогов

 

Для получения возможно более точных результатов по испарению и конденсации частиц применяются самые разные подходы: от полуэмпирических, некоторые из которых перечислены выше, до достаточно обоснованных с математической точки зрения. К этим работам, в частности, относится серия работ [16] - [21]. В основе этих работ лежит расчет потока пара на частицу интегрированием функции распределения, полученной в результате решения линеаризованного уравнения Больцмана:

  (2.39)

здесь:  - одночастичная функция распределения по скоростям и координатам i-ого газового компонента,  - телесный угол,  - вектор относительной скорости,  - сечение столкновений,  - скорость молекулы, которая сталкивается с рассматриваемой молекулой - для которой записывается уравнение Больцмана, суммирование производится по всем газовым составляющим. Вообще говоря, в левой части уравнения (2.39) следует добавить слагаемое - , где  сила, действующая на молекулу, m - ее масса,  - ее ускорение. Предполагается, что силовое поле отсутствует. В таком виде уравнение Больцмана слишком сложное, чтобы для него можно было найти решение, кроме самых простых случаев, например, для равновесного распределения по скоростям. В таком виде оно используется для исследования ее решений. Правая часть этого уравнения называется интегралом столкновения, вся сложность поиска решений связана именно с этим интегралом столкновений. В частности существует принцип Гильберта [26], [27], в соответствии с которым решение уравнения (2.39) можно найти в виде разложения по моментам распределения в начальный момент времени. На этом основан метод моментов Греда. Однако этот метод более применим к задачам гидродинамики, нежели, к проблемам кинетики. Основные приближения, которые используются для получения решения уравнения (2.39) сводятся к тому, чтобы упростить интеграл столкновений. При этом предполагается, что распределение по скоростям мало отличается от равновесного распределения. Таким образом конструируется уравнение для функции, описывающей отклонение распределения от равновесного. Этот подход аналогичен методам, описанным в работе Черчиньяни [21], [22]. В конечном счёте этот метод приводит к интегральному уравнению Фредгольма первого или второго рода - в зависимости от выбранной формы аппроксимации. Дополнительные осложнения возникают при постановке граничных условий. Наибольшие продвижения возможны в этом направлении при сферической форме испаряющихся капель. Попытки получить точное решение приводят к довольно сложным зависимостям, с которыми сложно работать и сопоставлять с экспериментальными данными. Кроме этого, приходится делать предположение скачка концентраций на поверхности частицы. Для диффузионного и около диффузионного режима столкновений молекул пара с частицей, когда задачу можно свести к решению уравнения диффузии, авторам [17] удалось создать метод расчета конденсации и испарения для несферических частиц, используя формализм функций Грина - задача сводится к решению соответствующего интегрального уравнения, при этом могут быть использованы численные методы - аналитические зависимости в этом случае получить не удается. Еще сложнее описать процессы испарения и конденсации частиц, в среде, состоящей из нескольких летучих компонентов [23]. Предполагалось, что процесс стационарный, испаряющиеся компоненты химически инертны, пары представляют собой идеальный газ. Для переходного режима использовалась формула Фукса - Сутугина. По сути, этот подход представлял собой применение ранее разработанных моделей для бинарной смеси. Сопоставление модельных расчетов с экспериментальными результатами испарения смеси азотной кислоты с водой показало, что при различных внешних условиях (соотношениях компонент и относительной влажности) большинство моделей можно применять, если подогнать соответствующим образом модельные параметры, например, вероятность прилипания.

С точки зрения корректности постановки задачи и нахождения ее решения следует отметить работу Сахни [24]. Вообще говоря, эта работа относится к расчету потока нейтронов - в замедлителе реактора с учетом поглощения их черными сферами. Тем не менее, она полностью применима для испарения и конденсации частиц сферической формы. По сути дела эта работа - решение задачи Милна для сферической геометрии. Эта задача была сведена к интегральному уравнению первого рода, затем преобразовано к сингулярному уравнению типа Коши, которое было затем решено численными методами. Эти результаты, в частности, были использованы Фуксом и Сутугиным [8] для получения аппроксимационной формулы переходного режима. Очевидно, что для получения точных соотношений для потока молекул на поверхность частицы, необходимо решать уравнение для функции распределения Больцмана. Все определяется тем, в каком виде брать правую часть этого уравнения, ниже мы вернемся к этому.

 

Постановка задачи.

 

Наука об аэрозольных частицах началась c решения проблемы испарения в газообразной среде.

Предположим, нам известен радиус частицы – a, и концентрация молекул пара вокруг этой частицы – n ( r ), где r – радиус-вектор, построенный из точки начала координат (центр частицы). Требуется найти зависимость радиуса частицы от времени – a ( t ). Итак, массу частицы можно выразить как , где ρ – плотность частицы, площадь поверхности частицы - , тогда будет справедливо уравнение:

,                    (2.39)

где j – плотность потока конденсирующихся молекул пара, m₀ – масса молекулы. Продифференцировав левую часть и упростив уравнение (2.39) получим:

                                   (2.40)

Проинтегрировав это выражение, получим:

                             (2.41)

Видно, что для расчета скорости испарения или конденсации, что и составляет нашу задачу, необходимо знать величину потока молекул пара на поверхность частицы. Впервые ее записал Максвелл в конце 19-го века:

                                  (2.42)

здесь j - это плотность потока конденсирующихся молекул пара (количество молекул осаждающихся на единице площади частиц в единицу времени); D - коэффициент диффузии молекул пара в газе-носителе, - концентрация пара на далеких от частицы расстояниях и у поверхности частицы соответственно; а - радиус частицы. Этот результат и его модификации справедливы для сравнительно крупных частиц, размер которых существенно превышает длину свободного пробега конденсирующихся молекул.

Другой предельный случай был получен значительно позже для свободно молекулярного режима: конденсационный поток пропорционален произведению тепловой скорости молекул  и поперечному сечению частицы (квадрату радиуса частицы)

                        (2.43)

Как уже отмечалось выше, для переходного режима, когда уравнение для потока молекул преобразуется из вида (33) к форме (34), предложено довольно много подходов [2] - [11]. Из этих формул можно выделить выражение, предложенное Фуксом и Сутугиным, поскольку оно наиболее часто цитируется:

,                      (2.44)

где х = а/ l и l относительная и размерная длина свободного пробега. Если ввести термин - эффективность конденсации а - то задача будет сведена к нахождению этой величины, через которую определяется поток молекул на поверхность частицы:

                                 (2.45)

Таким образом, все усилия экспериментаторов и теоретиков сводились к определению именно этой величины.

Предлагаемый ниже подход основан на расчете эффективности конденсации а при помощи распределения молекул пара по скоростям и координатам, как это было сделано у Сахни [24]. Для получения этой функции распределения необходимо решать уравнение Больцмана. Чтобы упростить получение этого решения, правая часть уравнения Больцмана - интеграл столкновения - был линеаризован. Такой прием был предпринят Бхатнагаром, Гроссом и Круком [27] - так называемое БГК приближение. В этом БГК приближении используются наиболее простые граничные условия. Предполагается, что частично молекулы испытывают зеркальное отражение, а некоторые из молекул осаждаются на поверхности. В этом приближении интеграл столкновений представлен в довольно простом виде:

                        (2.46)

здесь  - не зависящая от скорости частота столкновений, эта величина имеет порядок , где а - радиус частицы, n - концентрация молекул пара, < v > - средняя скорость относительного движения молекул. Несмотря на то, что складывается впечатление, что сделано довольно грубое приближение - сложный интеграл столкновений заменен довольно простым слагаемым - в такой форме уравнение Больцмана сохраняет основные свои свойства, и, как будет видно ниже, эта простота кажущаяся. Можно легко показать, что решение уравнения (2.46)

· удовлетворяют уравнениям сохранения массы, импульса и энергии;

· удовлетворяет Н - теореме.

 

1234567Следующая ⇒

Поделиться: