Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Равновесие тяжелых нитей с малой стрелой провисания.
Задача 1. Однородная нерастяжимая нить длиной L=16, 2 м закреплена в точках А и В, расстояние между которыми по горизонтали равно l=16 м, по вертикали h=1м (рис.2.2). Вес нити, отнесенный к единице длины пролёта равен q=7, 5 H/м. Определить форму и натяжение нити.
Решение. Начало декартовых осей координат совместим с точкой А, ось Аx направим горизонтально вправо, ось Аy вертикально вниз. Так как на нить действуют вертикально направленные параллельные силы тяжести , то дифференциальные уравнения равновесия имеют вид: , (2.13) В этих уравнениях постоянная интегрирования H равна проекции натяжения нити Т в любой её точке на горизонтальную ось x. Обозначим через q = const силу тяжести, отнесённую к единице длины горизонтальной оси x. Сила, действующая на элемент dx, равна qdx. Поэтому сила, приходящаяся на единицу длины нити, равна: [4]. Из первого уравнения системы (1.1) выразим натяжение нити: . (2.14) Подставив значения Т и Ру во второе уравнение (2.13), имеем: . Сократим уравнение на ds и перепишем его в виде . Интегрируя, находим или . (2.15) Для определения постоянной интегрирования С1 составим граничные условия в вершине О кривой равновесия нити, где ; . Подставляя граничные условия в уравнение (2.14), получим . Внесём значение С1 в уравнение (2.15) и разделим переменные . Интегрируя уравнение ещё раз, находим . (2.16) Для определения постоянной интегрирования С2, рассмотрим граничные условия в точке А: при xA=0 yA=0. Подставляя граничные условия в уравнение, получим С2=0. Уравнение кривой равновесия нити, находящийся под действием равномерно распределённой вертикальной нагрузки, получает вид . (2.17) Введём параметр . (2.18) И перепишем уравнение (2.17) . (2.19) Дифференцируя это уравнение по переменной х, имеем . (2.20) Определим основные параметры параболической нити. Стрелу провисания f нити находим, используя граничные условия в вершине О параболы, где x0= , y0=f. Внося эти значения в уравнение (2.19), имеем . (2.21) Составим граничные условия в точке В: при хВ=l yВ=h. Внесём их в уравнение (2.19) и получим значение превышения опор: . Разрешим полученное равенство относительно : . (2.22) Для определения параметра а вычислим длину нити, заметив, что для нитей с малой стрелой провисания угол между касательной к нити и осью х мал. Тогда величина . На этом основании выражение для дифференциала дуги ds представим в виде . Внесём в это равенство значение производной из формулы (2.20): . (2.23) Интегрируя в пределах от х=0 до х=l справа и от s =0 до s =L слева, находим длину L параболической нити при малой стреле провисания . Преобразуем выражение, возводя в степень и приводя подобные, получим: . (2.24) Учитывая значение из выражения (2.22), получим . (2.25) Из последнего выражения находим параметр а (м). Подставляя числовые значения в выражения (2.21) и (2.22), вычислим координаты и f вершины параболы (м), (м). Найдём натяжение нити. Подставим выражение (2.23) в уравнение (2.14) и, учитывая равенства (2.18), получим . (2.26) Учитывая формулу (2.21) и уравнение (2.19), получим выражение для натяжения параболической нити в любой её точке: . (2.27) Уравнения кривой равновесия нити примет вид (2.19): (2.28) Натяжение нити в каждой её точке определяется формулой, согласно (2.27) . (2.29) Задавая величину координаты х и вычисляя координаты у и натяжение Т по полученным формулам (2.28), (2.29), можно построить кривую равновесия нити у(х) и график изменения натяжения нити Т(х).
Задача 2. Однородная гибкая нить закреплена в точках А и В, расстояние между которымипо горизонтали равно l =10м, по вертикали h =0, 5м. Вес нити, отнесенный к единице длины пролета равен q =0, 2Н/м (рис.2.3).
Определить координаты δ и f вершины кривой равновесия нити, а также длину L нити, чтобы горизонтальная составляющая натяжения не превышала H =10Н. Решение. Находим параметр а по формуле (2.2) Вычисляем абсциссу δ вершины (2.22) Определим стрелу провисания нити (2.21) Находим длину нити, формула (2.25)
Задача 3. Однородная гибкая нить длиной L =10, 1м закреплена в опорах А и В, лежащих на одном уровне. Расстояние между опорами l =10м. Вес нити, отнесенный к единице длины пролета равен q =0, 8Н/м. Определить координаты δ и f вершины кривой равновесия нити, а также горизонтальную составляющую Н натяжения нити. Решение. Так как превышение h между опорами равно нулю, то абсцисса вершины О кривой нити находится посредине пролета, то есть м. Горизонтальную составляющую Н натяжения нити определяем, учитывая (2.21), (2.30) откуда (2.31) Длина нити определяется как , с учетом (2.31) получим (2.32) Стрелу f провисания нити (ординату вершины О) находим из выражения длины нити (2.32): Параметр , .
Задача 4.
Определить превышение h между опорами, стрелу провисания f нити, длину пролета l и длину нити. Решение. Натяжение нити в указанных точках определяется формулами (2, 8), (2.9), (2.11): (1) Из первых двух формул находим стрелу провисания нити Из третьей формулы имеем Из первой находим параметр а: . Из формулы (2.21) вычислим координату δ : Из выражения находим расстояние l Длину нити вычислим по формуле Задача 5. Однородная гибкая нить длиной L =8, 1м закреплена в опорах А и В, лежащих на одном уровне. Расстояние между опорами l =8м. Вес нити, отнесенный к единице длины пролета равен q =0, 6Н/м. Определить натяжение нити в точке С, находящейся на расстоянии хС=5м от начала координат. Решение. Натяжение в точке С можно определить согласно первой формуле (2.26) (2.34) Так как превышение между опорами h =0, то Параметр а вычислим из формулы длины нити (2.25) при h=0 , откуда Теперь находим
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-10-04; Просмотров: 196; Нарушение авторского права страницы