Методы решения задач со свободным концом

Для решения задач со свободным правым концом разработаны эффективные приближенные методы. Они используют замечательное свойство этого класса задач, заключающееся в том, что для получения точного решения задачи оптимизации управления динамической системой, если она линейна по фазовому вектору, а на правый конец траектории не наложено ограничения, достаточно решить последоватьльно две задачи Коши.

Рассмотрим этот вопрос подробнее.

 Случай линейной системы. Пусть требуется найти управление  системой

,

(14.6)

из условия минимума критерия

,

(14.7)

где  - заданный вектор.

Составим гамильтониан

(14.8)

и выпишем уравнения для сопряженного вектора

,

(14.9)

Поскольку в соответствии с (14.2)

,

(14.10)

вектор  в данной задаче может быть определен независимо от  и , а это означает, что краевая задача распадается на две задачи Коши. Сначала решается система (14.9) при условии (14.10) интегрированием справа налево и находится вектор . Затем решается исходная система (14.6) слева направо с определением на каждом шаге интегрирования оптимального управления из условия минимума гамильтониана (14.8). По существу, решая данную задачу, решаем задачу синтеза оптимального управления.

При численном решении задачи вектор  запоминать не имеет смысла. Знание  необходимо лишь для определения оптимального управления. Поэтому, решая задачу (14.9) и (14.10), надо одновременно определять и управление. Запоминать же следует только управление.

Подобно линейным задачам с квадратичным критерием задачи со свободным концом, линейные относительно фазового вектора, играют роль основных элементов при построении итерационных схем расчета оптимальных программ.

Общий случай. Рассмотрим теперь задачу отыскания оптимального управления  системой

,

(14.11)

из условия минимума критерия

.

(14.12)

Обозначим через  некоторое -е допустимое управление, через  и  соответствующие ему траекторию и значение критерия . Линеаризуем систему (14.11) и критерий (14.12) относительно  и :

, , ;	(14.13)
.	(14.14)

Здесь

; ; .

(14.15)

Поставим задачу об определении такой вариации , которая обеспечивает минимум вариации . Решение такой задачи может быть получено согласно сказанному выше из условия

,

(14.16)

где вектор определяется согласно (14.9), (14.10), (14.15).

Заметим, что задача минимизации критерия , вообще говоря, не тождественна задаче минимизации . В самом деле, определив  из условия минимума , мы найдем новые  и . Однако из этого еще не следует, что . Поэтому возникает вспомогательная задача о выборе такого , чтобы одновременно выполнялись неравенства

.

(14.17)

Формально эту задачу можно решить методом последовательных приближений, например, по схеме

,

(14.18)

принимая в качестве первого приближения , найденное из условия (14.16). Однако иногда реализация такого метода оказывается достаточно сложной. В этом случае можно предложить следующую процедуру.

Выразим вариацию критерия  через сопряженный вектор  и управление . Для этого умножим уравнение (14.13) на вектор , а уравнение (14.9) на . Складывая их, получаем

или ,

откуда с учетом условий (14.10), (14.13), (14.14) находим

.

(14.19)

Отметим, что выражение (14.19) справедливо для любого . Задавая, в частности,  в виде

,

(14.20)

где , мы автоматически обеспечим выполнение одного из условий системы (14.17) .

Для выполнения второго условия  достаточно подобрать соответствующее значение параматра .

Описанный метод широко используется в инженерной практике. Он прост для программирования и позволяет уточнять решения, полученные эвристическим путем. Авторами данного метода являются Л.И.Шатровский, Т.М.Энеев, А.Брайсон, которые практически одновременно начали его использование при расчете оптимальных траекторий. Основной недостаток метода состоит в том, что с его помощью очень трудно получить точное решение задачи.

К рассмотренному методу очень близок метод решения задач со свободным концом, предложенный И.А.Крыловым и Ф.Л.Черноусько. Этот метод гораздо удобнее для машинной реализации, поскольку не требует линеаризации исходной системы. Сущность метода заключается в следующем.

Зададим допустимое управление  и найдем согласно (14.11) соответствующую траекторию . Составим гамильтониан

(14.21)

и выпишем уравнения сопряженного вектора

, .

(14.22)

Проинтегрируем систему (14.22) справа налево, полагая , . Одновременно из условия минимума гамильтониана (14.21) найдем новое управление .

Легко видеть, что для линейной задачи оба метода совершенно эквиваленты и дают точное решение на втором шаге. Основным недостатком метода является плохая сходимость в общем случае. Предложены различные способы улучшения его сходимости. Один из них состоит в следующем. Если оказалось , то в качественового управления вместо  предлагается брать , где  выбирается из условия .

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: