Прямоугольная пластина. Основные обозначения. Расчётная схема

Прямоугольная пластина. Основные обозначения. Расчётная схема

 

Рассмотрим пластину постоянной толщины h, опертую на жесткий прямоугольный контур, у которого один в плане значительно больше другого (рис.1).

 

 

Пусть эта пластина загружена равномерно распределенной нагрузкой, величина которой, приходящаяся на единицу площади, есть р (Мы ограничиваемся рассмотрением случая, когда р = const, хотя излагаемая ниже теория справедлива и при р = р (z)). Очевидно, что такая пластина в своей средней части, ограниченной сечениями аb и сd, будет изгибаться по цилиндрической поверхности. Иными словами, пластина в средней части не будет иметь кривизны в плоскости хоу.

В связи с этим изгиб рассматриваемой пластины будет характеризоваться изгибом любой балки-полоски, мысленно выделенной из пластины, как показано на рис.1.

Пластинами называются упругие тела, имеющие форму призмы, расстояние между основаниями которой мало по сравнению с размерами оснований.

Геометрическое место точек, равноудаленных от оснований, образует срединную поверхность пластины. Длина отрезка перпендикуляра, восставленного к срединной поверхности между основаниями, называется толщиной пластины.

При исследовании изгиба прямоугольных пластин будем пользоваться декартовой системой координат. Плоскость хоу совместим со срединной плоскостью пластины, а ось оz направим вниз.

Размеры пластин в направлении осей ох и оу обозначим буквами а и b соответственно, а толщину пластины - буквой h (рис.2).

 

Рис.2

Исходные данные

 

№ п/п	Размер пластины (a), м	Размер пластины (b), м	Модуль упругости материала Е ·103МПа	Толщина пластины (h), м
19	1.90	1, 30	210	0.020

 

Дифференциальное уравнение изгиба абсолютно жестких пластин.

 

 (1)

 

Уравнение (1) представляет дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.

Интегрирование таких уравнений будем производить методом разделения переменных, используя для этой цели тригонометрические функции.

Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и значениями изгибающими моментами.

 (2)

 

где  - цилиндрическая жесткость пластины.

Формула (2) дает связь между перемещением w (прогибом пластины) и моментами, действующими в ее поперечном сечении.

Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и интенсивности усилий, приложенных к кромкам пластины.

Выражения для интенсивности усилий, приложенных к кромкам пластины, запишутся в виде

 

 (3)

Определение напряжений изгиба пластины.

Напряжения изгиба вычисляются по формуле:

 

 (4)

 

где  - момент сопротивление балки-полоски единичной ширины.

Определение наибольшей стрелки прогиба в центре пластины.

Наибольшая стрелка прогиба будет в центре пластины

 

 (5)

 

Определение изгибающих моментов М₁ в центре пластины в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М₂ - в сечении, перпендикулярном оси оу.

Изгибающие моменты М₁ в центре пластины, в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М₂ - в сечении, перпендикулярном оси оу, определяются по формулам:

 

 (6)

 

Определение наибольших значений перерезывающих сил по середине опорных кромок пластины, N₁ и N₂.

Наибольшие значения перерезывающих сил будут по середине опорных кромок пластины, т.е. N₁ на кромках х = 0; х = а и N₂ на кромках у = ;

 

 (7)

 

Определение наибольших значений реакций опорных кромок по их середине г₁ и r₂.

Наибольшие значения реакций опорных кромок будут по середине этих кромок, г₁-на кромках х = 0 и х= а; r₂ на кромках

 

у = ;

 (8)

 

Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по синусам кратного аргумента.

 (11)

 

При m=1, 3, 5….

Общий интеграл дифференциального уравнения, определяющего функцию f_m (у) (12) Выражение для прогиба пластины, свободно опертой по всем четырем кромкам и загруженной равномерно распределенным давлением (13).

 (12)

 

m=1, 3, 5...

Постоянные А_m и D_m, должны быть определены из граничных условий для функций f_m (у) при у = .

 (13)

 

Расчёт величины стрелка прогиба в центре пластины (22).

Для рассматриваемой пластины длина жестко заделанных кромок больше, чем свободно опертых, поэтому коэффициенты должны определяться по столбцам левой части табл.2. Так как , то k₁ = 0, 0582, k₂=0, 0460, k₃=0, 0585, k₄=0, 1049.

 

 (22)

 

Заключение. Основные выводы

 

В данной работе рассмотрен изгиб пластин:

свободно опертых по всем четырем кромкам,

свободно опертых на двух кромках х=0 и х=а и жестко заделанных на кромках у=+b/2, жестко заделанных по всем четырем кромкам.

Во всех случаях действует равномерно распределенная нагрузка при постоянной толщине пластины. Большую часть веса судового корпуса составляют листы наружной обшивки, настилов палуб, платформ и обшивки переборок. С точки зрения строительной механики корабля эти листы представляют пластины, опертые на балки набора. Балки набора образуют опорный контур пластин. Жесткость балок набора при изгибе обычно несоизмеримо больше жесткости пластин. Поэтому пластины при изучении их изгиба можно рассматривать как опертые на жесткий контур.

 

Таблица 1

1, 0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0	0, 0433 0, 0530 0, 0616 0, 0697 0, 0770 0, 0843 0, 0906 0, 0964 0, 1017 0, 1064 0, 1116 0, 1336 0, 1400 0, 1416 0, 1422	0, 0479 0, 0494 0, 0501 0, 0504 0, 0506 0, 0499 0, 0493 0, 0486 0, 0479 0, 0471 0, 0464 0, 0404 0, 0384 0, 0375 0, 0375	0, 0479 0, 0553 0, 0626 0, 0693 0, 0753 0, 0812 0, 0862 0, 0908 0, 0948 0, 0985 0, 1017 0, 1189 0, 1235 0, 1246 0, 1250	0, 338 0, 315 0, 294 0, 275 0, 258 0, 242 0, 228 0, 216 0, 205 0, 194 0, 185 0, 124 0, 093 0, 077	0, 338 0, 360 0, 380 0, 397 0, 411 0, 424 0; 435 0, 444 0, 452 0, 459 0, 465 0, 493 0, 498 0, 500 0, 500	0, 420 0, 399 0, 377 0, 357 0, 337 0, 320 0, 303 0, 287 0, 273 0, 260 0, 248 0, 166 0, 125 0, 100	0, 420 0, 440 0, 455 0, 468 0, 478 0, 486 0, 491 0, 496 0, 499 0, 502 0, 503 0, 505 0, 502 0, 501 0, 500	0, 065 0, 064 0, 063 0, 062 0, 059 0, 057 0, 055 0, 053 0, 050 Ю, 048 0, 046 0, 032 0, 024 0, 019

Таблица 2

Отношение сторон пластины
1, 0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0	0, 0214 0, 0276 0, 0349 0, 0425 0, 0504 0, 0582 0, 0658 0, 0730 0, 0799 0, 0863 0, 0987 0, 1276 0, 1383 0, 1412 0, 1422	0, 0332 0, 0370 0, 0401 0, 0426 0, 0446 0, 0460 0, 0469 0, 0474 0, 0476 0, 0476 0, 0477 0, 0421 0, 0390 0, 0379 0, 0375	0, 0241 0, 0309 0, 0377 0, 0447 0, 0517 0, 0585 0, 0650 0, 0711 0, 0768 0, 0821 0, 0869 0, 1144 0, 1223 0, 1243 0, 1250	0.0698 0, 0788 0, 0868 0, 0938 0, 0998 0, 1049 0, 1090 0, 1124 0, 1152 0, 1173 0, 1191 0, 1246 0, 1250 0, 1250 0, 1250	0, 0214 0, 0228 0, 0243 0, 0255 0, 0262 0, 0270     0, 0284   0, 0284	0, 0332 0, 0356 0, 0374 0, 0388 0, 0399 0, 0406     0, 0421   0, 0417	0, 0244 0, 0230 0, 0216 0, 0202 0, 0189 0, 0172     0, 0142   0, 0125	-0, 0698 0, 0739 0, 0770 0, 0793 0, 0808 0, 0829     0, 0842   0, 0833

 

Таблица3

1, 0 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 2, 0 3, 0 4, 0 5, 0	0, 138 0, 165 0, 191 0, 210 0, 227 0, 0241 0, 251 0, 260 0, 267 0, 272 0, 276 0, 279 0, 282 0, 284 0, 284	0, 0229 0, 0234 0, 0231 0, 0224 0, 0215 0, 0204     0, 0125	0, 0229 0, 0267 0, 0302 0, 0328 0, 0350 0, 0368 0, 0373 0, 0378 0, 0389 0, 0395 0, 0399 0, 0405 0, 0409 0, 0413 0, 0417	0, 0517 0, 0491 0, 0504 0, 0508 0, 0511 0, 0515 0, 0515 0, 0515 0, 0515 0, 0515 0, 0515 0, 0515 0, 0515 0, 0515 0, 0515	0, 0517 0, 0554 0, 0612 0, 0668 0, 0714 0, 0753 0, 0784 0, 0807 0, 0821 0, 0826 0, 0829 0, 0832 0, 0833 0, 0833 0, 0833	0, 452 0, 412 0, 381 0, 352 0, 327 0, 305	0, 452 0, 448 0, 471 0, 491 0, 505 0, 517	0, 440 0, 450 0, 457 0, 462 0, 464 0, 465 0, 465 0, 465 0, 465 0, 465 0, 465 0, 465 0, 465 0, 465 0, 465	0, 440 0, 473 0, 493 0, 505 0, 510 0, 515 0, 518 0, 519 0, 520 0, 518 0, 515 0, 510 0, 505 0, 505 0, 500	0, 250 0, 253 0, 525 0, 256 0, 256 0, 255 0, 255 0, 254 0, 253 0, 252 0, 252 0, 251 0, 251 0, 250 0, 250	0, 250 0, 271 0, 290 0, 306 0, 320 0, 332 0, 343 0, 352 0, 360 0, 367 0, 379 0, 450 0, 432 0, 450 0, 500

Список литературы

Основная литература:

1. Ипатовцев Ю.Н., Короткин Я.И. Строительная механика и прочность корабля: Учебник. Л.: Cудостроение, 1991

2. Короткин Я.И., Ростовцев Д.М., Сиверс Н.Л. Прочность корабля: Учебник. Л.: Судостроение, 1974

3. Постнов В.А. и др. Строительная механика корабля и теория упругости: Учебник: в 2-х томах. Л.: Cудостроение, 1987

Дополнительная литература:

4. Архангородский А.Г., Беленький Л.М. Аналитический метод проектирования корпуса корабля, Л.: Судпромгиз. 1961

5. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем: Учебное пособие, М.Л..: Машгиз, 1953

6. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость пластин и круговых цилиндрических оболочек: Учебное пособие, Л.: Судпромгиз, 1955

7. Крыжевич Г.Б. Основы расчётов надёжности судовых конструкций: Учебное пособие, Санкт-Петербург.: СПбГМТУ, 1995

8. Локшин А.З., Рябов Л.И. Судовые кничные соединения, Л.: Cудостроение, 1973

9. Попов Ю.Н. и др. Прочность судов, плавающих во льдах, Л.: Cудостроение, 1967

10. Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах / Под ред. акад. Ю.А. Шиманского. Л.: Судпромгиз. 1960

11. Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах/Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский В.С. Л.: Cудостроение, 1982

12. Чибиряк И.М. Методические указания к выполнению курсовой работы по конструкции корпуса корабля. Владивосток, изд. ДВПИ им.В. В. Куйбышева, 1977.

Прямоугольная пластина. Основные обозначения. Расчётная схема

 

Рассмотрим пластину постоянной толщины h, опертую на жесткий прямоугольный контур, у которого один в плане значительно больше другого (рис.1).

 

 

Пусть эта пластина загружена равномерно распределенной нагрузкой, величина которой, приходящаяся на единицу площади, есть р (Мы ограничиваемся рассмотрением случая, когда р = const, хотя излагаемая ниже теория справедлива и при р = р (z)). Очевидно, что такая пластина в своей средней части, ограниченной сечениями аb и сd, будет изгибаться по цилиндрической поверхности. Иными словами, пластина в средней части не будет иметь кривизны в плоскости хоу.

В связи с этим изгиб рассматриваемой пластины будет характеризоваться изгибом любой балки-полоски, мысленно выделенной из пластины, как показано на рис.1.

Пластинами называются упругие тела, имеющие форму призмы, расстояние между основаниями которой мало по сравнению с размерами оснований.

Геометрическое место точек, равноудаленных от оснований, образует срединную поверхность пластины. Длина отрезка перпендикуляра, восставленного к срединной поверхности между основаниями, называется толщиной пластины.

При исследовании изгиба прямоугольных пластин будем пользоваться декартовой системой координат. Плоскость хоу совместим со срединной плоскостью пластины, а ось оz направим вниз.

Размеры пластин в направлении осей ох и оу обозначим буквами а и b соответственно, а толщину пластины - буквой h (рис.2).

 

Рис.2

Исходные данные

 

№ п/п	Размер пластины (a), м	Размер пластины (b), м	Модуль упругости материала Е ·103МПа	Толщина пластины (h), м
19	1.90	1, 30	210	0.020

 

Дифференциальное уравнение изгиба абсолютно жестких пластин.

 

 (1)

 

Уравнение (1) представляет дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.

Интегрирование таких уравнений будем производить методом разделения переменных, используя для этой цели тригонометрические функции.

12Следующая ⇒

Поделиться: